贡献者： addis; _Eden_
在非绝对零度的温度下，任何物体都能辐射出电磁波（热辐射），同时也能吸收外来电磁波。假想一种黑体，它能 $100\%$ 地吸收所有辐射在其上的电磁波。并且为了能够达到热平衡，黑体也不断地辐射出能量。黑体的能量密度函数（关于频率 $\nu$ 的函数）以及辐射规律只和温度 $T$ 有关，这样才能保证热平衡定律（即热力学第零定律）的满足。
为了研究黑体辐射，我们希望能测定温度 $T$ 下黑体辐射的能量密度1 $S_\nu(\nu,T)$ 与辐射频率 $\nu$ 和温度 $T$ 之间的关系。这样我们就可以进一步由能量密度导出黑体单位面积上的辐射功率。
1. 维恩定律与瑞利金斯公式
Wien（1894）从经典统计出发总结黑体辐射经验规律，得到了黑体辐射能量密度的公式：
\begin{equation}
S_\nu(\nu,T) \,\mathrm{d}{\nu} =C_1 \frac{\nu^3}{c^3}e^{-C_2\nu/T} \,\mathrm{d}{\nu} ~.
\end{equation}
其中 $c$ 是真空中的光速，$C_1,C_2$ 是经验常数。该公式只在高频区适用。
瑞利（1900）和金斯（1905）则将空腔中的辐射场视为电磁驻波振子的集合，利用 Maxwell-Boltzmann 分布律与能量连续分布的观念导出
\begin{equation}
S_\nu(\nu,T) \,\mathrm{d}{\nu} =\frac{8\pi\nu^2}{c^3}kT \,\mathrm{d}{\nu} ~.
\end{equation}
2. 黑体辐射定律
在上述两个经验规律的基础上，普朗克（1900）提出了黑体辐射定律：
\begin{equation}
S_\nu(\nu,T) = \frac{8\pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{ \mathrm{e} ^{h\nu/(k_B T)} - 1}~.
\end{equation}
如果要计算波长的分布，根据
随机变量的变换，由 $ \left\lvert S_\lambda(\lambda) \,\mathrm{d}{\lambda} \right\rvert = \left\lvert S_\nu(\nu) \,\mathrm{d}{\nu} \right\rvert $ 得
\begin{equation}
S_\lambda(\lambda,T) = \frac{c}{\lambda^2}S_\nu \left(\frac{c}{\lambda} \right) =
\frac{8\pi ch}{\lambda^5} \frac{1}{ \mathrm{e} ^{hc/(k_B T\lambda)} - 1}~.
\end{equation}
由能量密度公式可以推出黑体在单位面积上的辐射功率。由于球面立体角为 $4\pi$，单位面积单位频率单位立体角的功率为
\begin{equation}
B(\nu) = \frac{c}{4\pi}S_\nu(\nu) = \frac{2h}{c^2} \frac{\nu^3}{ \mathrm{e} ^{h\nu/(k_B T)} - 1}~.
\end{equation}
在黑体内部，辐射是各向同性的，但在黑体表面，对于给定的一个平面微元，$B(\nu)$ 是垂直于平面的值，与法向量夹角为 $\theta$ 的方向的辐射功率为 $B(\nu)\cos\theta$。对 $\theta$ 从 $0$ 到 $\pi/2$ 积分得到单位面积上的辐射功率
\begin{equation}
\begin{aligned}
J(\nu)&=\int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\phi} \int_0^{\pi/2} \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \cdot \left[B(\nu)\cos\theta\right] ~,\\
&=\frac{c}{4\pi}\cdot 2\pi S_\nu(\nu) \cdot \int_0^{\pi/2} \sin\theta\cos\theta \,\mathrm{d}{\theta} ~,\\
&= \frac{c}{4} S_\nu(\nu) ~.
\end{aligned}
\end{equation}
这就是著名的
斯特藩—玻尔兹曼（Stefan-Boltzmann）定律，它指出了单位面积上辐射功率与辐射场能量密度之间的关系。对频率积分就可以得到总的辐射功率和辐射场能量密度之间的关系
\begin{equation}
J=\frac{c}{4} \frac{U}{V}=\frac{c}{4} \int S_\nu(\nu,T) d\nu\propto T^4~.
\end{equation}
利用光子气体的计算结果
式 7 ，可以最终得到
\begin{equation}
\frac{U}{V}=\frac{\pi^2}{15c^3\hbar^3}(kT)^4,\quad J=\frac{\pi^2}{60c^2\hbar^3}(kT)^4= \sigma T^4~.
\end{equation}
$\sigma=\frac{\pi^2 k^4}{60c^2\hbar^3}$ 为
stefan 常数，约为 $5.670373\times 10^{-8}W/(m^2\cdot K^4)$。
3. 推导-辐射场能量密度
普朗克首先提出了能量量子化假设，黑体空腔中的辐射场为电磁驻波振子的集合，并且振动能量只能取离散值2：
\begin{equation}
\epsilon = nh\nu, \quad n=0,1,\cdots~
\end{equation}
并且，腔中的辐射场与温度为 $T$ 的腔壁交换的能量也是一份一份的量子化的。
根据平衡态统计理论，能量为 $\epsilon=nh\nu$ 振子数目的相对值是 $e^{-nh\nu/kT}$，于是频率为 $\nu$ 的振子的平均能量为3（令 $\beta = 1/(k_BT)$）
\begin{equation}
\overline{\epsilon_\nu}=\frac{\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-nh\nu/kT}}{\sum_{n=0}^\infty e^{-nh\nu/kT}}=- \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln \sum_{n=0}^\infty e^{-nh\nu\beta}=\frac{h\nu}{e^{h\nu\beta}-1}~.
\end{equation}
最后，我们要求出单位频率 $ \,\mathrm{d}{\nu} $ 内，振子的数量，即态密度。电磁波作为横场，独立自由度数为 $2$，因此单位体积的态密度为
\begin{equation}
\rho(\nu) \,\mathrm{d}{\nu} = \frac{1}{V}\cdot 2\cdot \frac{ \,\mathrm{d}^{3}{k} }{(2\pi/L)^3}=\frac{8\pi \omega^2 \,\mathrm{d}{\omega} }{(2\pi c)^3}= \frac{8\pi}{c^3}\nu^2 \,\mathrm{d}{\nu} ~.
\end{equation}
结合
式 10 和
式 11 ，我们可以得到黑体辐射公式：
\begin{equation}
S_\nu(\nu,T) = \frac{8\pi h}{c^3}\frac{\nu^3}{ \mathrm{e} ^{h\nu/(k_B T)} - 1}~.
\end{equation}
1. ^ 单位体积单位频率间隔内辐射场的能量。
2. ^ 事实上对每一个振子都会有一个基态真空能 $\frac{1}{2}h\nu$ 的贡献，在这里我们忽略这一常数，即从能量密度中减去这一常数，它对我们所关心的辐射公式是没有影响的。
3. ^ 或者我们也可以从玻色爱因斯坦分布进行推导