量子态的对称化与反对称化

             

预备知识 粒子交换算符

   如果给定一个多粒子波函数处于对称或反对称子空间之外,特定情况下我们可以将其对称化(symmetrize)反对称化(antisymmetrize).先用粒子交换算符表示例 1 的过程.

例 1 

   假设单个粒子态空间的一组正交归一基底是 $ \left\{ \left\lvert i \right\rangle \right\} $,两个粒子某时刻的态矢可以用单个张量积表示 $ \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle $ 且.若 $i = j$,则显然这个态已经是对称的. 若 $i \ne j$,则态矢是不对称的,我们可以通过乘以 $(1 \pm P_{12})/\sqrt{2}$ 来对称或反对称化(分别取正号和负号)

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}}(1 \pm P_{12}) \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}( \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle \pm \left\lvert j \right\rangle \left\lvert i \right\rangle ) \end{equation}
由于等式中的两项也是正交归一的,我们需要另乘归一化系数 $1/\sqrt 2$.可以验证,该式就是 $P_{1,2}$ 的本征矢,本征值分别为 $\pm 1$.这种方法利用了交换算符的性质式 8

   更一般地,我们也可以不要求 $ \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle $ 正交,但这样式 1 中的两项也变得不正交,我们就要重新计算归一化系数了.

   在该例中,我们把 $(1 \pm P_{12})/\sqrt{2}$ 称为对称化算符(symmetrizer)反对称化算符(antisymmetrizer)

1. 多粒子对称化

   若将例 1 中的两个粒子改为 $N$ 个粒子,如何将状态 $ \left\lvert i_1 \right\rangle \left\lvert i_2 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $(反)对称化呢?稍加思考会发现,若要对称化,我们只需要将 $ \left\lvert i_1 \right\rangle , \left\lvert i_2 \right\rangle ,\dots, \left\lvert i_N \right\rangle $ 的所有不同的排列相加再归一化即可.如果这 $N$ 个单粒子态都是不同的,那么一共有 $N!$ 种排列.我们用 $p_n(i)$ 来表示,例如

表1:$N = 3$ 的 6 种排列
$p_1(i)$ $p_2(i)$ $p_3(i)$ $p_4(i)$ $p_5(i)$ $p_6(i)$
$i=1$ 1 1 2 2 3 3
$i=2$ 2 3 1 3 1 2
$i=3$ 3 2 3 1 2 1

   则正交化的结果为

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{n = 0}^{N!} \left\lvert p_n(1) \right\rangle \left\lvert p_n(2) \right\rangle \dots \left\lvert p_n(N) \right\rangle \end{equation}
为了验证这是一个对称态,我们可以用例如 $P_{i,j}$ 作用在上面,这相当于把表 1 中的第 $i,j$ 行调换,容易得出这不会改变式 2

   如果 $ \left\lvert i_1 \right\rangle ,\dots, \left\lvert i_N \right\rangle $ 中出现重复,情况就要更复杂一些.令其中只有 $M < N$ 种不同的单粒子态,重复的次数分别是 $n_1, \dots, n_M$,有 $\sum_i n_i = N$.这样一来不同的排列减少至 $N!/(n_1! n_2! \dots n_M!)$ 种,我们仍然可以写出类似式 2 的表达式,但求和只有 $N!/(n_1! n_2! \dots n_M!)$ 个正交归一的项,所以归一化系数也变为 $\sqrt{n_1! n_2! \dots n_M!/N!}$.

对称化算符

   要把对称化用算符表示出来也不难,我们可以对每一种不同的排列 $p_n(1), p_n(2), \dots$ 都定义一个对称化算符 $P_n$.定义反对称化算符为(求和的项数同样取决于是否出现重复)

\begin{equation} \mathcal S = 1 + \sum_n P_n \end{equation}
这样对称化就可以优雅地表示为 $\mathcal S \left\lvert i_1 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $.

2. 多粒子反对称化

   我们同样也可以使用排列算符对 $N$ 粒子态 $ \left\lvert i_1 \right\rangle \left\lvert i_2 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $ 进行反对称化,但前提是我们必须要求其中 $N$ 个单粒子态都是不同的.这时因为如果 $ \left\lvert j \right\rangle = \left\lvert k \right\rangle $,那么无论如何排列,得到的态关于交换算符 $P_{j,k}$ 都是对称的.这就是泡利不相容原理

   由式 1 的启发,我们可以尝试改变式 2 式 3 中一些项的正负号来达到反对称化.事实上行列式的定义中已经给出了我们需要规则,即使用逆序数的奇偶性来决定正负号.对称化的结果可以用行列式记为

\begin{equation} \begin{vmatrix} \left\lvert i_1 \right\rangle & \left\lvert i_2 \right\rangle & \dots & \left\lvert i_N \right\rangle \\ \left\lvert i_1 \right\rangle & \left\lvert i_2 \right\rangle & \dots & \left\lvert i_N \right\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \left\lvert i_1 \right\rangle & \left\lvert i_2 \right\rangle & \dots & \left\lvert i_N \right\rangle \end{vmatrix} \end{equation}
这个行列式被称为斯莱特行列式(Slater determinant)

   要证明反对称性很简单,任意交换算符 $P_{i,j}$ 作用在式 4 , 相当于把行列式的两行置换,而根据行列式的性质(定理 3 ),这会使结果取相反数.证毕.

   通过在式 3 中根据 $P_n$ 的逆序数在其前面适当添加正负号 $S_n$(见式 4 ),我们也可以定义反对称化算符

\begin{equation} \mathcal A = 1 + \sum_n S_n P_n \end{equation}

3. 子空间的维度

   先来看有限维的情况,假设单个粒子态所在空间是 $M$ 维的(例如只考虑自旋空间,$M = 2s+1$),那么只有当粒子数 $N \le M$ 时,才能允许全同费米子的态矢.通过基底的不同组合以及对称化,我们一共可以找到 $C_M^N$ 种不同的反对称基底,所以1反对称子空间是 $C_M^N$ 维的.要得到这 $C_M^N$ 个基底,我们只需要从 $M$ 个单粒子基底中无顺序不重复地选出 $N$ 个($ \left\lvert i_1 \right\rangle , \dots, \left\lvert i_N \right\rangle $).每选一次就可以得到一个对称基底 $\mathcal A \left\lvert i_1 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $,它们张成整个反对称子空间.物理上,这意味着 $N$ 个全同费米子占据 $M$ 个状态,每种可能就是一个基底.

   对于玻色子,我们不要求 $N \le M$,因为多个玻色子可以处于同一个单粒子态.可以证明对称子空间的维数等于 “从 $M$ 个态中无序地选 $N$ 个,允许重复” 的个数,但遗憾的是我们不能把这个数写成一个简洁的公式.对称子空间基底的构建也同理,每次选取出 $N$ 个态后都可以构建一个基底 $\mathcal S \left\lvert i_1 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $.


1. ^ 这不是证明只是对结论的一个简单描述.

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