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电势 电势能

预备知识 力场 势能

电势能

   我们先来看电势能. 如果空间中存在某种分布的静电场(关于位置的矢量函数) $\bvec E(\bvec r)$, 一个电荷为 $q$ 的点电荷在任意位置 $\bvec r$ 都会受到电场力

\begin{equation} \bvec F(\bvec r) = q \bvec E(\bvec r) \end{equation}
这样我们就得到了一个由电场力构成的力场, 注意该力场与电场成正比.

   从某点 $\bvec r_1$ 沿着某个路径移动到另一点 $\bvec r_2$, 电场对它做功为

\begin{equation} W = q \int_{\bvec r_1}^{\bvec r_2} \bvec E(\bvec r) \vdot \dd{\bvec r} \end{equation}

   要讨论势能的概念, 我们首先需要确保这个力场是一个保守场, 即只有上式的结果只于初末位置有关而与路径无关时才可能存在一个势能函数. 以后我们会看到, 当空间中没有随时间变化的磁场时, 电场必定是一个保守场, 所以我们接下来只讨论这种情况.

   记有了势能函数(关于位置的标量函数)为 $E_p(\bvec r)$, 就有 “力场对物体做功等于势能减少”, 或者 “势能增加等于力场做的负功” 即

\begin{equation} E_p(\bvec r_2) - E_p(\bvec r_1) = -W = -q \int_{\bvec r_1}^{\bvec r_2} \bvec E(\bvec r) \vdot \dd{\bvec r} \end{equation}

   根据上式, 我们只能判断两点之间的势能差, 完全确定势能函数, 还需要指定零势点的位置 $\bvec r_0$ 使得 $E_p(\bvec r_0) = 0$ (类比万有引力势能). 于是任意一点的势能为

\begin{equation} E_p(\bvec r) = -q \int_{\bvec r_0}^{\bvec r} \bvec E(\bvec r) \vdot \dd{\bvec r} \end{equation}

电势

   注意以上公式中, 无论是做功还是势能都与电荷量 $q$ 有关(成正比). 为了更直接地描述电场本身的性质, 我们可以把这些公式两边都除以 $q$. 若定义电势 $V(\bvec r)$ 满足

\begin{equation} E_p(\bvec r) = q V(\bvec r) \end{equation}
式 3 式 4 就变为
\begin{equation} V(\bvec r_2) - V(\bvec r_1) = - \int_{\bvec r_1}^{\bvec r_2} \bvec E(\bvec r) \vdot \dd{\bvec r} \end{equation}
\begin{equation} V(\bvec r) = -\int_{\bvec r_0}^{\bvec r} \bvec E(\bvec r) \vdot \dd{\bvec r} \end{equation}
同样, 该积分只与初末位置有关而与路径无关. 这样一来, 电势就只是电场的属性而与电荷量无关了.

点电荷的电势和电势能

   假设空间中有两个点电荷, $q_1$ 产生的电场可以根据式 2 计算, 现在考虑 $q_2$ 在该场中的势能, 取无穷远处为零势点, 使用式 4 可以计算 $q_2$ 的势能为(这个过程可以类比万有引力势能的推导过程)

\begin{equation} E_{p2} = -q_2 \int_{\infty}^{\bvec r_1} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1}{r_{12}^3}\bvec r_{12} \vdot \dd{\bvec r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r_{12}} \end{equation}
有趣的是, 计算 $q_1$ 在 $q_2$ 产生的电场中的势能结果也是一样的. 事实上, 电势能不储存于任何一个电荷中而是储存于电场中. 以后我们会学习如何直接从总电场分布来计算势能, 结果还是和上式一样. 所以以后我们对这两种情况不加区分, 都记为
\begin{equation} E_p(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r_{12}} \end{equation}
注意当两电荷异号时, $q_1 q_2$ 为负数, 此时与万有引力一样, 距离越近, 势能越小. 两电荷同号时 $q_1 q_2$ 为正, 距离越远势能越小.

例1 

   两个电荷量为 $Q$ 的电荷分别被固定在 $(-c, 0)$ 和 $(c, 0)$ 两点处, 另一质量为 $m$ 电荷量为 $q$ 的点电荷从 $(0, a)$ 延直线移动到 $(0, b)$, 试问它的动能增加了多少?

   解: 由式 9 可知, 点电荷 $q$ 在 $(0, y)$ 处的电势能为

\begin{equation} E_p = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2Qq}{\sqrt{y^2 + c^2}} \end{equation}
所以动能增加等于势能减少, 即
\begin{equation} \Delta E_k = V_a - V_b = \frac{Qq}{2\pi\epsilon_0} \qtyRound{\frac{1}{\sqrt{a^2 + c^2}} - \frac{1}{\sqrt{b^2 + c^2}}} \end{equation}

多个点电荷的电势能

   由于电场可以矢量叠加, 电势和电势能也可以叠加. 当空间中存在 $N$ 个点电荷, 那么第 $i$ 个点电荷在剩下 $N-1$ 个点电荷产生的电场中的电势就是

\begin{equation} V_i(\bvec r_i) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_j^{(j\ne i)} \frac{q_j}{\abs{\bvec r_j - \bvec r_i}} \end{equation}
电势能为 $E_{pi}(\bvec r_i) = q_i V_i(\bvec r_i)$. 这个能量的意义是, 把点点电荷 $q_i$ 从无穷远处移动到 $\bvec r_i$ 处需要的功.

   如果要计算 $N$ 个电荷的总电势能, 我们需要假设开始时这些点电荷两两间距离都是无穷远, 然后把他们依次移动到 $\bvec r_i$ 处所需要的总功. 可以证明多个点电荷系统的总电势能等于这些电荷两两间势能的和, 即

\begin{equation} E_p = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i,j}^{(i < j)} \frac{q_i q_j}{\abs{\bvec r_j - \bvec r_i}} \end{equation}
其中小于号是为了在求和过程中不重复计算同一对电荷. 如果不要求小于, 则需要除二
\begin{equation} E_p = \frac{1}{8\pi\epsilon_0} \sum_{i, j}^{(j\neq i)} \frac{q_i q_j}{\abs{\bvec r_j - \bvec r_i}} \end{equation}
式 12 带入得
\begin{equation} E_p = \frac12 \sum_i q_i V_i(\bvec r_i) \end{equation}
这个公式也提供了一种不同的理解.

连续电荷分布的情况

   将式 12 用拓展到连续电荷分布的情况, 令电荷密度分布为 $\rho(\bvec r)$, 则某点的电势可以通过对整个空间积分得到

\begin{equation} V(\bvec r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\bvec r)}{\abs{\bvec r - \bvec r'}} \dd[3]{r'} \end{equation}

例2 无限长导线的电势

   (未完成, 基于例 1 的结论)

例3 均匀带平板的电势

   电荷面密度为 $\sigma$, 令无穷远处为零势点, 求均匀带电球内外的电势分布.

   (未完成, 基于例 2 的结论)

   我们也可以类比式 15 , 写出连续电荷分布的电势能为

\begin{equation} E_p = \frac 12 \int V(\bvec r) \rho(\bvec r) \dd[3]{r} \end{equation}

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