多元隐函数的存在定理

                     

贡献者: 零穹

预备知识 一元隐函数的存在及可微定理

定理 1 n 元隐函数存在定理

   若:

  1. 函数 $F(x_1,\cdots,x_n,y)$ 在以点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)$ 为中心的 $n+1$ 维长方体
    \begin{equation} \mathcal{D}=[x_1^0-\Delta_1,x_1^0+\Delta_1;\cdots;x_n^0+\Delta_n;y_0-\Delta',y_0+\Delta'] \end{equation}
    中有定义且连续;
  2. 在 $\mathcal{D}$ 中偏导数 $F_{x_1}',\cdots,F_{x_n}',F_y'$ 存在且连续;
  3. $F(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)=0$;
  4. $F'_y(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)\neq 0$

   那么,在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_0)$ 的某一邻域内:

  1. 方程 $F(x_1,\cdots,x_n,y)=0$ 确定 $y$ 为 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数:$y=f(x_1,\cdots,x_n)$;
  2. $f(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_0$;
  3. $f(x_1,\cdots,x_n)$ 关于其所有的变元连续,且
  4. $f(x_1,\cdots,x_n)$ 有连续偏导数 $f_{x_1}',\cdots,f_{x_n}'$

定理 2 最一般的隐函数存在定理

   若:

  1. 函数 $F_1,\cdots,F_m$ 在以点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)$ 为中心的 $n+m$ 维长方体
    \begin{equation} \mathcal{D}=[x_1^0-\Delta_1,x_1^0+\Delta_1;\cdots;x_n^0+\Delta_n;y_1^0-\Delta_1',y_1^0+\Delta_1';\cdots;y_m^0-\Delta_m',y_m^0+\Delta_m'] \end{equation}
    中有定义且连续;
  2. 在 $\mathcal{D}$ 中这些函数关于一切变元的偏导数存在且连续;
  3. 在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)$ 处这些函数值都为 0:
    \begin{equation} F_1(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)=0,\cdots,F_m(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)=0 \end{equation}
  4. 雅可比行列式 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $在点 $(x_1^0,\cdots,y_m^0)$ 不为 0:
    \begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} (x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0) \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \\\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1} &\cdots& \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} _{(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)}\neq0 \end{equation}

   那么,在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)$ 的某一邻域内:

  1. 方程组
    \begin{equation} F_1(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)=0,\cdots,F_m(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)=0 \end{equation}
    确定 $y_1,\cdots,y_m$ 为 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数:
    \begin{equation} y_1=f_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,y_m=f_m(x_1,\cdots,x_n) \end{equation}
  2. $f_1(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_1^0,\cdots,f_m(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_m^0$;
  3. 函数 $f_1,\cdots,f_m$ 连续,且
  4. 函数 $f_1,\cdots,f_m$ 有关于一切变元的连续偏导数.

1. 证明

   定理 1 的证明和一元隐函数的完全类似.我们只证明定理 2 .证明采用数学归纳法.

   当 $m=1$ 时,即是定理 1 的情形,此时定理成立.

   假设 $m-1$ 时定理成立,现在证明对 $m$ 时定理也成立.

   由于雅可比行列式在点 $(x_1^0,\cdots,y_m^0)$ 不为 0,那么,最后一行内至少有一个元素在这点不为 0;例如设

\begin{equation} \frac{\partial F_m(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)}{\partial y_m} \neq0 \end{equation}
此时,按定理 1 ,方程
\begin{equation} F_m(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)=0 \end{equation}
在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_m^0)=0$ 的某一邻域 $\mathcal{D}^*$ 内,确定 $y_m$ 为其余变元的单值函数:
\begin{equation} y_m=\phi(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1}) \end{equation}
这函数 $\phi$ 是连续的,且有连续偏导数;此外
\begin{equation} \phi(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)=y_m^0 \end{equation}

   由于下面我们讨论的邻域以 $\mathcal{D}^*$ 为限,式 8 式 9 是等价的.

   用式 9 代替式 5 中最后一方程,并把函数 $\phi$ 代入式 5 中其余方程,得到具有 $n+m-1$ 个变元的 $m-1$ 个方程的新方程组

\begin{equation} \varphi_1(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})=0,\cdots,\varphi_{m-1}(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})=0 \end{equation}
其中
\begin{equation}\varphi_j(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})=F_j(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1},\phi(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_{m-1})) \end{equation}

   在不越出 $\mathcal{D}^*$ 的邻域,方程组式 5 显然与方程组式 11 连同附加的方程式 9 等价.因此,若在邻域 $\mathcal{D}^*$ 内,$m-1$ 个变元 $y_1,\cdots,y_{m-1}$ 为 $n$ 个变元 $x_1,\cdots,x_n$ 的单值函数,则由式 9 ,变元 $y_m$ 也是单值函数,从而结论 1 成立.

   根据式 12 和 $F_j,\phi$ 的性质,函数组 $\varphi_1,\cdots,\varphi_{m-1}$ 满足于定理的条件 1,2,3.

   接下来证明

\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} ^* \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_{m-1}} \\\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial \varphi_{m-1}}{\partial y_1} &\cdots& \frac{\partial \varphi_{m-1}}{\partial y_{m-1}} \end{vmatrix} _{(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)}\neq0 \end{equation}
为此,考察雅可比行列式式 4 ,依次用 $ \frac{\partial \phi}{\partial y_1} , \frac{\partial \phi}{\partial y_{m-1}} $ 乘第 $m$ 列,然后加到前 $m-1$ 列去,即
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} + \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \frac{\partial \phi}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_{m-1}} + \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \frac{\partial \phi}{\partial y_{m-1}} & \frac{\partial F_1}{\partial y_m} \\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial F_m}{\partial y_1} + \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \frac{\partial \phi}{\partial y_1} &\cdots& \frac{\partial F_m}{\partial y_1} + \frac{\partial F_m}{\partial y_{m}} \frac{\partial \phi}{\partial y_{m-1}} & \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} \end{equation}
若视 $y_m=\phi(x_1,\cdots,y_{m-1})$,则除最后一行及最后一列以外的一切元素都是函数 $\varphi_j$ 的偏导数.另一方面,若分别对 $y_1,\cdots,y_{m-1}$ 而微分恒等式式 8 ,于是最后一行除了最后一个外其它全为 0
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert = \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_1} &\cdots & \frac{\partial \varphi_1}{\partial y_{m-1}} &\frac{F_1}{y_m}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0& \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{vmatrix} \end{equation}
于是
\begin{equation} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} ^* \right\rvert \cdot \frac{\partial F_m}{\partial y_m} \end{equation}
令 $x_1=x_1^0,\cdots,y_{m-1}=y_{m-1}^0$,则 $y_m=\phi(x_1,\cdots,y_{m-1})$ 变为 $y_m^0$.但由定理条件 4,$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{J}} \right\rvert $ 不为 0,故式 13 成立.

   对于 $m-1$ 个方程组式 11 ,定理已假定正确.因此,这方程组在点 $(x_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)$ 邻域内确定 $y_1,\cdots,y_{m-1}$ 为 $(x_1,\cdots,x_n)$ 的单值函数

\begin{equation} y_1=f_1(x_1,\cdots,x_n),\cdots,y_{m-1}=f_{m-1}(x_1,\cdots,x_n) \end{equation}
它们是连续且有连续导数的.此外
\begin{equation} f_1(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_1^0,\cdots,f_{m-1}(x_1^0,\cdots,x_n^0)=y_{m-1}^0 \end{equation}
由此推得,第 $m$ 个函数式 9 也是连续且有连续导数的,并且
\begin{equation} f_m(x_1^0,\cdots,x_n^0)=\phi(x_1^0,\cdots,x_n^0,y_1^0,\cdots,y_{m-1}^0)=y_m^0 \end{equation}
定理得证.


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