电容的串联和并联

贡献者： addis; 零穹

预备知识　电容

图 1：电容并联（左）和串联（右）

　　 $n$ 个电容并联和串联公式分别为

\begin{equation} C=\sum_{i=1}^{n}C_i~, \end{equation}

\begin{equation} \frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i}~, \end{equation}

特殊地，$n = 2$ 时并联公式可变形为

\begin{equation} C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}~. \end{equation}

1. 电容的并联

　　如图 1 左边为两电容器的并联，由于并联电压相等

\begin{equation} U_1=U_2=U~. \end{equation}

　　由电容的定义式 1 知道

\begin{equation} \begin{aligned} Q_1=C_1U~,\\ Q_2=C_2U~. \end{aligned} \end{equation}

所以，两电容器并联后总电容为

\begin{equation} C=\frac{Q_1+Q_2}{U}=\frac{Q_1}{U}+\frac{Q_2}{U}=C_1+C_2~, \end{equation}

\begin{equation} C = C_1 + C_2~. \end{equation}

　　对于 $n$ 个电容器的并联，可采取同样的证明方法，结果有

\begin{equation} C=\sum_{i=1}^{n}C_i~. \end{equation}

上式也可以用数学归纳法证明。

2. 电容的串联

　　如图 1 右边为两电容器的串联。对于串联，两电容器电荷量 $Q$ 相等

\begin{equation} Q_1=Q_2=Q~. \end{equation}

　　由电容的定义式 1 知道

\begin{equation} \begin{aligned} U_1=\frac{Q}{C_1}~,\\ U_2=\frac{Q}{C_2}~. \end{aligned} \end{equation}

所以，两电容器串联后总电容为

\begin{equation} {C} = \frac{Q}{U_1+U_2} = \frac{Q}{\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}} = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2}~. \end{equation}

或

\begin{equation} \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}~. \end{equation}

　　与电容的并联类似，可证明对于 $n$ 个电容器的串联，有

\begin{equation} \frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i}~. \end{equation}

习题 1　

　　用数学归纳法分别证明 $n$ 个电容器的串联和并联公式（证明可参考弹簧的串联和并联）

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