多元隐函数的存在定理

                     

贡献者: 零穹

预备知识 一元隐函数的存在及可微定理

定理 1 n 元隐函数存在定理

   若:

  1. 函数 $F(x_1,\cdots,x_n,y)$ 在以点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)$ 为中心的 $n+1$ 维长方体
    \begin{equation} \mathcal{D}=[x_1^0-\Delta_1,x_1^0+\Delta_1;\cdots;x_n^0+\Delta_n;y_0-\Delta',y_0+\Delta']~ \end{equation}
    中有定义且连续;
  2. 在 $\mathcal{D}$ 中偏导数 $F_{x_1}',\cdots,F_{x_n}',F_y'$ 存在且连续;
  3. $F(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)=0$;
  4. $F'_y(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)\neq 0$

   那么,在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)$ 的某一邻域内:

  1. 方程 $F(x_1,\cdots,x_n,y)=0$ 确定 $y$ 为 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数:$y=f(x_1,\cdots,x_n)$;
  2. $f(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_0$;
  3. $f(x_1,\cdots,x_n)$ 关于其所有的变元连续,且
  4. $f(x_1,\cdots,x_n)$ 有连续偏导数 $f_{x_1}',\cdots,f_{x_n}'$

定理 2 最一般的隐函数存在定理

   若:

  1. 函数 $F_1,\cdots,F_m$ 在以点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)$ 为中心的 $n+m$ 维长方体
    \begin{equation} \mathcal{D}=[x_1^0-\Delta_1,x_1^0+\Delta_1;\cdots;x_n^0+\Delta_n;y_1^0-\Delta_1',y_1^0+\Delta_1';\cdots;y_m^0-\Delta_m',y_m^0+\Delta_m']~ \end{equation}
    中有定义且连续;
  2. 在 $\mathcal{D}$ 中这些函数关于一切变元的偏导数存在且连续;
  3. 在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)$ 处这些函数值都为 0:
    \begin{equation} F_1(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)=0,\cdots,F_m(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)=0~. \end{equation}
  4. 雅可比行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $在点 $(x_1^0,\cdots,y_m^0)$ 不为 0:
    \begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} (x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0) \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \\\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1} &\cdots& \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} _{(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)}\neq0~. \end{equation}

   那么,在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)$ 的某一邻域内:

  1. 方程组
    \begin{equation} F_1(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)=0,\cdots,F_m(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)=0~ \end{equation}
    确定 $y_1,\cdots,y_m$ 为 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数:
    \begin{equation} y_1=f_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,y_m=f_m(x_1,\cdots,x_n)~. \end{equation}
  2. $f_1(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_1^0,\cdots,f_m(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_m^0$;
  3. 函数 $f_1,\cdots,f_m$ 连续,且
  4. 函数 $f_1,\cdots,f_m$ 有关于一切变元的连续偏导数。

1. 证明

   定理 1 的证明和一元隐函数的完全类似。我们只证明定理 2 。证明采用数学归纳法。

   当 $m=1$ 时,即是定理 1 的情形,此时定理成立。

   假设 $m-1$ 时定理成立,现在证明对 $m$ 时定理也成立。

   由于雅可比行列式在点 $(x_1^0,\cdots,y_m^0)$ 不为 0,那么,最后一行内至少有一个元素在这点不为 0;例如设

\begin{equation} \frac{\partial F_m(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)}{\partial y_m} \neq0~, \end{equation}
此时,按定理 1 ,方程
\begin{equation} F_m(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)=0~ \end{equation}
在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)=0$ 的某一邻域 $\mathcal{D}^*$ 内,确定 $y_m$ 为其余变元的单值函数:
\begin{equation} y_m=\phi(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})~, \end{equation}
这函数 $\phi$ 是连续的,且有连续偏导数;此外
\begin{equation} \phi(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)=y_m^0~. \end{equation}

   由于下面我们讨论的邻域以 $\mathcal{D}^*$ 为限,式 8 式 9 是等价的。

   用式 9 代替式 5 中最后一方程,并把函数 $\phi$ 代入式 5 中其余方程,得到具有 $n+m-1$ 个变元的 $m-1$ 个方程的新方程组

\begin{equation} \varphi_1(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})=0,\cdots,\varphi_{m-1}(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})=0~, \end{equation}
其中
\begin{equation}\varphi_j(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})=F_j(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1},\phi(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1}))~. \end{equation}

   在不越出 $\mathcal{D}^*$ 的邻域,方程组式 5 显然与方程组式 11 连同附加的方程式 9 等价。因此,若在邻域 $\mathcal{D}^*$ 内,$m-1$ 个变元 $y_1,\cdots,y_{m-1}$ 为 $n$ 个变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数,则由式 9 ,变元 $y_m$ 也是单值函数,从而结论 1 成立。

   根据式 12 和 $F_j,\phi$ 的性质,函数组 $\varphi_1,\cdots,\varphi_{m-1}$ 满足于定理的条件 1,2,3。

   接下来证明

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} ^* \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_{m-1}} \\\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial \varphi_{m-1}}{\partial y_1} &\cdots& \frac{\partial \varphi_{m-1}}{\partial y_{m-1}} \end{vmatrix} _{(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)}\neq0~. \end{equation}
为此,考察雅可比行列式式 4 ,依次用 $ \frac{\partial \phi}{\partial y_1} , \frac{\partial \phi}{\partial y_{m-1}} $ 乘第 $m$ 列,然后加到前 $m-1$ 列去,即
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} + \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \frac{\partial \phi}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_{m-1}} + \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \frac{\partial \phi}{\partial y_{m-1}} & \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1} + \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \frac{\partial \phi}{\partial y_1} &\cdots& \frac{\partial F_m}{\partial y_1} + \frac{\partial F_m}{\partial y_{m}} \frac{\partial \phi}{\partial y_{m-1}} & \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} ~, \end{equation}
若视 $y_m=\phi(x_1,\cdots,y_{m-1})$,则除最后一行及最后一列以外的一切元素都是函数 $\varphi_j$ 的偏导数。另一方面,若分别对 $y_1,\cdots,y_{m-1}$ 而微分恒等式式 8 ,于是最后一行除了最后一个外其它全为 0
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_{m-1}} &\frac{F_1}{y_m}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0& \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} ~, \end{equation}
于是
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} ^* \right\rvert \cdot \frac{\partial F_m}{\partial y_m} ~. \end{equation}
令 $x_1=x_1^0,\cdots,y_{m-1}=y_{m-1}^0$,则 $y_m=\phi(x_1,\cdots,y_{m-1})$ 变为 $y_m^0$。但由定理条件 4,$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $ 不为 0,故式 13 成立。

   对于 $m-1$ 个方程组式 11 ,定理已假定正确。因此,这方程组在点 $(x_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)$ 邻域内确定 $y_1,\cdots,y_{m-1}$ 为 $(x_1,\cdots,x_n)$ 的单值函数

\begin{equation} y_1=f_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,y_{m-1}=f_{m-1}(x_1,\cdots,x_n)~, \end{equation}
它们是连续且有连续导数的。此外
\begin{equation} f_1(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_1^0,\cdots,f_{m-1}(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_{m-1}^0~, \end{equation}
由此推得,第 $m$ 个函数式 9 也是连续且有连续导数的,并且
\begin{equation} f_m(x_1^0,\cdots,x_n^0)=\phi(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)=y_m^0~, \end{equation}
定理得证。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利