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厄米矩阵的本征问题

预备知识 厄米矩阵

   说明 $N$ 维厄米矩阵存在 $N$ 个正交的本征矢. 当 $i \ne j$, 则 $\bvec v_i \vdot \bvec v_j = 0$ 讨论简并的情况.

   本征方程为

\begin{equation} \mat A \bvec v = \lambda \bvec v \end{equation}
\begin{equation} (\mat A - \lambda \mat I) \bvec v = 0 \end{equation}

   行列式 $\abs{\mat A - \lambda \mat I}$ 是一个关于 $\lambda$ 的 $N$ 阶多项式, 多以有 $N$ 个解.

本征值为实数

\begin{equation} \bvec v_i\Her \mat A \bvec v_i = \lambda_i \bvec v_i\Her \bvec v_i \end{equation}
将等式两边取厄米共轭(注意矢量也可以看成矩阵), 由式 3 式 2 可得
\begin{equation} \bvec v_i\Her \mat A\Her \bvec v_i = \bvec v_i\Her \mat A \bvec v_i = \lambda_i^* \bvec v_i\Her \bvec v_i \end{equation}
对比两矢, 得 $\lambda_i = \lambda_i^*$, 所以 $\lambda_i$ 必为实数.

正交性证明

\begin{equation} s = \bvec v_1\Her (\mat A \bvec v_2) = \bvec v_1\Her (\lambda_2 \bvec v_2) = \lambda_2 \bvec v_1\Her \bvec v_2 \end{equation}
使用矩阵乘法结合律式 18 以及式 3
\begin{equation} s = (\mat A \bvec v_1)\Her \bvec v_2 = \lambda_1^* \bvec v_1\Her \bvec v_2 = \lambda_1 \bvec v_1\Her \bvec v_2 \end{equation}
以上两矢相等, 因为 $\lambda_1 \ne \lambda_2$, 所以 $\bvec v_1\Her \bvec v_2 = 0$.

   事实上, 厄米矩阵也可以定义为满足

\begin{equation} \bvec v_1\Her (\mat A \bvec v_2) = (\mat A \bvec v_1)\Her \bvec v_2 \end{equation}
的矩阵.

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