图

LC 振荡电路

   电容公式

\begin{equation} I = C \dvTwo{U_c}{t} \end{equation}
电感公式
\begin{equation} U_L = L \dvTwo{I}{t} \end{equation}
由回路电压合为零,得
\begin{equation} U_L + U_c = 0 \end{equation}
式 1 求导得 $\dvStarTwo{I}{t} = C \dvStarTwo[2]{U_c}{t}$, 代入式 2 得 $U_L = LC \dvStarTwo[2]{U_c}{t}$. 代入 式 3 得关于 $U_c$ 的微分方程
\begin{equation} \dvTwo[2]{U_c}{t} + \frac{1}{LC} U_c = 0 \end{equation}
根据二阶线性常系数齐次微分方程的第 3 种情况,其通解为
\begin{equation} U_c = U_0 \sinRound{\omega t + \phi_0} \qquad \omega = \frac{1}{\sqrt {LC}} \end{equation}
\begin{equation} I = C \dvTwo{U_c}{t} = \sqrt{\frac{C}{L}} U_0 \cosRound{\omega t + \phi_0} \end{equation}

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