数论函数 theta 与 psi 的阶
贡献者: int256
预备知识 数论函数
,渐进估计与阶
,最大公约数与最小公倍数
,二项式定理
本文默认若对 求和或求积,则范围均满足 。符号 表示 的整数部分。
1. 阶
定理 1
函数 与 的阶是 :
对于足够大的 (),
2. 证明
我们首先引入一个引理并予以证明。
证明:考虑 的定义,由于 , , 等价于 , , , 故
当 ,也就是
时,求和结束。由 的定义显然有 足够大时 ,故 时有
且
这等式成立是因为由于
式 4 ,这级数仅有 项。
将式 6 与 相加,就得到了式 3 ,就完成了证明。
这引理指出,当 足够大时, 与 大致相等。根据这个引理,我们只需证明对足够大的 有 与 。因为上界与下界只需用两个数论函数中的一者约束即可。引入
这将是一个整数,且由于组合数性质,将在 的二项式展开中出现两次,故 即 。考虑对于某素数 ,若 ,那么 是 的分子的因子,但并不是分母的因子。也就是说,
且
通过归纳法可以立刻得出 。就证明了 ,另外还得到了一个更严的估计。
下面考虑 ,我们要证明 。为此引入另一引理。
证明:这是因为 各数恰好包含 个 的倍数,恰好包含 个 的倍数,...... 依此类推。就直接完成了证明。
记
则利用这引理,立刻有
这里指出,括号内的每一项要么是 ,要么是 ,这是由 的奇偶性决定的。
我们考虑 的另一等价表达形式,是对于可能的最大的 可以等价表示为
从而这是一个最小公倍数的表示,故等价于
或
利用这式重新审视式 14 将不难得到
以及
而其中,,故 ,这可以立刻得到 ,证毕!
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