立体角

贡献者： addis; _Eden_

预备知识　重积分

　　¹如果我们以某种锥体（例如圆锥，三棱锥，假设其无限高）的顶点作为圆心作一个半径为 1 的球（单位球），那么这个锥体的立体角（solid angle）就是单位球的表面被锥体截出的面积，通常用 $Ω$ 表示。

　　我们知道半径为 $R$ 的球体的表面积为 $4 π R^{2}$ ，所以立体角的取值范围是 $[0, 4 π]$ 。

1. 对立体角积分

　　考虑 $d θ$ 与 $d ϕ$ 围成的立体角。在半径为 $R$ 上的球面上截出的面积为 $\sin θ d θ d ϕ$ 。所以对对立体角积分的公式为

\begin{matrix} (1) & \int d Ω = \int_{0}^{π} \sin θ d θ \int_{0}^{2 π} d ϕ = 4 π . \end{matrix}

由此得到了三维球体的表面对应的立体角为

4 π

。

　　顶角为 $2 θ$ 的圆锥在单位球面上可截出一个球盖。在例 3 中我们知道球盖的面积，所以该圆锥的立体角为

\begin{matrix} (2) & Ω = 2 π (1 - \cos θ) . \end{matrix}

未完成：例如一个质量分布不均匀的球壳质量

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。