量子态的对称化与反对称化
贡献者: addis
如果给定一个多粒子波函数处于对称或反对称子空间之外,特定情况下我们可以将其对称化(symmetrize)或反对称化(antisymmetrize)。先用粒子交换算符表示例 2 的过程。
例 1
假设单个粒子态空间的一组正交归一基底是 ,两个粒子某时刻的态矢可以用单个张量积表示 且。若 ,则显然这个态已经是对称的。 若 ,则态矢是不对称的,我们可以通过乘以 来对称或反对称化(分别取正号和负号)
由于等式中的两项也是正交归一的,我们需要另乘归一化系数 。可以验证,该式就是 的本征矢,本征值分别为 。这种方法利用了交换算符的性质
式 8 。
更一般地,我们也可以不要求 正交,但这样式 1 中的两项也变得不正交,我们就要重新计算归一化系数了。
在该例中,我们把 称为对称化算符(symmetrizer)或反对称化算符(antisymmetrizer)。
1. 多粒子对称化
若将例 1 中的两个粒子改为 个粒子,如何将状态 (反)对称化呢?稍加思考会发现,若要对称化,我们只需要将 的所有不同的排列相加再归一化即可。如果这 个单粒子态都是不同的,那么一共有 种排列。我们用 来表示,例如
表1: 的 6 种排列
| | | | | |
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| 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3
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| 2 | 3 | 1 | 3 | 1 | 2
|
| 3 | 2 | 3 | 1 | 2 | 1
|
则正交化的结果为
为了验证这是一个对称态,我们可以用例如 作用在上面,这相当于把
表 1 中的第 行调换,容易得出这不会改变
式 2 。
如果 中出现重复,情况就要更复杂一些。令其中只有 种不同的单粒子态,重复的次数分别是 ,有 。这样一来不同的排列减少至 种,我们仍然可以写出类似式 2 的表达式,但求和只有 个正交归一的项,所以归一化系数也变为 。
对称化算符
要把对称化用算符表示出来也不难,我们可以对每一种不同的排列 都定义一个对称化算符 。定义反对称化算符为(求和的项数同样取决于是否出现重复)
这样对称化就可以优雅地表示为 。
2. 多粒子反对称化
我们同样也可以使用排列算符对 粒子态 进行反对称化,但前提是我们必须要求其中 个单粒子态都是不同的。这时因为如果 ,那么无论如何排列,得到的态关于交换算符 都是对称的。这就是泡利不相容原理。
由式 1 的启发,我们可以尝试改变式 2 或式 3 中一些项的正负号来达到反对称化。事实上行列式的定义中已经给出了我们需要规则,即使用逆序数的奇偶性来决定正负号。对称化的结果可以用行列式记为
这个行列式被称为
斯莱特行列式(Slater determinant)。
要证明反对称性很简单,任意交换算符 作用在式 4 , 相当于把行列式的两行置换(这里其实交换的是行列式的两列,但是矩阵的行列式等于矩阵转置的行列式),而根据行列式的性质(定理 3 ),这会使结果取相反数。证毕。
通过在式 3 中根据 的逆序数在其前面适当添加正负号 (见式 4 ),我们也可以定义反对称化算符
3. 子空间的维度
先来看有限维的情况,假设单个粒子态所在空间是 维的(例如只考虑自旋空间,),那么只有当粒子数 时,才能允许全同费米子的态矢。通过基底的不同组合以及对称化,我们一共可以找到 种不同的反对称基底,所以1反对称子空间是 维的。要得到这 个基底,我们只需要从 个单粒子基底中无顺序不重复地选出 个()。每选一次就可以得到一个对称基底 ,它们张成整个反对称子空间。物理上,这意味着 个全同费米子占据 个状态,每种可能就是一个基底。
对于玻色子,我们不要求 ,因为多个玻色子可以处于同一个单粒子态。可以证明对称子空间的维数等于 “从 个态中无序地选 个,允许重复” 的个数,但遗憾的是我们不能把这个数写成一个简洁的公式。对称子空间基底的构建也同理,每次选取出 个态后都可以构建一个基底 。
1. ^ 这不是证明只是对结论的一个简单描述。
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