拉普拉斯变换与常系数线性微分方程

贡献者： JierPeter

预备知识　常系数齐次线性微分方程，拉普拉斯变换的性质

1. 拉普拉斯变换

导数定理

　　拉普拉斯变换的导数定理（见拉普拉斯变换）使得我们可以把常系数线性微分方程化为代数方程，不论是否齐次。在常系数齐次线性微分方程中，我们通过把方程写为算子 $\frac{d}{d t}$ 的代数方程，实现了化微分方程为代数方程，但这种操作对非齐次方程没有用。拉普拉斯变换是另一种化为代数方程的思路，而且不拘泥于齐次与否。

　　引用拉普拉斯变换的性质，将导数定理誊写如下：

定理 1　拉普拉斯变换的导数定理

　　设 $[0, + \infty]$ 上有 $k$ 次可导函数 $f (t)$ ，其拉普拉斯变换为

\begin{matrix} (1) & L (f (t)) = F (s) = \int_{0}^{+ \infty} f (t) e^{- s t} d t, \end{matrix}

　　则有

\begin{matrix} (2) & L (\frac{d}{d t} f (t)) = s F (s) - f (0) . \end{matrix}

　　由定理 1 ，容易计算得

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} L (\frac{d^{2}}{d t^{2}} f (t)) & = s L (\frac{d}{d t} f (t)) - f^{'} (0) \\ = s^{2} F (s) - s f (0) - f^{'} (0) . \end{aligned} \end{matrix}

　　以此类推，可得：

推论 1　

\begin{matrix} (4) & L (\frac{d^{k}}{d t^{k}} f (t)) = s^{n} F (s) - \sum_{\begin{matrix} i, j > 0 \\ i + j = n - 1 \end{matrix}} s^{i} f^{(j)} (0) . \end{matrix}

其中

f^{(j)}

表示

f

的

j

次导函数。

函数乘以一个指数函数后的拉普拉斯变换

定理 2　

　　对于 $f (t)$ ，若设其拉普拉斯变换为 $F (s)$ ，则

\begin{matrix} (5) & L (e^{a t} f (t)) = F (s - a) . \end{matrix}

常见函数的拉普拉斯变换

例 1　幂函数

\begin{matrix} (6) & L (t^{n}) = \frac{n!}{s^{n + 1}} . \end{matrix}

　　这一事实可以通过应用分部积分得证：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} L (t^{n}) & = \int_{0}^{+ \infty} t^{n} e^{- s t} d t \\ = - \frac{1}{s} t^{n} e^{- s t} |_{0}^{+ \infty} + \frac{n}{s} \int_{0}^{+ \infty} t^{n - 1} e^{- s t} d t \\ = \frac{n}{s} \int_{0}^{+ \infty} t^{n - 1} e^{- s t} d t \\ = \frac{n}{s} L (t^{n - 1}) . \end{aligned} \end{matrix}

例 2　指数函数

\begin{matrix} (8) & L (e^{a t}) = \frac{1}{s - a} . \end{matrix}

例 3　三角函数

　　利用 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ ，将 $a = ω i$ 代入式 8 ，分开实部和虚部，可得三角函数的拉普拉斯变换：

\begin{matrix} (9) & {\begin{aligned} L (\cos ω t) & = \frac{s}{s^{2} + ω^{2}} \\ L (\sin ω t) & = \frac{ω}{s^{2} + ω^{2}} \end{aligned} . \end{matrix}

　　有了式 6 、式 8 和式 9 ，再结合定理 2 ，我们就可以计算出多数情况下的拉普拉斯变换了。

2. 微分方程

　　拉普拉斯变换的一大实用之处，就是可以用来解常系数线性微分方程。我们先举一个例子来说明其解法。

例 4　拉普拉斯变换解非齐次方程

　　考虑方程

\begin{matrix} (10) & (\frac{d^{2}}{d t^{2}} + \frac{d}{d t} + 1) f (t) = t . \end{matrix}

　　设 $L (f (t)) = F (s)$ ，那么根据推论 1 ，给式 10 左右同时进行拉普拉斯变换，得

\begin{matrix} (11) & s^{2} F (s) - s f (0) - f^{'} (0) + s F (s) - f (0) + F (s) = \frac{1}{s^{2}}, \end{matrix}

其中

f (0), f^{'} (0)

都是待定的初值。

　　将式 11 整理为

\begin{matrix} (12) & F (s) = \frac{1}{s^{2} (s^{2} + s + 1)} + \frac{s f (0) + f^{'} (0) + f (0)}{s^{2} + s + 1} . \end{matrix}

　　注意到

\begin{matrix} (13) & s^{2} + s + 1 = (s + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}, \end{matrix}

故式 12 可以分解为

\begin{matrix} (14) & F (s) = \frac{s}{(s + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} - \frac{s - 1}{s^{2}} + \frac{s f (0) + f^{'} (0) + f (0)}{(s + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}}, \end{matrix}

　　进一步整理为

\begin{matrix} (15) & F (s) = \frac{1}{s^{2}} - \frac{1}{s} + \frac{(f (0) + 1) (s + \frac{1}{2})}{(s + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} + \frac{f^{'} (0) + \frac{1}{2} f (0) - \frac{1}{2}}{(s + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} . \end{matrix}

　　式 15 的右边就是我们熟知的拉普拉斯变换的形式了：

\begin{matrix} (16) & {\begin{aligned} L (t) & = \frac{1}{s^{2}} \\ L (1) & = \frac{1}{s} \\ L (e^{- \frac{1}{2} t} \cos (\frac{\sqrt{3}}{2} t)) & = \frac{s + \frac{1}{2}}{(s + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} \\ L (e^{- \frac{1}{2} t} \sin (\frac{\sqrt{3}}{2} t)) & = \frac{1}{(s + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}} \end{aligned} . \end{matrix}

　　根据拉普拉斯变换的线性性，求出式 16 中各式的逆变换，其线性组合就是 $F (s)$ 的逆变换：

\begin{matrix} (17) & \begin{aligned} f (t) & = t - 1 + (f (0) + 1) e^{- \frac{1}{2} t} \cos (\frac{\sqrt{3}}{2} t) \\ + \frac{\sqrt{3}}{3} (f^{'} (0) + \frac{1}{2} f (0) - \frac{1}{2}) e^{- \frac{1}{2} t} \sin (\frac{\sqrt{3}}{2} t), \end{aligned} \end{matrix}

　　式 17 就是式 10 的通解。只需要把初值 $f (0)$ 和 $f^{'} (0)$ 代进去即可得给定初值下的特解。

　　例 4 中最麻烦的一步是从式 12 到式 14 的因式分解。代数学的知识告诉我们，任何一个形如 $\frac{1}{p (t)}$ 的函数，其中 $p (t)$ 是多项式，都可以化为 $\frac{1}{s + a}, \frac{1}{(s + a)^{2} + b}, \frac{s}{(s + a)^{2} + b}$ 的线性组合，而这三个式子的拉普拉斯逆变换都是已知的。因此，当常系数线性微分方程式 1 的右端的拉普拉斯变换是多项式的倒数的时候，我们总可以求方程两端的拉普拉斯变换，得到通解的拉普拉斯变换，并求逆变换以得到通解本身。

未完成：因式分解的技巧需引用。

拉普拉斯变换与常系数线性微分方程

1. 拉普拉斯变换

导数定理

定理 1 拉普拉斯变换的导数定理

推论 1

函数乘以一个指数函数后的拉普拉斯变换

定理 2

常见函数的拉普拉斯变换

例 1 幂函数

例 2 指数函数

例 3 三角函数

2. 微分方程

例 4 拉普拉斯变换解非齐次方程

定理 1　拉普拉斯变换的导数定理

推论 1　

定理 2　

例 1　幂函数

例 2　指数函数

例 3　三角函数

例 4　拉普拉斯变换解非齐次方程