贡献者： hfb25; xiaokuc
法国的布尔巴基学派曾对数学里的结构进行梳理，并且提炼出了三大基本结构：代数结构，拓扑结构以及序结构，序结构通常是一个装备了序关系的集合，它在组合数学，分析学中有着奠基的作用。
1. 1.偏序关系
偏序关系（partially ordering relation）是一类二元关系。称在非空集合 $A$ 上关系 $\leq$ 是一个偏序关系，如果 $\leq$ 满足条件：
- 自反性：$\forall x\in A,x\leq x$；
- 反对称性：$\forall x,y\in A,\ x\leq y,\ y\leq x \Rightarrow x = y $；
- 传递性：$\forall x,y,z\in A,\ x\leq y,\ y\leq z \Rightarrow x\leq z $。
我们称 $\leq$ 是 $A$ 上的偏序关系，并且把赋予偏序结构 $\leq$ 的集合 $A$,即 $(A;\leq)$ 称为偏序集（半序集，有序集，序集）
例 1
各种数集（包括 $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$）按通常的序关系（大小关系）构成偏序集。
注解:一般我们不提及 $\mathbb{C}$ 上的序关系，因为从 $\mathbb{R}$ 中拓展得到的 $\mathbb{C}$ 上的序关系性质并不良好，但有必要时也可以在 $\mathbb{C}$ 上定义一些特别的序关系来便于研究
这个例子说明序关系实际上是数与数大小关系的抽象。
例 2 整除序
$\mid$ 是自然数集 $\mathbb{N}$ 上的一个可除关系, 即 $m \mid n$ 表示 $ m$ 整除 $n$.则 $(\mathbb{N};\mid)$ 是一个偏序集.
例 3 包含序
设 $E$ 是一个集合, $\mathbb{P}(E)$ 表示 $ E $ 的所有子集 (包括空集 $ \varnothing $) 组成 的集合, 称为 $ E $ 的幂集.定义 $\mathbb{P}(E)$ 上的包含关系 $\subseteq $ 为序关系. 则 $(\mathbb{P}(E) ; \subseteq) $ 是 一个有序集.
例 4 有限偏序集的例子
设集合 $A = \{a,b,c\}$，关系 $\leq\!= \{(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(c,c)\}$，可以验证 $\leq$ 是 $A$ 上的偏序关系。
例 5 字典序
已知 $(A,\prec),(B,\leq)$ 是两个偏序集，那么笛卡尔积 $A\times B$ 按某个序关系 $\leqslant$ 构成偏序集。这个序关系 $\leqslant$ 满足：
- $\forall(a_1,b_1),(a_2,b_2) \in A\times B, a_1\prec a_2 \Rightarrow (a_1,b_1)\leqslant(a_2,b_2)$；
- $\forall(a_1,b_1),(a_2,b_2) \in A\times B, a_1=a_2, b_1\leq b_2 \Rightarrow (a_1,b_1) \leqslant (a_2, b_2)$。
由于字典通常按照这样的顺序编排1，因此这种序关系称为字典序。
例 6 小时百科词条序
小时百科的知识树（目录树）可以看做一个偏序集，"词条预备知识"是这个偏序集的序关系，词条 A 在词条 B 前意味着词条 A 是词条 B 的预备知识
2. 1.exp。序的对偶原理
从偏序的定义来看，我们发现它是有方向性的，如果我们把方向取反，自然而然能得到一个和原偏序有着千丝万缕关系的新偏序，也就是偏序的对偶关系。
引理 1 序对偶
设 $A$ 是一个非空集合. 若 $R$ 是 $E$ 的一个序关系, 则 $R$ 的对偶关系 $R^{d}$ 也是 $A$ 的一个序关系
证明留作读者自行完善。
我们将以上引理换一种方式叙述就得到了这条神奇的玩意儿：
定理 1 对偶原理
设 $A$ 是一个非空集合. 则关于 $(A;\leq)$ 的任意一个命题，都存在与之相对应的 $(A;\geq)$ 上的一个命题
于是大多数情况下，我们考虑一对互为对偶的序关系时只用考虑其中一个（如同考虑非交换结构时只考虑左一样）
（以下内容待修整，修整原因：部分符号与序论符号不一致，顺序不合理）
3. 全序集
定义 1 全序集
偏序集 $(A;\leq)$ 称为全序集（totally ordered set）或有序集（ordered set），当且仅当对任意 $a,b \in A$，$a \leq b$ 或 $b \leq a$。
全序集上的序关系称为全序关系（totally ordered relation）。
例 7
数集 $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ 按通常的序关系构成全序集。
例 8
将例 5 中的偏序集 $A,B$ 换成全序集，则按同样的序关系，$A\times B$ 也构成全序集。
一个显然但重要的事实是，任何偏序集的非空子集按原来的序仍是偏序集，任何全序集的非空子集按原来的序仍是全序集。
定义 2 极小元、极大元
已知偏序集 $(A;\leq)$：
- 如果存在某个 $a \in A$，使得对任意 $x \in A, x\leq a$ 都有 $x = a$，那么称 $a$ 为偏序集 $A$ 的极小元（minimal element）。
- 如果存在某个 $b \in A$，使得对任意 $x \in A, b\leq x$ 都有 $x = b$，那么称 $b$ 为偏序集 $A$ 的极大元（maximal element）。
定义 3 最小元、最大元
已知偏序集 $(A;\leq)$ 的某个非空子集 $B$：
- 如果存在某个 $a \in B$，使得 $\forall x \in B, a \leq x$。那么 $a$ 被称为 $B$ 的最小元（least element）；
- 如果存在某个 $b \in B$，使得 $\forall x \in B, x \leq b$。那么 $b$ 被称为 $B$ 的最大元（greatest element）。
极大元、极小元与最大元、最小元极易混淆。偏序集的极大元、极小元不一定唯一，但最大元、最小元只要存在必然唯一。在全序集中两者统一。2
例 9
集合 $A=\{0,1,2\}$，在上面定义偏序关系 $\leq$ 为 $0\leq 0$, $1\leq 1$, $1\leq 2$, $2\leq 2$。那么子集 $\{0,1\}$ 的极大元为 0 和 1，不存在最大元。
习题 1
证明：如果偏序集的某个子集存在最大元，那么它的极大元必然存在且唯一，并且两者相等。
习题 2
证明：对于全序集的任意非空子集，如果存在极大元，则最大元必然存在，且两者相等。
4. 良序集
定义 4 良序集
全序集 $(A,\leq)$ 称为良序集（well-ordered set），当且仅当它的任意非空子集都有极小元。
良序集上的序关系称为良序关系（well-ordered relation）。
任何良序集的非空子集仍是良序集。
1. ^ 比如，字典中单词 in 在 a 后，在 it 前。
2. ^ 读者自证。