度量空间

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　集合

　　度量空间是除拓扑空间外最广义的空间。它在集合的基础上增加了距离或长度的概念。

图 1：用维恩图表示几种不同空间之间的关系，从内到外分别是内积空间，赋范空间，度量空间，拓扑空间（修改自维基百科）

定义 1　度量空间

　　一个集合 $X$ 中任意两个元素 $u, v$ 间若定义了满足以下条件的距离函数（distance function） $d : X \times X \to R$ ，那它就是一个度量空间（metric space）。集合中的每个元素就叫空间中的一个点。

正定性： $d (u, v) \geq 0$ ， $d (u, v) = 0$ 当且仅当 $u = v$
对称性： $d (u, v) = d (v, u)$
三角不等式： $d (u, v) ⩽ d (u, w) + d (w, v)$

未完成：笛卡尔积的用法

未完成：距离有

[0, + \infty)

和

[0, \infty]

两种定义，在拓扑等价的意义下可以互相转换。

　　其中 “三角不等式” 就是通常所说的 “三角形两边之和不小于第三边”，移向后就变为 “两边之差不大于第三边”。

定义 2　度量的等价性

　　空间 $X$ 上的两个度量 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 称为强等价的（strongly equivalent），如果有正实数 $C_{1}, C_{2} \in R_{+}$ 使得如下不等式对于任何 $x, y \in X$ 都成立： $C_{1} d_{1} (x, y) \leq d_{2} (x, y) \leq C_{2} d_{1} (x, y) .$ 另一方面，如果空间上的两个度量导出相同的拓扑的话，我们就称这两个度量是拓扑等价的（topologically equivalent）

定理 1　强等价强于拓扑等价

未完成：证明

例 1　平凡度量

未完成：0,1 版本和 0, +infty 版本

未完成：拓扑等价：都是离散拓扑

例 2　欧几里得空间

　　 $N$ 维欧几里得空间 $R^{N}$ 中通常定义距离函数为

\begin{matrix} (1) & d (x, y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - y_{i})^{2}}, \end{matrix}

那么它是一个度量空间（证明留做习题）。

　　特殊地，实数域 $R$ 通常的距离函数为 $d (x, y) = | x - y |$ 。

　　日常生活中，我们关于距离的直观概念都是建立在例 2 的基础上的，但度量空间是非常广义和抽象的。例如上例中 $d (x, y) = | x^{3} - y^{3} |$ 也可以是 $R$ 的距离函数；又例如我们可以把一些函数的集合看成一个度量空间：

例 3　

　　所有 $f : R \to R$ 函数的集合是一个度量空间，如果定义距离函数为

\begin{matrix} (2) & d (f, g) = sup_{x} | f (x) - g (x) | . \end{matrix}

未完成：证明

推论 1　

　　度量空间 $X$ 的子集 $A$ 若继承 $X$ 的距离函数，那么 $A$ 也是一个度量空间，称为 $X$ 的子空间（subspace）。

　　证明显然。

1. 对比线性空间

　　虽然例 2 和例 3 的集合也可以用于定义线性空间，但二者却有较大区别：比起线性空间，度量空间有距离或长度的概念而线性空间却不一定（见范数）。线性空间必须定义 “加法” 和 “标量积” 两种运算而度量空间不必。线性空间的 “零元” 在度量空间也不必存在。

度量空间

定义 1 度量空间

定义 2 度量的等价性

定理 1 强等价强于拓扑等价

例 1 平凡度量

例 2 欧几里得空间

例 3

推论 1

1. 对比线性空间

定义 1　度量空间

定义 2　度量的等价性

定理 1　强等价强于拓扑等价

例 1　平凡度量

例 2　欧几里得空间

例 3　

推论 1　