数论函数

             

贡献者: hfb25

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定义 1 数论函数

   以自然数集或正整数集为定义域,以一数集1为值域的函数称为数论函数.

   下面列出常见的数论函数(均定义在自然数集上,其中的 $\lambda$ 均是实数):

例 1 简单数论函数

  • 单位函数 $I(n)$
    \begin{equation} I(n) = \begin{cases} 1,\ n = 1,\\ 0,\ n > 1. \end{cases} \end{equation}
  • 单值函数 $u(n)$
    \begin{equation} u(n)\equiv1 \end{equation}
  • 恒等函数 $e(n)$
    \begin{equation} e(n)=n \end{equation}
  • 幂函数 $n^\lambda$
  • 对数函数 $\log n$2

例 2 与因数有关的数论函数

  • 除数函数 $d(n)$
    \begin{equation} d(n)=\sum_{d|n} 1= \begin{cases} 1&,n=1,\\ \prod\limits_{i=1}^{s}(\alpha_i+1)&,n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}. \end{cases} \end{equation}
  • 除数和函数 $\sigma(n)$
    \begin{equation} \sigma(n)=\sum_{d|n}d= \begin{cases} 1&,n=1\\ \prod\limits_{i=1}^{s}\dfrac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}&,n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}. \end{cases} \end{equation}
  • 除数幂和函数 $\sigma_\lambda(n)$
    \begin{equation} \sigma_\lambda(n)=\sum_{d|n}d^\lambda \end{equation}
  • 不同素因子个数 $\omega(n)$
    \begin{equation} \omega(n)=\sum_{p|n}1= \begin{cases} 0,\ n=1,\\ s,\ n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}. \end{cases} \end{equation}
  • 全部素因子个数(按重数计)$\Omega(n)$
    \begin{equation} \Omega(n)=\sum_{p^r\|n}r= \begin{cases} 0&,n=1,\\ \sum\limits_{i=1}^{s}\alpha_i&,n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_s^{\alpha_s}.\\ \end{cases} \end{equation}

例 3 著名的数论函数

  • 素数计数函数 $\pi(n)$
    \begin{equation} \pi(n)=\sum_{p\leq n} 1 \end{equation}
  • $\mathrm{M\ddot{o}bius}$ 函数 $\mu(n)$
    \begin{equation} \mu(n)= \begin{cases} 1&,\ n=1,\\ 0&,\ n=l^2k,\ l > 1,\ l,k\in\mathbb{N},\\ (-1)^s&,\ n=p_1p_2p_3\cdots p_s. \end{cases} \end{equation}
  • $\mathrm{Euler}$ 函数 $\varphi(n)$
    \begin{equation} \varphi(n)=\sum_{1\leq d\leq n,(d,n)=1}1 \end{equation}
  • $\mathrm{van\ Mangoldt}$ 函数 $\Lambda(n)$
    \begin{equation} \varLambda(n)= \begin{cases} \log p&,\ n=p^s,\\ 0&,\ \omega(n)\neq 1. \end{cases} \end{equation}
  • $\mathrm{Liouville}$ 函数 $\lambda(n)$
    \begin{equation} \lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)} \end{equation}

1. ^ 指复数域的一个子集.
2. ^ 在数论研究中,对数函数的底默认为自然常数 $e$.


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