图

能量归一化

一维散射

   想要能量归一化, 需要

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{E'}^*(x) \psi_E(x) \dd{x} = \delta (E - E') \end{equation}
能不能在动量归一化的波函数基础上修改, 得到能量归一化的本征函数呢? 动量归一化的要求是
\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{k'}^*(x) \psi_k(x) \dd{x} = \delta(k - k') \end{equation}
满足
\begin{equation}\ali{ \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_k^*(x) \psi(x) \dd{x} = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_k^*(x) \qtyRound{\int_{-\infty}^{+\infty} c(k')\psi_{k'}(x) \dd{k'}} \dd{x} = c(k) }\end{equation}
另外注意 $E = \hbar ^2 k^2/(2m)$, $E' = \hbar^2/(2mk'^2)$.
\begin{equation} \delta \qtySquare{ \frac{\hbar ^2}{2m}(k^2 - k'^2)} \end{equation}
根据 $\delta $ 函数的性质, 若 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个零点
\begin{equation} \delta[f(x)] = \frac{1}{f'(x)}\delta (x - x_0) \end{equation}
所以
\begin{equation} \begin{aligned} \delta (E - E') & = \delta \qtySquare{\frac{\hbar^2}{2m}(k^2 - k'^2)} = \frac{m}{\hbar ^2 k}\delta (k - k') \\ &= \frac{m}{\hbar^2 k}\int_{-\infty }^{+\infty } \psi_k^*(x) \psi_k(x)\dd{x} \end{aligned} \end{equation}
可得
\begin{equation} \psi_E (x) = \frac{1}{\hbar} \sqrt{\frac{m}{k}} \psi_k(x) \end{equation}

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