旋转算符

                     

贡献者: addis

预备知识 平移算符,梯度

   如果要将一个三维函数 f(r)z 轴旋转角 α,我们可以使用极坐标 f(r,θ,ϕ),并用平移算符 exp(α/ϕ) 对坐标 ϕ 进行 “平移”。那么球坐标中的算符 /ϕ 在直角坐标中如何表示呢?令 s=x2+y2,该算符的意义是求函数在 ϕ^ 方向的方向导数乘以 sϕ^=(y/s,x/s,0),所以

(1)fϕ=sfϕ^=xfyyfx=(xyyx)f ,
于是我们就得到直角坐标系中绕 z 轴逆时针旋转的算符为
(2)Rz(α)=exp[α(xyyx)] .
同理,我们可以将极坐标的极轴指向 xy 轴正方向,从而得出绕 xy 轴逆时针旋转角 α 的算符分别为
(3)Rx(α)=exp[α(yzzy)] ,Ry(α)=exp[α(zxxz)] .

例 1 

   要将 f(x,y,z)=xz 轴旋转 α 角,就计算

(4)exp[α(xyyx)]x=xα(xyyx)x+12!α2(xyyx)2x 
其中
(5)(xyyx)x=y ,(xyyx)2x=(xyyx)(y)=x ,(xyyx)3x=(xyyx)(x)=y ,(xyyx)4x=(xyyx)y=x 
所以
(6)exp[α(xyyx)]x=(112!α2+14!α4)x+(α13!α3+15!α5)y=xcosα+ysinα .
显然这就是旋转后所得的函数。

   在量子力学中,由直角坐标系中角动量算符 Lx,Ly,Lz 的定义,三个旋转算符分别可以记为

(7)exp(iαLx) ,exp(iαLy) ,exp(iαLz) .


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