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厄米矩阵的本征问题

预备知识 厄米矩阵, 矩阵的本征方程

   本词条将 “对称矩阵的本征值问题” 拓展到厄米矩阵, 结论和过程都相似. 我们来证明 $N$ 维厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 存在 $N$ 个两两正交归一的本征矢 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1, \dots, \boldsymbol{\mathbf{v}} _N$.

证明本征值为实数

   本征方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
将本征方程左边乘以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
将等式两边取厄米共轭(注意矢量也可以看成矩阵), 由式 3 式 2 可得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \lambda_i^* \boldsymbol{\mathbf{v}} _i ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \end{equation}
对比两式, 得 $\lambda_i = \lambda_i^*$, 所以 $\lambda_i$ 必为实数.

证明本征矢的正交性

   简并空间内, 我们可以认为地指定正交归一基底, 所以只需要证明不同本征值对应的本征矢正交即可.

\begin{equation} s = \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^\dagger ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2) = \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^\dagger (\lambda_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _2) = \lambda_2 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \end{equation}
使用矩阵乘法结合律式 18 以及式 3
\begin{equation} s = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1) ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = \lambda_1^* \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = \lambda_1 \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \end{equation}
以上两矢相等, 因为 $\lambda_1 \ne \lambda_2$, 所以 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 = 0$.

   事实上, 厄米矩阵也可以定义为满足

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 ^\dagger ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _2) = ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1) ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \end{equation}
的矩阵.

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