旋转算符

贡献者： addis

预备知识　平移算符，梯度

　　如果要将一个三维函数 $f (r)$ 绕 $z$ 轴旋转角 $α$ ，我们可以使用极坐标 $f (r, θ, ϕ)$ ，并用平移算符 $\exp (- α \partial / \partial ϕ)$ 对坐标 $ϕ$ 进行 “平移”。那么球坐标中的算符 $\partial / \partial ϕ$ 在直角坐标中如何表示呢？令 $s = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ，该算符的意义是求函数在 $\hat{ϕ}$ 方向的方向导数乘以 $s$ 。 $\hat{ϕ} = (- y / s, x / s, 0)$ ，所以

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial f}{\partial ϕ} = s \nabla f \cdot \hat{ϕ} = x \frac{\partial f}{\partial y} - y \frac{\partial f}{\partial x} = (x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}) f, \end{matrix}

于是我们就得到直角坐标系中绕

z

轴逆时针旋转的算符为

\begin{matrix} (2) & R_{z} (α) = \exp [- α (x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x})] . \end{matrix}

同理，我们可以将极坐标的极轴指向

x

或

y

轴正方向，从而得出绕

x

或

y

轴逆时针旋转角

α

的算符分别为

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} R_{x} (α) & = \exp [- α (y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y})], \\ R_{y} (α) & = \exp [- α (z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z})] . \end{aligned} \end{matrix}

例 1　

　　要将 $f (x, y, z) = x$ 绕 $z$ 轴旋转 $α$ 角，就计算

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \exp [- α (x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x})] x \\ = x - α (x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}) x + \frac{1}{2!} α^{2} {(x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x})}^{2} x - \dots \end{aligned} \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} (x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}) x = - y, \\ {(x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x})}^{2} x = (x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}) (- y) = - x, \\ {(x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x})}^{3} x = (x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}) (- x) = y, \\ {(x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x})}^{4} x = (x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x}) y = x \\ \dots \end{aligned} \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \exp [- α (x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x})] x \\ = (1 - \frac{1}{2!} α^{2} + \frac{1}{4!} α^{4} \dots) x + (α - \frac{1}{3!} α^{3} + \frac{1}{5!} α^{5} \dots) y \\ = x \cos α + y \sin α . \end{aligned} \end{matrix}

显然这就是旋转后所得的函数。

　　在量子力学中，由直角坐标系中角动量算符 $L_{x}, L_{y}, L_{z}$ 的定义，三个旋转算符分别可以记为

\begin{matrix} (7) & \exp (- i \frac{α L_{x}}{ℏ}), \exp (- i \frac{α L_{y}}{ℏ}), \exp (- i \frac{α L_{z}}{ℏ}) . \end{matrix}

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