电容的串联和并联

             

预备知识 电容
图
图 1:电容并联(左)和串联(右)

   $n$ 个电容并联和串联公式分别为

\begin{equation} C=\sum_{i=1}^{n}C_i \end{equation}
\begin{equation} \frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i} \end{equation}
特殊地,$n = 2$ 时并联公式可变形为
\begin{equation} C = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \end{equation}

1. 电容的并联

   如图 1 左边为两电容器的并联,由于并联电压相等

\begin{equation} U_1=U_2=U \end{equation}

   由电容的定义式 1 知道

\begin{equation} \begin{aligned} Q_1=C_1U\\ Q_2=C_2U \end{aligned} \end{equation}
所以,两电容器并联后总电容为
\begin{equation} C=\frac{Q_1+Q_2}{U}=\frac{Q_1}{U}+\frac{Q_2}{U}=C_1+C_2 \end{equation}
\begin{equation} C = C_1 + C_2 \end{equation}

   对于 $n$ 个电容器的并联,可采取同样的证明方法,结果有

\begin{equation} C=\sum_{i=1}^{n}C_i \end{equation}
上式也可以用数学归纳法证明.

2. 电容的串联

   如图 1 右边为两电容器的串联.对于串联,两电容器电荷量 $Q$ 相等

\begin{equation} Q_1=Q_2=Q \end{equation}

   由电容的定义式 1 知道

\begin{equation} \begin{aligned} U_1=\frac{Q}{C_1}\\ U_2=\frac{Q}{C_2} \end{aligned} \end{equation}
所以,两电容器串联后总电容为
\begin{equation} {C} = \frac{Q}{U_1+U_2} = \frac{Q}{\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}} = \frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} \end{equation}
\begin{equation} \frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \end{equation}

   与电容的并联类似,可证明对于 $n$ 个电容器的串联,有

\begin{equation} \frac{1}{C}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{C_i} \end{equation}

习题 1 

   用数学归纳法分别证明 $n$ 个电容器的串联和并联公式(证明可参考弹簧的串联和并联

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