平衡位置和圈

                     

贡献者： 零穹

　　 本节介绍自治系统（定义 2 ）解的分类。概括来说，自治系统的解（或轨线）有三种情形：

1. 定点解，即轨线成为个不依赖自变量 $x$ 的点，称为平衡位置；
2. 周期解，即轨线自身相交，称为闭轨线或圈(环);
3. 自身不相交的轨线。

　　 $T$ 之所以是最小的正周期，是因为否则的化，将会存在 $T_1<T$，使得 ${\phi }_i(x+T_1)={\phi }_i(x)$，那么对任意 ${\tau }_2={\tau }_1+T_1$，成立 ${\phi }_i({\tau }_1)={\phi }_i({\tau }_2)$，然而此时 $|{\tau }_1-{\tau }_2|=T_1<T$，结果与 ${\phi }_i({\tau }_1)\ne {\phi }_i({\tau }_2)$ 矛盾。所得矛盾证明了定理中的 $T$ 是最小正周期。

　　 证明：将 $x$ 换成 $x-T$, 就有 ${\phi }_i(x)={\phi }_i(x-T)$，于是 $-T$ 也是周期。设 $T_1,T_2\in F$，则

因此此 $T_1+T_2$ 是周期。于是 $F$ 在加法下构成群。

　　 闭集是集的任意收敛点都在集中的集合（定义 4 ）。所以要证 $F$ 闭，只需对任意收敛于 $T_0$ 的周期序列 $T_1,\cdots ,T_m,\cdots$，证明

即可。由于 恒成立，并且 ${\phi }_i(x)$ 连续，所以 即 ${\phi }_i(x+T_0)={\phi }_i(x)$。

　　 证毕！

　　 证明： 若周期集 $F$ 中无最小正数，也即对任意 $ϵ$, 有正周期 $c<ϵ$，由 $F$ 是加法群，所以 $mc$（$m$ 是整数）是周期。任意实数 $c_0$，可选取满足

的整数 $m$，于是有 $|mc-c_0|<ϵ$。于是 $c_0$ 是 $F$ 的收敛点（定义 3 ）。由 $F$ 是闭的，有 $c_0\in F$，由于 $F$ 的元素必定是实数，而现在任意实数都在 $F$ 中，所以 $F=\mathbb{R}$。

　　 若 $F$ 有最小正数 $T$，任意 $c\in F$，可取满足

的整数，于是 $|c-mT|<T$。若 $c\ne mT$，那么由 $F$ 是加法群，$|c-mT|$ 是小于 $T$ 周期，这就与 $T$ 是最小正周期相矛盾，于是只能有 $c=mT$.

　　 证毕！

1. 定理 1 的证明

　　 证明：由式 1 ，并根据定理 2

由此，区间 $(m_1-x_1+x_2,m_2-x_1+x_2)$ 应合于 $(m_1,m_2)$，于是 $m_1=-\mathrm{\infty },m_2=+\mathrm{\infty }$。式 9 也表明 $x_1-x_2$ 是解的周期。由推论 1 ，此时解的周期集要么是实数集，即任意 $x$，都有 这表明解是平衡位置；要么有最小正周期，这表明解是周期解。

　　 证毕！