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曲线坐标系中的重积分

预备知识 重积分, 正交曲线坐标系

   在计算一些多重积分时, 选取合适的坐标系往往可以大大化简问题.

极坐标系中的二重积分

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图1:极坐标中的面积元

   我们来看如何在极坐标系中进行二重积分. 我们先把积分区域划分为无数个小面元, 点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处面元的形状如图 1 所示, 即把两个坐标 $r, \theta$ 坐标分别在原来的基础上增加一个微小值,并围成一块小区域. 由于 $ \,\mathrm{d}{r} , \,\mathrm{d}{\theta} $ 都是无穷小, 该面元的形状趋近于长方形, 其面积为两边长相乘

\begin{equation} \,\mathrm{d}{s} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} = r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \end{equation}
类比例 1 , 我们可以将 $f(r, \theta)$ 的面积分记为
\begin{equation} \iint_{\mathcal S} f(r, \theta) r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \,\mathrm{d}{\theta} \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} \,\mathrm{d}{r} r f(r, \theta) \end{equation}
其中 $r_1(\theta)$ 与 $r_2(\theta)$ 是区域 $\mathcal S$ 的两条边界(类比式 7 中的 $y_1(x), y_2(x)$)

例1 

   求 $f(r,\theta) = ar$ 在内外半径为 $R_1, R_2$ 的圆环区域的面积分.

   先来看积分上下限, 对于圆环区域, 显然有 $r_1(\theta) = R_1$, $r_2(\theta) = R_2$, $\theta_1 = 0$, $\theta_2 = 2\pi$. 直接使用式 2

\begin{equation} \begin{aligned} \iint_{\mathcal S} f(r, \theta) r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} &= \int_0^{2\pi} \left[\int_{R_1}^{R_2} ar^2 \,\mathrm{d}{r} \right] \,\mathrm{d}{\theta} = \int_0^{2\pi} \frac a3 (R_2^3 - R_1^3) \,\mathrm{d}{\theta} \\ &= \frac{2\pi a}{3} (R_2^3 - R_1^3) \end{aligned} \end{equation}

   如果使用直角坐标系计算该积分, 过程将会变得十分复杂.

曲线坐标系中的体积分

   在曲线坐标系中, 令

\begin{equation} \frac{\partial \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\partial x_i} \equiv f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \quad (i = 1,2,3) \end{equation}
则位矢的全微分为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sum_{i = 1}^3 f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_i} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i \end{equation}
所以空间中的一个体积元(每个 $x_i$ 都分别增加 $ \,\mathrm{d}{x_i} $ 所围成的长方体)可以表示为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = f_1( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f_2( \boldsymbol{\mathbf{r}} )f_3( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x_3} \end{equation}
这是因为根据式 5 , 单独将坐标 $x_i$ 增加 $ \,\mathrm{d}{x_i} $ 会导致 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 方向增加 $f_i( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{x_i} $, 这相当于长方体在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} _i$ 方向的边长, 而长方体的体积等于三条边长之积. 为了方便书写我们以后将 $ \,\mathrm{d}{x_1} \,\mathrm{d}{x_2} \,\mathrm{d}{x_3} $ 记为 $ \,\mathrm{d}^{3}{x} $ 或 $ \,\mathrm{d}^{3}{r} $.

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图2:柱坐标(左)和球坐标(右)中的体积元

   我们已知直角坐标系中 $ \partial \boldsymbol{\mathbf{r}} /\partial x_i = 1$, 所以体积元为 $ \,\mathrm{d}^{3}{r} = \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} \,\mathrm{d}{z} $. 对于柱坐标系(图 2 左), 由式 5 得体积元为

\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} \cdot \,\mathrm{d}{z} = r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{z} \end{equation}
类似地, 对于球坐标系(图 2 右), 由式 11 得体积元为
\begin{equation} \,\mathrm{d}{V} = \,\mathrm{d}{r} \cdot r \,\mathrm{d}{\theta} \cdot r\sin\theta \,\mathrm{d}{\phi} = r^2\sin\theta \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}

例2 球体的体积

   在例 4 中我们用一元函数的定积分得到了球体的体积, 现在我们也可以直接在球坐标中由体积分得到.

\begin{equation} \begin{aligned} V &= \int 1 \,\mathrm{d}^{3}{r} = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2\sin\theta \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} \,\mathrm{d}{\phi} \\ &= \int_0^{2\pi} \,\mathrm{d}{\phi} \int_0^\pi \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \int_0^R r^2 \,\mathrm{d}{r} \\ &= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac 13 R^3 = \frac 43 \pi R^3 \end{aligned} \end{equation}

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