多维空间中的量子力学

预备知识　张量积空间，梯度

单个粒子在多维空间中的波函数

　　本词条中的“多维” 指的是二维和三维．与牛顿力学一样，在学习完粒子的直线运动（一维）后，我们希望能了解粒子在平面上的运动（二维），或者空间中的运动（三维）．在多于一维的情况下，波函数变为位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 以及时间 $t$ 的函数

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) \end{equation}

例如在二维直角坐标系中， $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \Psi(x, y, t)$，又例如在三维的球坐标系中， $\Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t) = \Psi(r, \theta, \phi, t)$

矢量算符

　　在多维空间中，位置和动量分别从标量拓展为矢量，所以对应地，位置算符和动量算符也分别拓展为矢量算符（我们暂时把这两个算符的定义看作是量子力学的基本假设）

\begin{equation} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \boldsymbol{\mathbf{r}} = x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = - \mathrm{i} \hbar \boldsymbol\nabla = \hat{p} _x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \hat{p} _y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \hat{p} _z \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ &= \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{x}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{y}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \left(- \mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned} \end{equation}

当矢量算符作用在波函数上后，得到的函数的自变量仍然是 $( \boldsymbol{\mathbf{r}} , t)$，而因变量却变为一个复数矢量（矢量的三个分量都是复数）．把位置算符作用在波函数上，就是把波函数分别乘以 $x, y, z$ 的坐标，并作为因变量矢量的三个分量．而把动量算符作用在波函数上，就先把各个方向的动量算符分别作用，并作为因变量矢量的三个分量．所以在矢量算符的本征方程

\begin{equation} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{Q}} } \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{\lambda}} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}

中，我们只有使用矢量本征值才能保证等号两边都是矢量．矢量算符的本征方程也可以写成三个分量的形式

\begin{equation} \hat{Q} _x \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_x \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \qquad \hat{Q} _y \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_y \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \qquad \hat{Q} _z \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \lambda_z \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \end{equation}

　　不难验证，位置的本征函数就是三维 $\delta$ 函数

\begin{equation} \delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) = \delta(x - x_0) \delta(y - y_0) \delta(z - z_0) \end{equation}

对应的本征值为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$．动量的本征函数就是三维平面波

\begin{equation} \exp\left( \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} \right) = \exp\left( \mathrm{i} k_x x\right) \exp\left( \mathrm{i} k_y y\right) \exp\left( \mathrm{i} k_z z\right) \end{equation}

对应的本征值为 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = \hbar \boldsymbol{\mathbf{k}} $．

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