Bertrand 定理

贡献者： int256

预备知识　数论函数 theta 与 psi 的阶，二项式定理

定理 1　Bertrand 定理

　　对于足够大的 $n$ ，那么至少存在一个素数 $p$ 使得

\begin{matrix} (1) & n < p \leq 2 n, \end{matrix}

或者等价地说，若

p_{m}

为第

m

个素数，则对于每个足够大的

m

都有

\begin{matrix} (2) & p_{m + 1} < 2 p_{m} . \end{matrix}

　　证明：这两个命题是等价的。我们考虑式 1 的证明。我们取足够大的 $n$ ，不妨令 $n > 2^{9} = 512$ ，假设没有满足 $n < p \leq 2 n$ 的素数存在，沿用数论函数 theta 与 psi 的阶中式 14 的记号，设 $p$ 是 $N$ 的一个素因子，就有 $α_{p} \geq 1$ ，而由于假设， $p \geq n$ ，若 $\frac{2}{3} n < p \leq n$ 则

\begin{matrix} (3) & 2 p \leq 2 n < 3 p, p^{2} > \frac{4}{9} n^{2} > 2 n, \end{matrix}

从而

α_{p}

可以表示为

\begin{matrix} (4) & α_{p} = ⌊ \frac{2 n}{p} ⌋ - 2 ⌊ \frac{n}{p} ⌋ = 2 - 2 = 0, \end{matrix}

从而对于

N

的每个素因子

p

都有

p \leq \frac{2}{3} n

。利用推论 1 可以得到

\begin{matrix} (5) & \sum_{p | N} \ln p \leq \sum_{p \leq \frac{2}{3} n} \ln p = ϑ (\frac{2}{3} n) \leq \frac{4}{3} n \ln 2 . \end{matrix}

若

α_{p} \geq 2

则利用式 18 可以得到

\begin{matrix} (6) & 2 \ln p \leq α_{p} \ln p \leq \ln (2 n), p \leq \sqrt{2 n}, \end{matrix}

因此最多有

\sqrt{2 n}

个这样的

p

，从而

\begin{matrix} (7) & \sum_{α_{p} \geq 2} α_{p} \ln p \leq \sqrt{2 n} \ln (2 n), \end{matrix}

而利用式 5 可以得到

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} \ln N & \leq \sum_{α_{p} = 1} \ln p + \sum_{α_{p} \geq 2} α_{p} \ln p \\ \leq \sum_{p | N} \ln p + \sqrt{2 n} \ln (2 n) \\ \leq \frac{4}{3} n \ln 2 + \sqrt{2 n} \ln (2 n) . \end{aligned} \end{matrix}

而

N

是

2^{2 n} = (1 + 1)^{2 n}

的二项式系数展开式中最大的一项，故

\begin{matrix} (9) & 2^{2 n} = 2 + (\binom{2 n}{1}) + (\binom{2 n}{2}) + \dots + (\binom{2 n}{2 n - 1}) \leq 2 n N . \end{matrix}

其中

(\binom{a}{b}) = C_{a}^{b}

就是二项式系数。

　　联立式 8 与式 9 会得到

\begin{matrix} (10) & 2 n \ln 2 \leq \ln (2 n) + \ln N \leq \frac{4}{3} n \ln 2 + (1 + \sqrt{2 n}) \ln (2 n) . \end{matrix}

　　而可以简化为 $2 n \ln 2 \leq 3 (1 + \sqrt{2 n}) \ln (2 n)$ 。记

\begin{matrix} (11) & j = \frac{\ln (n / 512)}{10 \ln 2}, \end{matrix}

则

2 n = 2^{10 (1 + j)}

，由于

n > 512

，

j > 0

，可以再把不等式化为

\begin{matrix} (12) & 2^{10 (1 + j)} \leq 30 (2^{5 + 5 j} + 1) (1 + j), \end{matrix}

从而

\begin{matrix} (13) & 2^{5 j} \leq 30 \times 2^{- 5} (1 + 2^{- 5 - 5 j}) (1 + j) < (1 - 2^{- 5}) (1 + 2^{- 5}) (1 + j) < 1 + j, \end{matrix}

而

2^{5 j} = \exp (5 j \ln 2) > 1 + 5 j \ln 2 > 1 + j

，矛盾！

　　综上，对于大 $n$ （ $n > 512$ ），必定存在这样的素数。而对于小 $n$ 可以直接证明也成立。这就完成了证明！

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