向量函数的微分

定义 1　(全微分)

　　 设有向量函数 $F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$, 且 $p$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一点。若存在线性变换 $A:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 使成立

即 \[ {\displaystyle \lim_{x\rightarrow p}{\displaystyle \frac{|F(x)-F(p)-A(x-p)|}{| x-p| }=0~,}} \] 则称 $F(x)$ 在 $x=p$ 处 可微, 将 $F(x)$ 在 $x=p$ 处的 全微分 (简称 微分) 记作 $\mathrm{d}F(p)$，同时将线性变换 $A$ 称为 $\mathrm{d}F(p)$ 的主部，写成 $\mathrm{d}F(p)=A \triangle x,$ 其中 $\triangle x=(\triangle x_1,\triangle x_2,\cdots,\triangle x_n).$

　　 当然，根据书写习惯，也可以写成 $\mathrm{d}F(p)=A\mathrm{d}x,$ 其中 $\mathrm{d}x=(\mathrm{d}x_1,\mathrm{d}x_2,\cdots,\mathrm{d}x_n).$

定义 2　(导映射 或 导矩阵)

　　 设有向量函数 $F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$, $F$ 可表为分量函数形式 $$ F(x)=\left(\begin{array}{c} F_{1}(x)\\ F_{2}(x)\\ \vdots\\ F_{m}(x) \end{array}\right)~,\quad x:=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\in\mathbb{R}^{n}~, $$ 其中 $F_{j}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ 是数量函数 $(j=1,2,\ldots,m)$. 若每个 $F_{j}$ 在 $x=p$ 处可微，则 ${\displaystyle \frac{\partial F_{j}}{\partial x_{i}}(p)}$ 都有意义 $(i=1,2,\ldots,n)~,$ 因而可定义 $$ \frac{\partial F}{\partial x_{i}}(p):=\left(\begin{array}{c} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{i}}(p)\\ \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{i}}(p)\\ \vdots\\ \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{i}}(p) \end{array}\right)\qquad (i=1,2,\ldots,n)~ $$ 称为 $F(x)$ 在 $x=p$ 处关于 $x_{i}$ 变元的 偏导数, 以及也可定义 \[ \mathrm{D}F(p)=(\frac{\partial F}{\partial x_{1}}(p)~,\frac{\partial F}{\partial x_{2}}(p)~,\ldots,\frac{\partial F}{\partial x_{n}}(p))~. \] 称为 $F(x)$ 在 $x=p$ 处的 导映射 或 导矩阵, 也叫 雅可比（Jocobi） 矩阵, 即 $$ \mathrm{D}F(p)=\left(\begin{array}{cccc} \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}}(p) & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{2}}(p) & \cdots & \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{n}}(p)\\ \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{1}}(p) & \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}}(p) & \cdots & \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{n}}(p)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{1}}(p) & \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{2}}(p) & \ldots & \frac{\partial F_{m}}{\partial x_{n}}(p) \end{array}\right)_{m\times n}~. $$ 关于 Jocobi 矩阵的记号，有些书也将其记为 $\mathrm{D}F(p):={\displaystyle \left.\frac{\mathrm{\partial}(F_{1},F_{2},\ldots,F_{m})}{\mathrm{\partial}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})}\right|_{x=p}~.}$

定理 1　

　　 向量函数 $F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 在 $p\in\mathbb{R}^{n}$ 处可微的充要条件是它的每个分量函数 $F_{j}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ ($j=1,2,\ldots,$ $m$) 都在 $p$ 处可微。因此，$\mathrm{d}F(p)$ 的主部恰好是 $\mathrm{D}F(p)$, 即 $\mathrm{d}F(p)=\mathrm{D}F(p)~\mathrm{d}x$.

　　 此定理表明，( 式 1 ) 也可以写成 \[ F(x)=F(p)+\mathrm{D}F(p)(x-p)+o(| x-p| )\quad\quad(x\rightarrow p)~. \] 或 \[ F(p+\triangle p)-F(p)=\mathrm{D}F(p)\cdot\triangle p+o(|\triangle p|)\quad\quad(\triangle p\rightarrow0)~, \] 其中 $\triangle p\in\mathbb{R}^{n},$ $|\triangle p|\ll1.$

定义 3　(方向导数)

　　 设有向量函数 $F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$, 以及向量 $v\in\mathbb{R}^{n},$ 定义 $F$ 在点 $p$ 处沿方向 $v$ 的 方向导数 为 \[ {\displaystyle \frac{\partial F}{\partial v}(p)={\displaystyle \lim_{\varepsilon\rightarrow0}{\displaystyle \frac{F(p+\varepsilon v)-F(p)}{\varepsilon}}~.}} \]

定理 2　(方向导数与微分的关系)

　　 若向量函数 $F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 在 $p\in\mathbb{R}^{n}$ 处可微，则对任意单位向量 $v\in\mathbb{R}^{n}$, 有 \[ \frac{\partial F}{\partial v}(p)=[\mathrm{D}F(p)](v)=[\mathrm{D}F(p)]\cdot v~, \] 其中第一个等号后的 $\mathrm{D}F(p)$ 表示导映射（看成线性变换对 $v$ 作用）, 第二个等号后的 $\mathrm{D}F(p)$ 表示导矩阵（看成矩阵与列向量 $v$ 作矩阵乘法运算）.

定理 3　(链式法则)

　　 设有向量函数 $F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$, $x\mapsto F(x)$, 又有 $G:\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{k}$, $y\mapsto G(y)$. 假设 $F$ 在点 $p$ 处可微，$G$ 在点 $F(p)$ 处可微，则复合函数 $G\circ F$ 也在点 $p$ 处可微，且 \[ \mathrm{D}(G\circ F)(p)=\mathrm{D}G(F(p))\mathrm{D}F(p)~. \]

定理 4　(微分中值不等式)

　　 设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的凸区域，向量函数 $F:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ 处处可微，则对任意 $x,y\in D,$ 存在 $x$ 与 $y$ 的连续上的点 $\xi,$ 使成立 \[ |F(x)-F(y)|\leqslant\left\Vert \mathrm{D}F(\xi)\right\Vert |x-y|~, \] 其中 $\left\Vert \cdot\right\Vert $ 可看成是矩阵范数或有界线性算子范数。