阶与原根

贡献者： int256

预备知识　费马小定理与欧拉定理，线性同余

引理 1　

　　对于命题 $P (n)$ 而言，若对于每个 $a$ , $b$ 都有 $P (a)$ 与 $P (b)$ 蕴含 $P (a + b)$ 且至少在 $b \leq a$ 时蕴含 $P (a - b)$ ，而 $r$ 是使 $P$ 成立的最小正正数，则：

对于各个自然数 $k = 1, 2, \dots$ ， $P (k r)$ 也为真。
任何使得 $P (m)$ 成立的非负整数 $m$ 都是 $r$ 的倍数。

　　证明：对于第一点是显然的，由于 $P (r)$ 与 $P (r)$ 都为真，故 $P (r + r)$ 为真......

　　现在考虑第二点。根据 $r$ 的定义， $0 < r \leq m$ ，记 $m = q r + s$ ，从而 $s = m - q r$ ，其中 $0 \leq s < r$ 而 $q \geq 1$ 。根据第一点， $P (r) \to P (k r)$ ，而 $P (a)$ 与 $P (b)$ 蕴含 $P (a \pm b)$ ，故 $P (m)$ 与 $P (q r)$ 可以推导出 $P (s)$ 。而由于 $r$ 的定义， $s$ 必定为 $0$ 。故 $q = k r$ 。证毕！

定义 1　阶

　　记 $d$ 是使得

\begin{matrix} (1) & a^{x} \equiv 1 (\mod m) \end{matrix}

的最小正整

x

，则称

d

为

a

模

m

意义下的阶（order）。

定义 2　原根

　　特别的，若 $d$ 是 $a$ 模 $m$ 的阶，且 $d = φ (m)$ ，则称 $d$ 是 $a$ 模 $m$ 的原根（primitive root）。

　　考虑阶的条件，记

\begin{matrix} (2) & P (x) : a^{x} \equiv 1 (\mod m), \end{matrix}

这会使得

P (x)

与

P (y)

显然蕴含

P (x + y)

，而在

y \leq x

时，

\begin{matrix} (3) & a^{x - y} \equiv b (\mod m), \end{matrix}

则

\begin{matrix} (4) & a^{x} \equiv b a^{y} (\mod m), \end{matrix}

故必定

b = 1

而

P (x)

与

P (y)

在

y \leq x

时蕴含

P (x - y)

。这就使得符合引理 1 的条件，这就指出

d | φ (m)

。

　　阶与原根可以理解为数论上的某种本原单位根。

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阶与原根

引理 1

定义 1 阶

定义 2 原根

引理 1　

定义 1　阶

定义 2　原根