向量函数的微分

定义 1　(全微分)

　　 设有向量函数 $F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, 且 $p$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一点。若存在线性变换 $A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 使成立

　　 当然，根据书写习惯，也可以写成 $\mathrm{d}F(p)=A\mathrm{d}x,$ 其中 $\mathrm{d}x=(\mathrm{d}{x}_1,\mathrm{d}{x}_2,\cdots ,\mathrm{d}{x}_n).$

定义 2　(导映射 或 导矩阵)

　　 设有向量函数 $F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, $F$ 可表为分量函数形式 $$F(x)=\left(\begin{array}{c}{F}_1(x)\\ F_2(x)\\ ⋮\\ F_m(x)\end{array}\right),x:=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbb{R}}^n,$$ 其中 $F_j:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 是数量函数 $(j=1,2,\dots ,m)$. 若每个 $F_j$ 在 $x=p$ 处可微，则 ${\displaystyle \frac{\partial F_j}{\partial x_i}(p)}$ 都有意义 $(i=1,2,\dots ,n),$ 因而可定义 $$\frac{\partial F}{\partial x_i}(p):=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial F_1}{\partial x_i}(p)\\ \frac{\partial F_2}{\partial x_i}(p)\\ ⋮\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_i}(p)\end{array}\right)(i=1,2,\dots ,n)$$ 称为 $F(x)$ 在 $x=p$ 处关于 $x_i$ 变元的 偏导数, 以及也可定义 $$\mathrm{D}F(p)=(\frac{\partial F}{\partial x_1}(p),\frac{\partial F}{\partial x_2}(p),\dots ,\frac{\partial F}{\partial x_n}(p)).$$ 称为 $F(x)$ 在 $x=p$ 处的 导映射 或 导矩阵, 也叫 雅可比（Jocobi） 矩阵, 即 $$\mathrm{D}F(p)={\left(\begin{array}{cccc}\frac{\partial F_1}{\partial x_1}(p)& \frac{\partial F_1}{\partial x_2}(p)& \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_n}(p)\\ \frac{\partial F_2}{\partial x_1}(p)& \frac{\partial F_2}{\partial x_2}(p)& \cdots & \frac{\partial F_2}{\partial x_n}(p)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial F_m}{\partial x_1}(p)& \frac{\partial F_m}{\partial x_2}(p)& \dots & \frac{\partial F_m}{\partial x_n}(p)\end{array}\right)}_{m\times n}.$$ 关于 Jocobi 矩阵的记号，有些书也将其记为 $\mathrm{D}F(p):={\displaystyle {\frac{\partial (F_1,F_2,\dots ,F_m)}{\partial (x_1,x_2,\dots ,x_n)}|}_{x=p}.}$

定理 1　

　　 向量函数 $F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 在 $p\in {\mathbb{R}}^n$ 处可微的充要条件是它的每个分量函数 $F_j:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ ($j=1,2,\dots ,$ $m$) 都在 $p$ 处可微。因此，$\mathrm{d}F(p)$ 的主部恰好是 $\mathrm{D}F(p)$, 即 $\mathrm{d}F(p)=\mathrm{D}F(p)\mathrm{d}x$.

　　 此定理表明，( 式 1 ) 也可以写成 $$F(x)=F(p)+\mathrm{D}F(p)(x-p)+o(|x-p|)(x\to p).$$ 或 $$F(p+\mathrm{△}p)-F(p)=\mathrm{D}F(p)\cdot \mathrm{△}p+o(|\mathrm{△}p|)(\mathrm{△}p\to 0),$$ 其中 $\mathrm{△}p\in {\mathbb{R}}^n,$ $|\mathrm{△}p|\ll 1.$

定义 3　(方向导数)

　　 设有向量函数 $F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, 以及向量 $v\in {\mathbb{R}}^n,$ 定义 $F$ 在点 $p$ 处沿方向 $v$ 的 方向导数 为 $${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial v}(p)={\displaystyle \underset{\epsilon \to 0}{lim}{\displaystyle \frac{F(p+\epsilon v)-F(p)}{\epsilon }}.}}$$

定理 2　(方向导数与微分的关系)

　　 若向量函数 $F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 在 $p\in {\mathbb{R}}^n$ 处可微，则对任意单位向量 $v\in {\mathbb{R}}^n$, 有 $$\frac{\partial F}{\partial v}(p)=[\mathrm{D}F(p)](v)=[\mathrm{D}F(p)]\cdot v,$$ 其中第一个等号后的 $\mathrm{D}F(p)$ 表示导映射（看成线性变换对 $v$ 作用）, 第二个等号后的 $\mathrm{D}F(p)$ 表示导矩阵（看成矩阵与列向量 $v$ 作矩阵乘法运算）.

定理 3　(链式法则)

　　 设有向量函数 $F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, $x\mapsto F(x)$, 又有 $G:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^k$, $y\mapsto G(y)$. 假设 $F$ 在点 $p$ 处可微，$G$ 在点 $F(p)$ 处可微，则复合函数 $G\circ F$ 也在点 $p$ 处可微，且 $$\mathrm{D}(G\circ F)(p)=\mathrm{D}G(F(p))\mathrm{D}F(p).$$

定理 4　(微分中值不等式)

　　 设 $\mathrm{\Omega }$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的凸区域，向量函数 $F:D\to {\mathbb{R}}^m$ 处处可微，则对任意 $x,y\in D,$ 存在 $x$ 与 $y$ 的连续上的点 $\xi ,$ 使成立 $$|F(x)-F(y)|⩽\Vert \mathrm{D}F(\xi )\Vert |x-y|,$$ 其中 $\Vert \cdot \Vert$ 可看成是矩阵范数或有界线性算子范数。