数论函数
贡献者： int256; hfb25
- 本文处于草稿阶段。
- 本文缺少预备知识，初学者可能会遇到困难。
定义 1 数论函数
以自然数集或正整数集为定义域，以一数集1为值域的函数称为数论函数。
下面列出常见的数论函数（均定义在自然数集上，其中的 $\lambda$ 均是实数）:
例 1 简单数论函数
- 单位函数 $I(n)$
\begin{equation}
I(n) =
\begin{cases}
1\quad (n = 1)\\
0\quad (n > 1)~.
\end{cases}
\end{equation}
- 单值函数 $u(n)$
\begin{equation}
u(n)\equiv1~.
\end{equation}
- 恒等函数 $e(n)$
\begin{equation}
e(n)=n~.
\end{equation}
- 幂函数 $n^\lambda$
- 对数函数2 $\log n$
- 幂函数 $\operatorname{id}_k(n) = n^k, \operatorname{id} = \operatorname{id}_1$。
例 2 与因数有关的数论函数
- 除数函数 $d(n)$
\begin{equation}
d(n)=\sum_{d|n} 1=
\begin{cases}
1&(n=1)\\
\prod\limits_{i=1}^{s}(\alpha_i+1)&(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s})~.
\end{cases}
\end{equation}
- 除数和函数 $\sigma(n)$
\begin{equation}
\sigma(n)=\sum_{d|n}d=
\begin{cases}
1&(n=1)\\
\prod\limits_{i=1}^{s}\dfrac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}&(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s})~.
\end{cases}
\end{equation}
- 除数幂和函数 $\sigma_\lambda(n)$
\begin{equation}
\sigma_\lambda(n)=\sum_{d|n}d^\lambda~.
\end{equation}
- 不同素因子个数 $\omega(n)$
\begin{equation}
\omega(n)=\sum_{p|n}1=
\begin{cases}
0\quad (n=1)\\
s\quad(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s})~.
\end{cases}
\end{equation}
- 全部素因子个数（按重数计）$\Omega(n)$
\begin{equation}
\Omega(n)=\sum_{p^r\|n}r=
\begin{cases}
0&(n=1)\\
\sum\limits_{i=1}^{s}\alpha_i&(n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s})~.\\
\end{cases}
\end{equation}
例 3 著名的数论函数
- 素数计数函数 $\pi(n)$
\begin{equation}
\pi(n)=\sum_{p\leq n} 1~.
\end{equation}
- $\mathrm{M\ddot{o}bius}$ 函数 $\mu(n)$
\begin{equation}
\mu(n)=
\begin{cases}
1&\ (n=1)\\
0&\ (n=l^2k,\ l>1,\ l,k\in\mathbb{N})\\
(-1)^s&\ (n=p_1p_2p_3\cdots p_s)~.
\end{cases}
\end{equation}
- $\mathrm{Euler}$ 函数 $\varphi(n)$
\begin{equation}
\varphi(n)=\sum_{1\leq d\leq n,(d,n)=1}1~.
\end{equation}
- $\mathrm{van\ Mangoldt}$ 函数 $\Lambda(n)$
\begin{equation}
\varLambda(n)=
\begin{cases}
\ln p&\ (n=p^s)\\
0&\ (\omega(n)\neq 1)~.
\end{cases}
\end{equation}
- $\mathrm{Liouville}$ 函数 $\lambda(n)$
\begin{equation}
\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}~.
\end{equation}
- $\vartheta(x)$ 函数
\begin{equation}
\vartheta(x) = \sum_{1 \le p \le x} \ln p = \ln\left(\prod_{1 \le p \le x} p\right) ~.
\end{equation}
- $\psi(x)$ 函数
\begin{equation}
\psi(x) = \sum_{1 \le p^m \le x} \ln p = \sum_{1 \le n \le x} \varLambda(n)~,
\end{equation}
1. ^ 指复数域的一个子集。
2. ^ 在数论研究中，对数函数的底默认为自然常数 $e$。
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