平衡位置和圈

                     

贡献者: 零穹

预备知识 自治系统解的特点

   本节介绍自治系统(定义 2 )解的分类。概括来说,自治系统的解(或轨线)有三种情形:

  1. 定点解,即轨线成为个不依赖自变量 $x$ 的点,称为平衡位置
  2. 周期解,即轨线自身相交,称为闭轨线圈(环);
  3. 自身不相交的轨线。

定理 1 

   设 $y^i=\varphi_i(x)$ 是自治系统的解,其最大存在区间为 $(m_1,m_2)$,并且存在 $m_1< x_1\neq x_2< m_2$,满足

\begin{equation} \varphi_i(x_1)=\varphi_i(x_2)~. \end{equation}
则 $m_1=-\infty,m_2=+\infty$,且要么:对一切值 $x$ 成立 $\varphi_i(x)=a^i$,其中 $a^i$ 是与 $x$ 无关的常数,这时轨线成为解的定义空间中的点。此时解本身称为平衡位置
要么:存在正数 $T$,使得对任意 $t$ 成立
\begin{equation} \varphi_i(x+T)=\varphi_i(x)~. \end{equation}
且当 $ \left\lvert \tau_1-\tau_2 \right\rvert < T$ 时,至少对一个 $i$,成立 $\varphi_i(\tau_1)\neq\varphi_i(\tau_2)$。此时解称为周期的,$T$ 称为最小正周期。此时轨线称为闭轨线圈(环)。 在证明定理前,先定义解的周期概念。

定义 1 周期

   满足式 2 的 $T$ 称为解 $y^i=\varphi_i(x)$ 的周期。

   $T$ 之所以是最小的正周期,是因为否则的化,将会存在 $T_1< T$,使得 $\varphi_i(x+T_1)=\varphi_i(x)$,那么对任意 $\tau_2=\tau_1+T_1$,成立 $\varphi_i(\tau_1)=\varphi_i(\tau_2)$,然而此时 $ \left\lvert \tau_1-\tau_2 \right\rvert =T_1< T$,结果与 $\varphi_i(\tau_1)\neq\varphi_i(\tau_2)$ 矛盾。所得矛盾证明了定理中的 $T$ 是最小正周期。

定理 2 周期集的性质

   设 $F$ 是解的所有周期构成的集合,则 $F$ 是闭的,且其配合加法构成一群。

   证明:将 $x$ 换成 $x-T$, 就有 $\varphi_i(x)=\varphi_i(x-T)$,于是 $-T$ 也是周期。设 $T_1,T_2\in F$,则

\begin{equation} \varphi_i((x+T_1)+T_2)=\varphi_i(x+T_1)=\varphi_i(x)~. \end{equation}
因此此 $T_1+T_2$ 是周期。于是 $F$ 在加法下构成群。

   闭集是集的任意收敛点都在集中的集合(定义 4 )。所以要证 $F$ 闭,只需对任意收敛于 $T_0$ 的周期序列 $T_1,\cdots, T_m,\cdots$,证明

\begin{equation} \varphi_i(x+T_0)=\varphi_i(x)~ \end{equation}
即可。由于
\begin{equation} \varphi_i(x+T_m)=\varphi_i(x)~ \end{equation}
恒成立,并且 $\varphi_i(x)$ 连续,所以
\begin{equation} \lim_{m\rightarrow\infty}\varphi_i(x+T_i)=\lim_{m\rightarrow\infty}\varphi_i(x)~. \end{equation}
即 $\varphi_i(x+T_0)=\varphi_i(x)$。

   证毕!

推论 1 

   周期集 $F$ 要么是实数集 $\mathbb R$,要么成为 $F=\{mT|m\in\mathbb Z\}$ 而 $T$ 是最小正周期。

   证明: 若周期集 $F$ 中无最小正数,也即对任意 $\epsilon$, 有正周期 $c<\epsilon$,由 $F$ 是加法群,所以 $mc$($m$ 是整数)是周期。任意实数 $c_0$,可选取满足

\begin{equation} (c_0-\epsilon)/c< c_0/c-1< m< c_0/c+1<(c_0+\epsilon)/c~ \end{equation}
的整数 $m$,于是有 $ \left\lvert mc-c_0 \right\rvert <\epsilon$。于是 $c_0$ 是 $F$ 的收敛点(定义 3 )。由 $F$ 是闭的,有 $c_0\in F$,由于 $F$ 的元素必定是实数,而现在任意实数都在 $F$ 中,所以 $F=\mathbb R$。

   若 $F$ 有最小正数 $T$,任意 $c\in F$,可取满足

\begin{equation} (-T+c)/T=-1+c/T< m<(T+c)/T=1+c/T~ \end{equation}
的整数,于是 $ \left\lvert c-mT \right\rvert < T$。若 $c\neq mT$,那么由 $F$ 是加法群,$ \left\lvert c-mT \right\rvert $ 是小于 $T$ 周期,这就与 $T$ 是最小正周期相矛盾,于是只能有 $c=mT$.

   证毕!

1. 定理 1 的证明

   证明:式 1 ,并根据定理 2

\begin{equation} \varphi_i(x)=\varphi_i(x+x_1-x_2)~. \end{equation}
由此,区间 $(m_1-x_1+x_2,m_2-x_1+x_2)$ 应合于 $(m_1,m_2)$,于是 $m_1=-\infty,m_2=+\infty$。式 9 也表明 $x_1-x_2$ 是解的周期。由推论 1 ,此时解的周期集要么是实数集,即任意 $x$,都有
\begin{equation} \varphi_i(x)=\varphi_i(x_1+(x-x_1))=\varphi(x_1)=a_i~. \end{equation}
这表明解是平衡位置;要么有最小正周期,这表明解是周期解。

   证毕!


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