李普希茨条件

贡献者：零穹; int256

预备知识　度量空间

　　 李普希茨条件（Lipschitz condition）描述的对象是度量空间中的映射，它描述那些像点的距离受到原点距离影响的映射。李普希茨条件的最初形式是由德国数学家李普希茨在其 1864 年关于周期函数的傅里叶级数收敛性的研究中提出的 [1]。本文介绍的是一般度量空间中的李普希茨条件。李普希茨条件在证明常微分方程的存在及唯一定理中起到作用。

定义 1　李普希茨条件

　　设 $A$ 是度量空间 $(M_{1}, d)$ 到 $(M_{2}, d^{'})$ 的映射， $L$ 是一个正实数。若 $A$ 满足

\begin{matrix} (1) & d^{'} (A x, A y) \leq L d (x, y), \forall x, y \in M_{1}, \end{matrix}

则称

A

为满足具有常数

L

的李普希茨条件，记作

A \in Lip L

。满足式 1 的最小常数称为李普希茨常数。

例 1　压缩映射

　　若定义 1 中的 $(M_{2}, d^{'}) = (M_{1}, d)$ ，且 $0 < L < 1$ ，则此时 $A$ 便是 $M_{1}$ 中的压缩映射。

定理 1　满足李普希茨条件的映射必一致连续

　　若 $A$ 是度量空间 $(M_{1}, d)$ 到 $(M_{2}, d^{'})$ 的满足具有常数 $L$ 的李普希茨条件的映射，则 $A$ 必一致连续。

　　度量空间中的映射的一致连续性定义如下：

定义 2　一致连续

　　设 $f$ 是度量空间 $(M_{1}, d)$ 到 $(M_{2}, d^{'})$ 的映射，若对每一正数 $ϵ$ ，都有一个 $δ > 0$ 存在，使得只要

\begin{matrix} (2) & d (x, y) < δ, \end{matrix}

就有

\begin{matrix} (3) & d^{'} (A x, A y) < ϵ . \end{matrix}

则称

A

为一致连续的。

　　现在来证明定理 1 。

　　 证明：只要取 $0 < δ < \frac{ϵ}{L}$ （由实数的稠密性，这是可以做到的），那么

\begin{matrix} (4) & d (A x, A y) \leq L d^{'} (x, y) < ϵ . \end{matrix}

由定义 2 ，

A

一致连续。

　　 证毕！

定理 2　凸且紧子集上的连续可微映射满足李普希茨条件

　　设 $V$ 是 $R^{n}$ 空间任意凸的和紧致的子集，则任一连续可微映射（定义 1 ） $f : V \to R^{m}$ 在 $V$ 上满足具有常数 $L$ 的李普希茨条件， $L$ 等于 $f$ 在 $V$ 上的上确界，即( $f_{*}$ 是可微函数 $f$ 的导数)

\begin{matrix} (5) & L = sup_{x \in V} | f_{* x} | . \end{matrix}

　　 证明：要证 $f$ 满足具有常数 $L$ 的李普希茨条件，就是要证

\begin{matrix} (6) & | f (y) - f (x) | \leq L | y - x |, \forall x, y \in R^{n} . \end{matrix}

设

z (t) = x + t (y - x), t \in [0, 1]

，即

z (t)

是连接点

x

和

y

的线段，

V

的凸集性意味着这一线段属于

V

¹。由微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式），

\begin{matrix} (7) & f (y) - f (x) = \int_{0}^{1} \frac{d}{d τ} f (z (τ)) d τ = \int_{0}^{1} f_{* z (τ)} \dot{z} (τ) d τ . \end{matrix}

由于

f

是在

V

上连续可微，于是

f_{*}

连续。而

R^{n}

中紧致的子集是闭的，魏尔斯特拉斯第一定理

R^{n}

的闭集上连续函数必有界，第二定理表明

R^{n}

的闭集上连续函数必能达到其上下确界，于是

\begin{matrix} (8) & | f_{*} | (x) \leq L, \forall x \in V . \end{matrix}

所以成立

\begin{matrix} (9) & | \int_{0}^{1} f_{* z (τ)} \dot{z} (τ) d τ | \leq \int_{0}^{1} L | y - x | d τ = L | y - x | . \end{matrix}

由式 7 ，于是式 6 成立。

　　 证毕！

1. 局部 Lipschitz 条件

　　局部 Lipschitz 条件一般用开球（邻域）来定义：

定义 3　局部 Lipschitz 条件

　　对于 $z \in R^{m}$ ， $\exists r > 0$ ，在开球 $B_{r} = {y \in R^{m} | d (y, z) < r}$ 上（可以发现 $z$ 是球心）， $f$ 是满足 Lipschitz 条件的，就称 $f$ 满足局部 Lipschitz 条件。

　　另一种 “局部” Lipschitz 连续的定义仅是限定这开球 $B_{r}$ 为某另外的集合。

1. ^ 于是才可以利用微积分基本定律

[1] ^ R. Lipschitz. De explicatione per series trigonometricas instituenda functionum unius variabilis arbitrariarum, et praecipue earum, quae per variabilis spatium finitum valorum maximourm et minimorum numerum habent infinitum,disquisitio. Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal),1864,296 -308. https://api.semanticscholar.org/CorpusID:122193934.

李普希茨条件

定义 1 李普希茨条件

例 1 压缩映射

定理 1 满足李普希茨条件的映射必一致连续

定义 2 一致连续

定理 2 凸且紧子集上的连续可微映射满足李普希茨条件