贡献者： 零穹
本节介绍自治系统（定义 2 ）解的分类。概括来说，自治系统的解（或轨线）有三种情形：
- 定点解，即轨线成为个不依赖自变量 $x$ 的点，称为平衡位置；
- 周期解，即轨线自身相交，称为闭轨线或圈(环);
- 自身不相交的轨线。
定理 1
设 $y^i=\varphi_i(x)$ 是自治系统的解，其最大存在区间为 $(m_1,m_2)$，并且存在 $m_1< x_1\neq x_2< m_2$，满足
\begin{equation}
\varphi_i(x_1)=\varphi_i(x_2)~.
\end{equation}
则 $m_1=-\infty,m_2=+\infty$，且
要么：对一切值 $x$ 成立 $\varphi_i(x)=a^i$，其中 $a^i$ 是与 $x$ 无关的常数，这时轨线成为解的定义空间中的点。此时解本身称为
平衡位置。
要么：存在正数 $T$，使得对任意 $t$ 成立
\begin{equation}
\varphi_i(x+T)=\varphi_i(x)~.
\end{equation}
且当 $ \left\lvert \tau_1-\tau_2 \right\rvert < T$ 时，至少对一个 $i$，成立 $\varphi_i(\tau_1)\neq\varphi_i(\tau_2)$。此时解称为
周期的，$T$ 称为
最小正周期。此时轨线称为
闭轨线或
圈（环）。
在证明定理前，先定义解的周期概念。
定义 1 周期
满足式 2 的 $T$ 称为解 $y^i=\varphi_i(x)$ 的周期。
$T$ 之所以是最小的正周期，是因为否则的化，将会存在 $T_1< T$，使得 $\varphi_i(x+T_1)=\varphi_i(x)$，那么对任意 $\tau_2=\tau_1+T_1$，成立 $\varphi_i(\tau_1)=\varphi_i(\tau_2)$，然而此时 $ \left\lvert \tau_1-\tau_2 \right\rvert =T_1< T$，结果与 $\varphi_i(\tau_1)\neq\varphi_i(\tau_2)$ 矛盾。所得矛盾证明了定理中的 $T$ 是最小正周期。
定理 2 周期集的性质
设 $F$ 是解的所有周期构成的集合，则 $F$ 是闭的，且其配合加法构成一群。
证明：将 $x$ 换成 $x-T$, 就有 $\varphi_i(x)=\varphi_i(x-T)$，于是 $-T$ 也是周期。设 $T_1,T_2\in F$，则
\begin{equation}
\varphi_i((x+T_1)+T_2)=\varphi_i(x+T_1)=\varphi_i(x)~.
\end{equation}
因此此 $T_1+T_2$ 是周期。于是 $F$ 在加法下构成群。
闭集是集的任意收敛点都在集中的集合（定义 4 ）。所以要证 $F$ 闭，只需对任意收敛于 $T_0$ 的周期序列 $T_1,\cdots, T_m,\cdots$，证明
\begin{equation}
\varphi_i(x+T_0)=\varphi_i(x)~
\end{equation}
即可。由于
\begin{equation}
\varphi_i(x+T_m)=\varphi_i(x)~
\end{equation}
恒成立，并且 $\varphi_i(x)$ 连续，所以
\begin{equation}
\lim_{m\rightarrow\infty}\varphi_i(x+T_i)=\lim_{m\rightarrow\infty}\varphi_i(x)~.
\end{equation}
即 $\varphi_i(x+T_0)=\varphi_i(x)$。
证毕！
推论 1
周期集 $F$ 要么是实数集 $\mathbb R$，要么成为 $F=\{mT|m\in\mathbb Z\}$ 而 $T$ 是最小正周期。
证明：
若周期集 $F$ 中无最小正数，也即对任意 $\epsilon$, 有正周期 $c<\epsilon$，由 $F$ 是加法群，所以 $mc$（$m$ 是整数）是周期。任意实数 $c_0$，可选取满足
\begin{equation}
(c_0-\epsilon)/c< c_0/c-1< m< c_0/c+1<(c_0+\epsilon)/c~
\end{equation}
的整数 $m$，于是有 $ \left\lvert mc-c_0 \right\rvert <\epsilon$。于是 $c_0$ 是 $F$ 的收敛点（
定义 3 ）。由 $F$ 是闭的，有 $c_0\in F$，由于 $F$ 的元素必定是实数，而现在任意实数都在 $F$ 中，所以 $F=\mathbb R$。
若 $F$ 有最小正数 $T$，任意 $c\in F$，可取满足
\begin{equation}
(-T+c)/T=-1+c/T< m<(T+c)/T=1+c/T~
\end{equation}
的整数，于是 $ \left\lvert c-mT \right\rvert < T$。若 $c\neq mT$，那么由 $F$ 是加法群，$ \left\lvert c-mT \right\rvert $ 是小于 $T$ 周期，这就与 $T$ 是最小正周期相矛盾，于是只能有 $c=mT$.
证毕！
证明：由式 1 ，并根据定理 2
\begin{equation}
\varphi_i(x)=\varphi_i(x+x_1-x_2)~.
\end{equation}
由此，区间 $(m_1-x_1+x_2,m_2-x_1+x_2)$ 应合于 $(m_1,m_2)$，于是 $m_1=-\infty,m_2=+\infty$。
式 9 也表明 $x_1-x_2$ 是解的周期。由
推论 1 ，此时解的周期集要么是实数集，即任意 $x$，都有
\begin{equation}
\varphi_i(x)=\varphi_i(x_1+(x-x_1))=\varphi(x_1)=a_i~.
\end{equation}
这表明解是平衡位置；要么有最小正周期，这表明解是周期解。
证毕！
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。