度量空间

                     

贡献者: addis; Giacomo

预备知识 集合

   度量空间是除拓扑空间外最广义的空间。它在集合的基础上增加了距离或长度的概念。

图
图 1:用维恩图表示几种不同空间之间的关系,从内到外分别是内积空间赋范空间,度量空间,拓扑空间(修改自维基百科)

定义 1 度量空间

   一个集合 $X$ 中任意两个元素 $u, v$ 间若定义了满足以下条件的距离函数(distance function) $d: X \times X \to \mathbb{R}$,那它就是一个度量空间(metric space)。集合中的每个元素就叫空间中的一个

  • 正定性:$d(u, v) \geq 0$,$d(u, v)=0$ 当且仅当 $u=v$
  • 对称性:$d(u, v) = d(v, u)$
  • 三角不等式:$d(u, v) \leqslant d(u, w) + d(w, v)$

  

未完成:笛卡尔积的用法
未完成:距离有 $[0, +\infty)$ 和 $[0, \infty]$ 两种定义,在拓扑等价的意义下可以互相转换。

   其中 “三角不等式” 就是通常所说的 “三角形两边之和不小于第三边”,移向后就变为 “两边之差不大于第三边”。

定义 2 度量的等价性

   空间 $X$ 上的两个度量 $d_1$ 和 $d_2$ 称为强等价的(strongly equivalent),如果有正实数 $C_1, C_2 \in \mathbb{R}_+$ 使得如下不等式对于任何 $x, y \in X$ 都成立: $$ C_1 d_1(x, y) \leq d_2(x, y) \leq C_2 d_1(x, y)~. $$ 另一方面,如果空间上的两个度量导出相同的拓扑的话,我们就称这两个度量是拓扑等价的(topologically equivalent)

定理 1 强等价强于拓扑等价

  

未完成:证明

例 1 平凡度量

  

未完成:0,1 版本 和 0, +infty 版本
未完成:拓扑等价:都是离散拓扑

例 2 欧几里得空间

   $N$ 维欧几里得空间 $\mathbb R^N$ 中通常定义距离函数为

\begin{equation} d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^N (x_i - y_i)^2}~, \end{equation}
那么它是一个度量空间(证明留做习题)。

   特殊地,实数域 $\mathbb R$ 通常的距离函数为 $d(x, y) = \left\lvert x - y \right\rvert $。

   日常生活中,我们关于距离的直观概念都是建立在例 2 的基础上的,但度量空间是非常广义和抽象的。例如上例中 $d(x, y) = \left\lvert x^3 - y^3 \right\rvert $ 也可以是 $\mathbb R$ 的距离函数;又例如我们可以把一些函数的集合看成一个度量空间:

例 3 

   所有 $f:\mathbb R \to \mathbb R$ 函数的集合是一个度量空间,如果定义距离函数为

\begin{equation} d(f, g) = \sup_x{ \left\lvert f(x) - g(x) \right\rvert }~. \end{equation}
未完成:证明

推论 1 

   度量空间 $X$ 的子集 $A$ 若继承 $X$ 的距离函数,那么 $A$ 也是一个度量空间,称为 $X$ 的子空间(subspace)

   证明显然。

1. 对比线性空间

   虽然例 2 例 3 的集合也可以用于定义线性空间,但二者却有较大区别:比起线性空间,度量空间有距离或长度的概念而线性空间却不一定(见范数)。线性空间必须定义 “加法” 和 “标量积” 两种运算而度量空间不必。线性空间的 “零元” 在度量空间也不必存在。

                     

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