图

电场波动方程

预备知识 麦克斯韦方程组(介质)

   介质中

   非线性光学中一般认为介质具有 $\mu = \mu_0$,且假设 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = 0$ 仍然成立

   介质中没有自由电荷或自由电流.

   类似真空情况的推导过程,有

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} ) = -\mu_0 \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \boldsymbol{\mathbf{D}} \end{equation}

   把电位移矢量的定义 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} = \epsilon_0 \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 代入上式,化简为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) = - \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = -\mu_0 \frac{\partial}{\partial{t}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} ) = -\mu_0 \frac{\partial^{2}}{\partial{t}^{2}} \boldsymbol{\mathbf{D}} \end{equation}

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