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曲线坐标系中的重积分

预备知识 重积分, 正交曲线坐标系

   在计算一些多重积分时, 选取合适的坐标系往往可以大大化简问题.

极坐标系中的二重积分

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图1:极坐标中的面积元

   我们来看如何在极坐标系中进行二重积分. 我们先把积分区域划分为无数个小面元, 点 $\bvec r$ 处面元的形状如图 1 所示, 即把两个坐标 $r, \theta$ 坐标分别在原来的基础上增加一个微小值,并围成一块小区域. 由于 $\dd{r}, \dd{\theta}$ 都是无穷小, 该面元的形状趋近于长方形, 其面积为两边长相乘

\begin{equation} \dd{s} = \dd{r}\cdot r\dd{\theta} = r\dd{r}\dd{\theta} \end{equation}
类比例 1 , 我们可以将 $f(r, \theta)$ 的面积分记为
\begin{equation} \iint_{\mathcal S} f(r, \theta) r\dd{r}\dd{\theta} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \dd{\theta}\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} \dd{r} r f(r, \theta) \end{equation}
其中 $r_1(\theta)$ 与 $r_2(\theta)$ 是区域 $\mathcal S$ 的两条边界(类比式 7 中的 $y_1(x), y_2(x)$)

例1 

   求 $f(r,\theta) = ar$ 在内外半径为 $R_1, R_2$ 的圆环区域的面积分.

   先来看积分上下限, 对于圆环区域, 显然有 $r_1(\theta) = R_1$, $r_2(\theta) = R_2$, $\theta_1 = 0$, $\theta_2 = 2\pi$. 直接使用式 2

\begin{equation}\ali{ \iint_{\mathcal S} f(r, \theta) r\dd{r}\dd{\theta} &= \int_0^{2\pi} \qtySquare{\int_{R_1}^{R_2} ar^2 \dd{r}} \dd{\theta} = \int_0^{2\pi} \frac a3 (R_2^3 - R_1^3) \dd{\theta}\\ &= \frac{2\pi a}{3} (R_2^3 - R_1^3) }\end{equation}

   如果使用直角坐标系计算该积分, 过程将会变得十分复杂.

曲线坐标系中的体积分

   在曲线坐标系中, 令

\begin{equation} \pdvTwo{\bvec r}{x_i} \equiv f_i(\bvec r)\uvec x_i \quad (i = 1,2,3) \end{equation}
则位矢的全微分为
\begin{equation} \dd{\bvec r} = \sum_{i = 1}^3 f_i(\bvec r)\dd{x_i}\uvec x_i \end{equation}
所以空间中的一个体积元(每个 $x_i$ 都分别增加 $\dd{x_i}$ 所围成的长方体)可以表示为
\begin{equation} \dd{V} = f_1(\bvec r)f_2(\bvec r)f_3(\bvec r)\dd{x_1}\dd{x_2}\dd{x_3} \end{equation}
这是因为根据式 5 , 单独将坐标 $x_i$ 增加 $\dd{x_i}$ 会导致 $\bvec r$ 在 $\uvec x_i$ 方向增加 $f_i(\bvec r)\dd{x_i}$, 这相当于长方体在 $\uvec x_i$ 方向的边长, 而长方体的体积等于三条边长之积. 为了方便书写我们以后将 $\dd{x_1}\dd{x_2}\dd{x_3}$ 记为 $\dd[3]{x}$ 或 $\dd[3]{r}$.

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图2:柱坐标(左)和球坐标(右)中的体积元

   我们已知直角坐标系中 $\pdvStarTwo{\bvec r}{x_i} = 1$, 所以体积元为 $\dd[3]{r} = \dd{x}\dd{y}\dd{z}$. 对于柱坐标系(图 2 左), 由式 5 得体积元为

\begin{equation} \dd{V} = \dd{r}\cdot r\dd{\theta} \cdot \dd{z} = r\dd{r}\dd{\theta}\dd{z} \end{equation}
类似地, 对于球坐标系(图 2 右), 由式 11 得体积元为
\begin{equation} \dd{V} = \dd{r} \cdot r\dd{\theta} \cdot r\sin\theta\dd{\phi} = r^2\sin\theta\dd{r}\dd{\theta}\dd{\phi} \end{equation}

例2 球体的体积

   在例 4 中我们用一元函数的定积分得到了球体的体积, 现在我们也可以直接在球坐标中由体积分得到.

\begin{equation}\ali{ V &= \int 1 \dd[3]{r} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2\sin\theta \dd{r} \dd{\theta} \dd{\phi}\\ &= \int_0^{2\pi} \dd{\phi} \int_0^\pi \sin\theta \dd{\theta} \int_0^R r^2 \dd{r}\\ &= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac 13 R^3 = \frac 43 \pi R^3 }\end{equation}

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