度量空间
贡献者： addis; Giacomo
度量空间是除拓扑空间外最广义的空间。它在集合的基础上增加了距离或长度的概念。
定义 1 度量空间
一个集合 $X$ 中任意两个元素 $u, v$ 间若定义了满足以下条件的距离函数（distance function） $d: X \times X \to \mathbb{R}$，那它就是一个度量空间（metric space）。集合中的每个元素就叫空间中的一个点。
- 正定性：$d(u, v) \geq 0$，$d(u, v)=0$ 当且仅当 $u=v$
- 对称性：$d(u, v) = d(v, u)$
- 三角不等式：$d(u, v) \leqslant d(u, w) + d(w, v)$
未完成：笛卡尔积的用法
未完成：距离有 $[0, +\infty)$ 和 $[0, \infty]$ 两种定义，在拓扑等价的意义下可以互相转换。
其中 “三角不等式” 就是通常所说的 “三角形两边之和不小于第三边”，移向后就变为 “两边之差不大于第三边”。
定义 2 度量的等价性
空间 $X$ 上的两个度量 $d_1$ 和 $d_2$ 称为强等价的（strongly equivalent），如果有正实数 $C_1, C_2 \in \mathbb{R}_+$ 使得如下不等式对于任何 $x, y \in X$ 都成立：
$$
C_1 d_1(x, y) \leq d_2(x, y) \leq C_2 d_1(x, y)~.
$$
另一方面，如果空间上的两个度量导出相同的拓扑的话，我们就称这两个度量是拓扑等价的（topologically equivalent）
定理 1 强等价强于拓扑等价
未完成：证明
例 1 平凡度量
未完成：0,1 版本 和 0, +infty 版本
未完成：拓扑等价：都是离散拓扑
例 2 欧几里得空间
$N$ 维欧几里得空间 $\mathbb R^N$ 中通常定义距离函数为
\begin{equation}
d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^N (x_i - y_i)^2}~,
\end{equation}
那么它是一个度量空间（证明留做习题）。
特殊地，实数域 $\mathbb R$ 通常的距离函数为 $d(x, y) = \left\lvert x - y \right\rvert $。
日常生活中，我们关于距离的直观概念都是建立在例 2 的基础上的，但度量空间是非常广义和抽象的。例如上例中 $d(x, y) = \left\lvert x^3 - y^3 \right\rvert $ 也可以是 $\mathbb R$ 的距离函数；又例如我们可以把一些函数的集合看成一个度量空间：
例 3
所有 $f:\mathbb R \to \mathbb R$ 函数的集合是一个度量空间，如果定义距离函数为
\begin{equation}
d(f, g) = \sup_x{ \left\lvert f(x) - g(x) \right\rvert }~.
\end{equation}
未完成：证明
推论 1
度量空间 $X$ 的子集 $A$ 若继承 $X$ 的距离函数，那么 $A$ 也是一个度量空间，称为 $X$ 的子空间（subspace）。
证明显然。
1. 对比线性空间
虽然例 2 和例 3 的集合也可以用于定义线性空间，但二者却有较大区别：比起线性空间，度量空间有距离或长度的概念而线性空间却不一定（见范数）。线性空间必须定义 “加法” 和 “标量积” 两种运算而度量空间不必。线性空间的 “零元” 在度量空间也不必存在。
