多元隐函数的存在定理

                     

贡献者： 零穹

预备知识　一元隐函数的存在及可微定理

定理 1　n 元隐函数存在定理

　　 若：

  1. 函数 F(x1,⋯,xn,y) 在以点 (x10,⋯,xn0,y0) 为中心的 n+1 维长方体
    (1)D=[x10−Δ1,x10+Δ1;⋯;xn0+Δn;y0−Δ′,y0+Δ′] 
    中有定义且连续；
  2. 在 D 中偏导数 Fx1′,⋯,Fxn′,Fy′ 存在且连续；
  3. F(x10,⋯,xn0,y0)=0；
  4. Fy′(x10,⋯,xn0,y0)≠0

　　 那么，在点 (x10,⋯,xn0,y0) 的某一邻域内：

  1. 方程 F(x1,⋯,xn,y)=0 确定 y 为 x1,⋯,xn 的单值函数：y=f(x1,⋯,xn)；
  2. f(x10,⋯,xn0)=y0；
  3. f(x1,⋯,xn) 关于其所有的变元连续，且
  4. f(x1,⋯,xn) 有连续偏导数 fx1′,⋯,fxn′

定理 2　最一般的隐函数存在定理

　　 若：

  1. 函数 F1,⋯,Fm 在以点 (x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym0) 为中心的 n+m 维长方体
    (2)D=[x10−Δ1,x10+Δ1;⋯;xn0+Δn;y10−Δ1′,y10+Δ1′;⋯;ym0−Δm′,ym0+Δm′] 
    中有定义且连续；
  2. 在 D 中这些函数关于一切变元的偏导数存在且连续；
  3. 在点 (x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym0) 处这些函数值都为 0：
    (3)F1(x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym0)=0,⋯,Fm(x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym0)=0 .
  4. 雅可比行列式 |J|在点 (x10,⋯,ym0) 不为 0：
    (4)|J(x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym0)|=|∂F1∂y1⋯∂F1∂ym⋮⋮⋮∂Fm∂y1⋯∂Fm∂ym|(x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym0)≠0 .

　　 那么，在点 (x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym0) 的某一邻域内：

  1. 方程组
    (5)F1(x1,⋯,xn,y1,⋯,ym)=0,⋯,Fm(x1,⋯,xn,y1,⋯,ym)=0 
    确定 y1,⋯,ym 为 x1,⋯,xn 的单值函数：
    (6)y1=f1(x1,⋯,xn),⋯,ym=fm(x1,⋯,xn) .
  2. f1(x10,⋯,xn0)=y10,⋯,fm(x10,⋯,xn0)=ym0；
  3. 函数 f1,⋯,fm 连续，且
  4. 函数 f1,⋯,fm 有关于一切变元的连续偏导数。

1. 证明

　　 定理 1 的证明和一元隐函数的完全类似。我们只证明定理 2 。证明采用数学归纳法。

　　 当 m=1 时，即是定理 1 的情形，此时定理成立。

　　 假设 m−1 时定理成立，现在证明对 m 时定理也成立。

　　 由于雅可比行列式在点 (x10,⋯,ym0) 不为 0，那么，最后一行内至少有一个元素在这点不为 0；例如设

(7)∂Fm(x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym0)∂ym≠0 ,
此时，按定理 1 ，方程
(8)Fm(x1,⋯,xn,y1,⋯,ym)=0 
在点 (x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym0)=0 的某一邻域 D∗ 内，确定 ym 为其余变元的单值函数：
(9)ym=ϕ(x1,⋯,xn,y1,⋯,ym−1) ,
这函数 ϕ 是连续的，且有连续偏导数；此外
(10)ϕ(x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym−10)=ym0 .

　　 由于下面我们讨论的邻域以 D∗ 为限，式 8 和式 9 是等价的。

　　 用式 9 代替式 5 中最后一方程，并把函数 ϕ 代入式 5 中其余方程，得到具有 n+m−1 个变元的 m−1 个方程的新方程组

(11)φ1(x1,⋯,xn,y1,⋯,ym−1)=0,⋯,φm−1(x1,⋯,xn,y1,⋯,ym−1)=0 ,
其中
(12)φj(x1,⋯,xn,y1,⋯,ym−1)=Fj(x1,⋯,xn,y1,⋯,ym−1,ϕ(x1,⋯,xn,y1,⋯,ym−1)) .

　　 在不越出 D∗ 的邻域，方程组式 5 显然与方程组式 11 连同附加的方程式 9 等价。因此，若在邻域 D∗ 内，m−1 个变元 y1,⋯,ym−1 为 n 个变元 x1,⋯,xn 的单值函数，则由式 9 ，变元 ym 也是单值函数，从而结论 1 成立。

　　 根据式 12 和 Fj,ϕ 的性质，函数组 φ1,⋯,φm−1 满足于定理的条件 1,2,3。

　　 接下来证明

(13)|J∗|=|∂φ1∂y1⋯∂φ1∂ym−1⋮⋮⋮∂φm−1∂y1⋯∂φm−1∂ym−1|(x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym−10)≠0 .
为此，考察雅可比行列式式 4 ，依次用 ∂ϕ∂y1,∂ϕ∂ym−1 乘第 m 列，然后加到前 m−1 列去，即
(14)|J|=|∂F1∂y1+∂F1∂ym∂ϕ∂y1⋯∂F1∂ym−1+∂F1∂ym∂ϕ∂ym−1∂F1∂ym⋮⋮⋮⋮∂Fm∂y1+∂Fm∂ym∂ϕ∂y1⋯∂Fm∂y1+∂Fm∂ym∂ϕ∂ym−1∂Fm∂ym| ,
若视 ym=ϕ(x1,⋯,ym−1)，则除最后一行及最后一列以外的一切元素都是函数 φj 的偏导数。另一方面，若分别对 y1,⋯,ym−1 而微分恒等式式 8 ，于是最后一行除了最后一个外其它全为 0
(15)|J|=|∂φ1∂y1⋯∂φ1∂ym−1F1ym⋮⋮⋮⋮0⋯0∂Fm∂ym| ,
于是
(16)|J|=|J∗|⋅∂Fm∂ym .
令 x1=x10,⋯,ym−1=ym−10，则 ym=ϕ(x1,⋯,ym−1) 变为 ym0。但由定理条件 4，|J| 不为 0，故式 13 成立。

　　 对于 m−1 个方程组式 11 ，定理已假定正确。因此，这方程组在点 (x10,⋯,ym−10) 邻域内确定 y1,⋯,ym−1 为 (x1,⋯,xn) 的单值函数

(17)y1=f1(x1,⋯,xn),⋯,ym−1=fm−1(x1,⋯,xn) ,
它们是连续且有连续导数的。此外
(18)f1(x10,⋯,xn0)=y10,⋯,fm−1(x10,⋯,xn0)=ym−10 ,
由此推得，第 m 个函数式 9 也是连续且有连续导数的，并且
(19)fm(x10,⋯,xn0)=ϕ(x10,⋯,xn0,y10,⋯,ym−10)=ym0 ,
定理得证。


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