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多维空间中的量子力学

预备知识 张量积空间, 梯度

单个粒子在多维空间中的波函数

   本词条中的“多维” 指的是二维和三维. 与牛顿力学一样, 在学习完粒子的直线运动(一维)后, 我们希望能了解粒子在平面上的运动(二维), 或者空间中的运动(三维). 在多于一维的情况下, 波函数变为位置矢量 $\bvec r$ 以及时间 $t$ 的函数

\begin{equation} \Psi(\bvec r, t) \end{equation}
例如在二维直角坐标系中, $\Psi(\bvec r, t) = \Psi(x, y, t)$, 又例如在三维的球坐标系中, $\Psi(\bvec r, t) = \Psi(r, \theta, \phi, t)$

矢量算符

   在多维空间中, 位置和动量分别从标量拓展为矢量, 所以对应地, 位置算符和动量算符也分别拓展为矢量算符(我们暂时把这两个算符的定义看作是量子力学的基本假设)

\begin{equation} \Q{\bvec r} = \bvec r = x\uvec x + y\uvec y + z\uvec z \end{equation}
\begin{equation}\ali{ &\quad \Q{\bvec p} = -\I\hbar \grad = \Q p_x \uvec x + \Q p_y \uvec y + \Q p_z \uvec z\\ &= \qtyRound{-\I\hbar \pdv{x}} \uvec x + \qtyRound{-\I\hbar \pdv{y}} \uvec y + \qtyRound{-\I\hbar \pdv{z}} \uvec z }\end{equation}
当矢量算符作用在波函数上后, 得到的函数的自变量仍然是 $(\bvec r, t)$, 而因变量却变为一个复数矢量(矢量的三个分量都是复数). 把位置算符作用在波函数上, 就是把波函数分别乘以 $x, y, z$ 的坐标, 并作为因变量矢量的三个分量. 而把动量算符作用在波函数上, 就先把各个方向的动量算符分别作用, 并作为因变量矢量的三个分量. 所以在矢量算符的本征方程
\begin{equation} \Q{\bvec Q} \Psi(\bvec r) = \bvec \lambda \Psi(\bvec r) \end{equation}
中, 我们只有使用矢量本征值才能保证等号两边都是矢量. 矢量算符的本征方程也可以写成三个分量的形式
\begin{equation} \Q Q_x \Psi(\bvec r) = \lambda_x \Psi(\bvec r) \qquad \Q Q_y \Psi(\bvec r) = \lambda_y \Psi(\bvec r) \qquad \Q Q_z \Psi(\bvec r) = \lambda_z \Psi(\bvec r) \end{equation}

   不难验证, 位置的本征函数就是三维 $\delta$ 函数

\begin{equation} \delta(\bvec r - \bvec r_0) = \delta(x - x_0) \delta(y - y_0) \delta(z - z_0) \end{equation}
对应的本征值为 $\bvec r_0$. 动量的本征函数就是三维平面波
\begin{equation} \expRound{\I \bvec k \vdot \bvec r} = \expRound{\I k_x x} \expRound{\I k_y y} \expRound{\I k_z z} \end{equation}
对应的本征值为 $\bvec p = \hbar\bvec k$.

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