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动能 动能定理(单个质点)

         

预备知识 功 功率,牛顿第二定律

   令质点的质量为 $m$,速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,则质点的动能定义为

\begin{equation} E_k = \frac12 m \boldsymbol{\mathbf{v}} ^2 = \frac12 mv^2 \end{equation}

   质点的动能定理是,一段时间内质点动能的变化等于合外力对质点做的功.从变化率(即时间导数)的角度来看,动能定理也可以表述为质点的动能变化率等于合外力对质点的功率

推导

   力对质点做功的功率

\begin{equation} P = \frac{\mathrm{d}{W}}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
再来看动能的变化率
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} E_k = \frac12 m \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \end{equation}
由 “ 矢量内积的求导式 7 ,$ \mathrm{d}{( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )}/\mathrm{d}{t} = 2 \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }/\mathrm{d}{t} = 2 \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} $,上式变为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} E_k = m \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
最后一步使用了牛顿第二定律.注意式 2 式 4 相等,所以动能变化率等于合外力的功率.

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