光子气体

                     

贡献者: _Eden_; addis

预备知识 1 近独立子系,盒中的电磁波
  • 本文处于草稿阶段。

   光子气体是一类特殊的理想玻色气体。由于某一个光子可以被气体容器壁的分子吸收后再放出多个光子,光子气体的光子数是不守恒的,所以它的化学势 $\mu$ 为 $0$,辐射场的不同频率的能量密度只取决于光子气体的温度 $T$。

1. 态密度

   在一维情形下,施加周期性边界条件,一个电磁波振动模式所对应的波矢 $k$ 是 $2\pi/L$ 的倍数,那么波矢空间中 $d k$ 中包括了 $2\cdot \frac{L}{2\pi} dk$ 个振动模式,$2$ 来自于电磁波的两个偏振自由度。推广到三维情形,波矢空间的态密度为 $2\cdot V \frac{dk^3}{(2\pi)^3}=2\cdot Vk^2dk/(2\pi^2)$,前面的系数 $2$ 来自于电磁波的两个偏振自由度。对于电磁波,$k=\omega/c$,所以态密度为 $V \omega^2 d\omega/(\pi^2 c^3)$。

   现在考察辐射场的能量 $U$,考察每个频率区间 $[\omega,\omega+d\omega]$ 范围内的辐射场能量 $U(\omega,T)d\omega$。根据玻色分布(式 10 ),每一个振动模式(能级)可以有多个光子占据,光子的平均占据数为 $\frac{1}{ \exp\left(\hbar\omega/kT\right) -1}$,而每个光子的能量为 $\hbar\omega$,即某个能级上的光子平均能量为 $\hbar\omega/( \exp\left(\hbar\omega/kT\right) -1)$。用这一结果乘以态密度,最终可以得到辐射场的能量公式

\begin{equation} \begin{aligned} U(\omega,T) d\omega=\frac{V}{\pi^2c^3} \left[\hbar\omega^3/( \exp\left(\hbar\omega/kT\right) -1)\right] d\omega~. \end{aligned} \end{equation}

   对频率积分,就可以得到辐射场的总能量

\begin{equation} \begin{aligned} U(T)&=\int U(\omega,T) d\omega=\frac{V}{\pi^2c^3} \int \frac{\hbar\omega^3}{ \exp\left(\hbar\omega/kT\right) -1} d\omega~,\\ &=\frac{V}{\pi^2c^3 } \frac{(kT)^4}{\hbar^3}\int \frac{z^3dz}{e^z-1}=\frac{V}{\pi^2c^3\hbar^3}(kT)^4\Gamma(4)\zeta(4)\\ &=\frac{V\pi^2}{15c^3\hbar^3}(kT)^4 \end{aligned} \end{equation}
可以看出辐射场能量正比于温度的四次方。这里运用了公式
\begin{equation} \int_0^\infty \frac{z^n dz}{e^z-1}=\Gamma(n+1)\zeta(n+1),\quad \zeta(4)=\sum_n \frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}~. \end{equation}

2. 巨正则系综方法

预备知识 2 等间隔能级系统(正则系宗)

  

未完成:这个方法实际上是巨正则系综,光子数不确定,需要用巨配分函数。需要改一下描述,计算过程是不变的。需要引用巨正则系综的文章
我们用巨正则系综下推导光子气体的总能能量和压强。已知单模式(单频率)的光子气体的巨配分函数为 $\Xi(\omega) =\sum_{n\ge 0} \exp\left(-(n\hbar\omega-\mu n)\beta\right) = 1/[1- \exp\left(-\omega\hbar\beta\right) ]$,这里用到了光子气体化学势 $\mu=0$ 的性质。系统的巨配分函数为
\begin{equation} \Xi = \prod_i \Xi(\omega_i) = \prod_i \frac{1}{1- \exp\left(-\omega_i\hbar\beta\right) }~. \end{equation}
系统总能量为
\begin{equation} U = - \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln \Xi = \sum_i \frac{\partial}{\partial{\beta}} \ln\left(1 - \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar \beta}\right) = \sum_i \frac{\omega_i \hbar \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar\beta}}{1- \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar \beta}} = \sum_i \frac{\omega_i \hbar}{ \mathrm{e} ^{\omega_i\hbar\beta} - 1}~. \end{equation}
用积分来求和,模式密度为 $\rho(\omega) = V\omega^2/(\pi^2 c^3)$
\begin{equation} U = \frac{V}{\pi^2 c^3} \int_0^\infty \frac{\omega^3 \hbar}{ \mathrm{e} ^{\omega\hbar\beta} - 1} \,\mathrm{d}{\omega} ~, \end{equation}
用换元积分法,令 $x = \omega\hbar\beta$
\begin{equation} U = \frac{V}{\pi^2c^3 \beta^4 \hbar^3} \int_0^\infty \frac{x}{ \mathrm{e} ^x - 1} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\pi^2 V}{15c^3 \hbar^3} (kT)^4~. \end{equation}
最后的积分利用了公式 式 3 ,也可由 Mathematica 完成。

计算压强

   对于光子气体,由于化学势 $\mu=0$,所以亥姆霍兹自由能就等于热力学势 $\Omega$:$F=\Omega+\mu N=\Omega=-kT\ln \Xi$:

\begin{equation} F =\Omega= -kT \ln \Xi = kT \sum_i \ln\left(1 - \mathrm{e} ^{-\omega_i \hbar\beta}\right) ~. \end{equation}
光子气体的 $G=\mu N=0$,利用 $F=G-pV=-pV$,可以得到 $p=-F/V$,就求出了光子气体的压强。

                     

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