贡献者： addis
1. 求新变量的分布函数
我们先来讨论这样一个问题：令两个随机变量 $x_1, x_2$ 间有函数关系 $x_1 = g(x_2)$，若已知 $x_1$ 的分布函数为 $f_1(x_1)$，求 $x_2$ 的分布函数 $f_2(x_2)$。
将两个概率分布写成微分形式，有
\begin{gather}
\,\mathrm{d}{P} = f_1(x_1) \,\mathrm{d}{x_1} \\
\,\mathrm{d}{P} = f_2(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} ~.
\end{gather}
若将
式 1 中的 $x_1$ 替换成 $g(x_2)$，$ \,\mathrm{d}{x_1} $ 替换成 $g'(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} $，有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{P} = f_1[g(x_2)] g'(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} ~.
\end{equation}
对比
式 2 ，得
\begin{equation}
f_2(x) = f_1[g(x)] g'(x)~,
\end{equation}
这样，就求出了 $x_2$ 的分布函数 $f_2(x)$。
例 1 线性变换
若随机变量 $x$ 的分布为 $f(x)$，那么 $y = ax$ 的分布为 $g(y) = f(y/a)/a$。平均值变为 $a\mu$，方差变为 $a^2\sigma^2$。
例 2
已知 $f_1(x_1) = 3x_1^2$，$x_1 \in [0, 1]$，$x_2 = x_1^2$，求 $x_2$ 的分布函数。
用 $x_2$ 表示 $x_1$ 得 $x_1 = \sqrt{x_2}$，代入 $ \,\mathrm{d}{P} = f_1(x_1) \,\mathrm{d}{x_1} $，得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{P} = 3\sqrt{x_2}^2 \,\mathrm{d}\left(\sqrt{x_2} \right) = \frac32 \sqrt{x_2} \,\mathrm{d}{x_2} ~.
\end{equation}
所以 $x_2$ 的分布函数为 $f_2(x_2) = 3\sqrt{x_2}/2$。
2. 求两变量的关系
预备知识 可分离变量的微分方程
另一个常见的问题是已知 $x_1$ 和 $x_2$ 的分布函数 $f_1(x_1), f_2(x_2)$，求两个随机变量需要满足的函数关系。
对比式 1 和式 2 可得一个已分离变量的微分方程
\begin{equation}
f_1(x_1) \,\mathrm{d}{x_1} = f_2(x_2) \,\mathrm{d}{x_2} ~.
\end{equation}
将方程两边积分即可得到两变量所满足的函数关系
\begin{equation}
F_1(x_1) = F_2(x_2) + C~.
\end{equation}
其中函数 $F_1, F_2$ 分别是函数 $f_1, f_2$ 的一个原函数，待定常数 $C$ 通常可以由 $x_1$ 和 $x_2$ 的取值范围确定。
这个问题的一个常见应用是在程序中生成指定分布函数的随机变量。在许多编程语言中，随机数生成器只能生成一个从 0 到 1 均匀分布的随机变量（即 $f(x) = 1$），若我们需要一个其他分布的随机变量，就可以使用以上方法。
例 3
已知随机变量 $x_1\ \ (x_1\in [0,1])$ 的分布函数为 $f_1(x_1) = 1$，求函数关系 $x_2 = g(x_1)$ 使得 $x_2$ 的分布函数为 $f_2(x_2) = 2x_2\ \ (x_2\in [0,1])$。
将 $f_1, f_2$ 代入式 6 并两边积分得
\begin{equation}
x_1 = x_2^2 + C~.
\end{equation}
由于 $x_1$ 和 $x_2$ 的区间关系得 $C = 0$，所以有 $x_2 = \sqrt{x_1}$。
例 4
给出两个随机变量 $\xi_1, \xi_2\ \ (\xi_1, \xi_2\in [0,1])$，分布函数均为 $f(\xi_i) = 1$，用 $\xi_1, \xi_2$ 表示某随机点的极坐标 $(r,\theta)$ 使得该点在单位圆内均匀随机分布。
要使随机点在单位圆内随机分布，$\theta$ 显然应该在 $[0,2\pi]$ 间均匀随机分布，所以令 $\theta = 2\pi\xi_2$ 即可。要决定 $r$ 的分布函数，我们把单位圆划分为许多小圆环，随机点出现在某圆环内的概率等于该圆环的面积比单位圆的面积，即
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{P} = \frac{2\pi r \,\mathrm{d}{r} }{\pi} = 2r \,\mathrm{d}{r} ~.
\end{equation}
所以 $r$ 的分布函数为 $2r$。令 $r$ 与 $\xi_1$ 间存在函数关系，由
式 6 得
\begin{equation}
1 \,\mathrm{d}{\xi_1} = 2r \,\mathrm{d}{r} ~.
\end{equation}
两边积分得 $\xi_1 = r^2$（$\xi_1 = 0$ 时 $r = 0$，所以积分常数为零），即 $r = \sqrt{\xi_1}$。所以，随机点的极坐标取 $(\sqrt{\xi_1}, 2\pi \xi_2)$ 即可。