小角极限（极简微积分）

贡献者： addis; Giacomo

预备知识　函数的极限

　　¹这里要介绍的是一个简单的几何问题，然而它在微积分和物理中却非常频繁地出现。

　　如图 1 ，令平面上 $O$ 点为圆心，以 $R$ 作为半径画圆。取一段的圆心角为 $\theta $ 的圆弧 $AB$（令长为 $l$），并作线段 $AB$。我们定义弧长和线段长度的相对误差为

\begin{equation} E = \frac{l - AB}{l}~. \end{equation}

图 1：单位圆中，随着角度 $\theta$ 不断减小，弧长与线段长度的相对误差 $E$ 也不断减小

　　由弧长公式得

\begin{equation} l = R\theta ~. \end{equation}

线段 $AB$ 的长度为

\begin{equation} AB = 2R\sin \frac{\theta }{2}~. \end{equation}

显然弧长 $l$ 大于线段长度 $AB$（两点之间直线最短），但从图中可以看出随着 $\theta $ 越来越小，二者的相对误差（$E$）越来越小。用极限的语言来说，就是当 $\theta $ 趋近于 $0$ 时，它们的比值趋近于１。注意这只是一个经验上的总结，我们暂时不证明。

　　所以有

\begin{equation} 1=\lim_{\theta\to 0} \frac{AB}{l} = \lim_{\theta\to 0} \frac{2R \sin\left(\theta/2\right) }{R\theta} = \lim_{\theta\to 0}\frac{ \sin\left(\theta/2\right) }{\theta/2}~. \end{equation}

令 $x = \theta/2$，有

\begin{equation} \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1~. \end{equation}

　　这是一个非常重要的极限。在物理中，我们常常会就某个小角使用近似 $\sin x \approx x$，例如 “单摆” 以及 “双缝干涉”。具体来说，这是一个一阶近似，以后会看到 $x$ 就是 $\sin x$ 的泰勒展开（式 3 ）的第一项。

未完成：类似地还有 $\tan\theta$

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。