图

小角正弦极限

预备知识 极限

   这里要介绍的是一个很显然的几何问题,然而它在高等数学和物理中却非常频繁地出现.

   设平面上 $O$ 点为圆心,以 $R$ 作为半径画圆.取一段的圆心角为 $\theta $ 的圆弧 $AB$ (令长为 $l$),并作线段 $AB$ (如图 1 ).

图
图1:单位圆中,随着角度不断减小,弧长与线段长度的相对误差也不断减小

   由弧长公式得

\begin{equation} l = R\theta \end{equation}
线段 $AB$ 的长度为
\begin{equation} AB = 2R\sin \frac{\theta }{2} \end{equation}
显然弧长 $l$ 大于线段长度 $AB$ (两点之间直线最短),但从图中可以看出随着 $\theta $ 越来越小,二者的相对误差($E$)越来越小.用极限的语言来说,就是当 $\theta $ 趋近于 $0$ 时,它们的比值趋近于11.现在我们可以总结出 $\theta \to 0$ 时的两个结论

  1. 线段长度 $AB$ 趋近于弧长 $l$, 一般情况下可近似认为 $AB = l$2
  2. 代入上面的长度表达式(式 1 ),有
    \begin{equation} 1=\lim_{\theta\to 0} \frac{AB}{l} = \lim_{\theta\to 0} \frac{2R\sinRound {\theta/2}}{R\theta} = \lim_{\theta\to 0}\frac{\sinRound {\theta/2}}{\theta/2} \end{equation}
    令 $x = \theta/2$, 有
    \begin{equation} \lim_{\theta\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \end{equation}

   这是一个非常重要的极限.


1. 注意这只是一个经验上的总结,证明参考高等数学教材.
2. 严格来说,这是一个一阶近似,见泰勒级数.

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