图

动能 动能定理(单个质点)

预备知识 功 功率,牛顿第二定律

   令质点的质量为 $m$,速度为 $\bvec v$,则质点的动能定义为

\begin{equation} E_k = \frac12 m\bvec v^2 = \frac12 mv^2 \end{equation}

   质点的动能定理是,一段时间内质点动能的变化等于合外力对质点做的功.从变化率(即时间导数)的角度来看,动能定理也可以表述为质点的动能变化率等于合外力对质点的功率

推导

   力对质点做功的功率

\begin{equation} P = \dvTwo{W}{t} = \bvec F\vdot \dvTwo{\bvec r}{t} = \bvec F\vdot\bvec v \end{equation}
再来看动能的变化率
\begin{equation} \dv{t} E_k = \frac12 m\dv{t} (\bvec v\vdot\bvec v) \end{equation}
由“ 矢量内积的求导式 7 ,$\dvStarTwo{(\bvec v\vdot\bvec v)}{t} = 2\bvec v\vdot \dvStarTwo{\bvec v}{t} = 2\bvec v\vdot\bvec a$,上式变为
\begin{equation} \dv{t} E_k = m\bvec a\vdot\bvec v = \bvec F\vdot\bvec v \end{equation}
最后一步使用了牛顿第二定律.注意式 2 式 4 相等,所以动能变化率等于合外力的功率.

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