数论函数 theta 与 psi 的阶

                     

贡献者: int256

预备知识 数论函数,渐进估计与阶,最大公约数与最小公倍数,二项式定理

   本文默认若对 n 求和或求积,则范围均满足 n1。符号 n 表示 n 的整数部分。

1. 阶

定理 1 

   函数 ϑ(x)ψ(x) 的阶是 x

   对于足够大的 xx2),

(1)Ax<ϑ(x)<Bx, Cx<ψ(x)<Dx  .

2. 证明

   我们首先引入一个引理并予以证明。

引理 1 

  

(2)ψ(x)=ϑ(x)+O(x1/2(lnx)2) .

   证明:考虑 ψ(x) 的定义,由于 p2x, p3x, 等价于 px1/2, px1/3, , 故

(3)ψ(x)=ϑ(x)+ϑ(x1/2)+ϑ(x1/3)+=mϑ(x1/m) .
x1/m<2,也就是
(4)m>lnxln2  
时,求和结束。由 ϑ(x) 的定义显然有 x 足够大时 ϑ(x)<xlnx,故 m2 时有
(5)ϑ(x1/m)<x1/mlnxx1/2lnx ,
(6)m2ϑ(x1/m)=O(x1/2(lnx)2) .
这等式成立是因为由于式 4 ,这级数仅有 O(lnx) 项。

   将式 6 ϑ(x) 相加,就得到了式 3 ,就完成了证明。

   这引理指出,当 x 足够大时,ϑ(x)ψ(x) 大致相等。根据这个引理,我们只需证明对足够大的 xϑ(x)<Bxψ(x)>Cx。因为上界与下界只需用两个数论函数中的一者约束即可。引入

(7)M=(2m+1)!m!(m+1)!=(2m+1)(2m)(m+2)m! ,
这将是一个整数,且由于组合数性质,将在 (1+1)2m+1 的二项式展开中出现两次,故 2M<22m+1M<22m。考虑对于某素数 p,若 m+1<p2m+1,那么 pM 的分子的因子,但并不是分母的因子。也就是说,
(8)(m+1<p2m+1p)M .
(9)ϑ(2m+1)ϑ(m+1)=m+1<p2m+1lnplnM<2mln2 .
通过归纳法可以立刻得出 ϑ(x)<2xln2。就证明了 ϑ(x)<Bx,另外还得到了一个更严的估计。

推论 1 

   对于足够大的 n

(10)ϑ(n)<2nlnn .

   下面考虑 ψ(x),我们要证明 ψ(x)>Cx。为此引入另一引理。

引理 2 

   记

(11)k(n,p)=m1npm ,
(12)n!=ppk(n,p) .

   证明:这是因为 1,2,,n 各数恰好包含 n/pp 的倍数,恰好包含 n/p2p2 的倍数,...... 依此类推。就直接完成了证明。

   记

(13)N=(2n)!(n!)2=p2npαp ,
则利用这引理,立刻有
(14)αp=m=1+(2npm2npm) .
这里指出,括号内的每一项要么是 1,要么是 0,这是由 2n/pm 的奇偶性决定的。

   我们考虑 ψ(x) 的另一等价表达形式,是对于可能的最大的 m 可以等价表示为

(15)ψ(x)=pmxmlnp ,
从而这是一个最小公倍数的表示,故等价于
(16)ψ(x)=ln([1,2,3,,x]) ,
(17)ψ(x)=pxlnxlnplnp .

   利用这式重新审视式 14 将不难得到

(18)αpln2nlnp ,
以及
(19)lnN=p2nαplnpp2nln2nlnplnp=ψ(2n) .
而其中,N=(2n)!/n!2n,故 ψ(2n)nln2,这可以立刻得到 ψ(x)(xln2)/4,证毕!


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