量子态的对称化与反对称化

贡献者： addis

预备知识　粒子交换算符

　　如果给定一个多粒子波函数处于对称或反对称子空间之外，特定情况下我们可以将其对称化（symmetrize）或反对称化（antisymmetrize）。先用粒子交换算符表示例 2 的过程。

例 1　

　　假设单个粒子态空间的一组正交归一基底是 $ \left\{ \left\lvert i \right\rangle \right\} $，两个粒子某时刻的态矢可以用单个张量积表示 $ \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle $ 且。若 $i = j$，则显然这个态已经是对称的。若 $i \ne j$，则态矢是不对称的，我们可以通过乘以 $(1 \pm P_{12})/\sqrt{2}$ 来对称或反对称化（分别取正号和负号）

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{2}}(1 \pm P_{12}) \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}( \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle \pm \left\lvert j \right\rangle \left\lvert i \right\rangle )~. \end{equation}

由于等式中的两项也是正交归一的，我们需要另乘归一化系数 $1/\sqrt 2$。可以验证，该式就是 $P_{1,2}$ 的本征矢，本征值分别为 $\pm 1$。这种方法利用了交换算符的性质式 8 。

　　更一般地，我们也可以不要求 $ \left\lvert i \right\rangle \left\lvert j \right\rangle $ 正交，但这样式 1 中的两项也变得不正交，我们就要重新计算归一化系数了。

　　在该例中，我们把 $(1 \pm P_{12})/\sqrt{2}$ 称为对称化算符（symmetrizer）或反对称化算符（antisymmetrizer）。

1. 多粒子对称化

　　若将例 1 中的两个粒子改为 $N$ 个粒子，如何将状态 $ \left\lvert i_1 \right\rangle \left\lvert i_2 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $（反）对称化呢？稍加思考会发现，若要对称化，我们只需要将 $ \left\lvert i_1 \right\rangle , \left\lvert i_2 \right\rangle ,\dots, \left\lvert i_N \right\rangle $ 的所有不同的排列相加再归一化即可。如果这 $N$ 个单粒子态都是不同的，那么一共有 $N!$ 种排列。我们用 $p_n(i)$ 来表示，例如

表1：$N = 3$ 的 6 种排列

	$p_1(i)$	$p_2(i)$	$p_3(i)$	$p_4(i)$	$p_5(i)$	$p_6(i)$
$i=1$	1	1	2	2	3	3
$i=2$	2	3	1	3	1	2
$i=3$	3	2	3	1	2	1

　　则正交化的结果为

\begin{equation} \frac{1}{\sqrt{N!}}\sum_{n = 0}^{N!} \left\lvert p_n(1) \right\rangle \left\lvert p_n(2) \right\rangle \dots \left\lvert p_n(N) \right\rangle ~. \end{equation}

为了验证这是一个对称态，我们可以用例如 $P_{i,j}$ 作用在上面，这相当于把表 1 中的第 $i,j$ 行调换，容易得出这不会改变式 2 。

　　如果 $ \left\lvert i_1 \right\rangle ,\dots, \left\lvert i_N \right\rangle $ 中出现重复，情况就要更复杂一些。令其中只有 $M < N$ 种不同的单粒子态，重复的次数分别是 $n_1, \dots, n_M$，有 $\sum_i n_i = N$。这样一来不同的排列减少至 $N!/(n_1! n_2! \dots n_M!)$ 种，我们仍然可以写出类似式 2 的表达式，但求和只有 $N!/(n_1! n_2! \dots n_M!)$ 个正交归一的项，所以归一化系数也变为 $\sqrt{n_1! n_2! \dots n_M!/N!}$。

对称化算符

　　要把对称化用算符表示出来也不难，我们可以对每一种不同的排列 $p_n(1), p_n(2), \dots$ 都定义一个对称化算符 $P_n$。定义反对称化算符为（求和的项数同样取决于是否出现重复）

\begin{equation} \mathcal S = 1 + \sum_n P_n~, \end{equation}

这样对称化就可以优雅地表示为 $\mathcal S \left\lvert i_1 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $。

2. 多粒子反对称化

　　我们同样也可以使用排列算符对 $N$ 粒子态 $ \left\lvert i_1 \right\rangle \left\lvert i_2 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $ 进行反对称化，但前提是我们必须要求其中 $N$ 个单粒子态都是不同的。这时因为如果 $ \left\lvert j \right\rangle = \left\lvert k \right\rangle $，那么无论如何排列，得到的态关于交换算符 $P_{j,k}$ 都是对称的。这就是泡利不相容原理。

　　由式 1 的启发，我们可以尝试改变式 2 或式 3 中一些项的正负号来达到反对称化。事实上行列式的定义中已经给出了我们需要规则，即使用逆序数的奇偶性来决定正负号。对称化的结果可以用行列式记为

\begin{equation} \begin{vmatrix} \left\lvert i_1 \right\rangle & \left\lvert i_2 \right\rangle & \dots & \left\lvert i_N \right\rangle \\ \left\lvert i_1 \right\rangle & \left\lvert i_2 \right\rangle & \dots & \left\lvert i_N \right\rangle \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \left\lvert i_1 \right\rangle & \left\lvert i_2 \right\rangle & \dots & \left\lvert i_N \right\rangle \end{vmatrix} ~. \end{equation}

这个行列式被称为斯莱特行列式（Slater determinant）。

　　要证明反对称性很简单，任意交换算符 $P_{i,j}$ 作用在式 4 , 相当于把行列式的两行置换（这里其实交换的是行列式的两列，但是矩阵的行列式等于矩阵转置的行列式），而根据行列式的性质（定理 3 ），这会使结果取相反数。证毕。

　　通过在式 3 中根据 $P_n$ 的逆序数在其前面适当添加正负号 $S_n$（见式 4 ），我们也可以定义反对称化算符

\begin{equation} \mathcal A = 1 + \sum_n S_n P_n~. \end{equation}

3. 子空间的维度

　　先来看有限维的情况，假设单个粒子态所在空间是 $M$ 维的（例如只考虑自旋空间，$M = 2s+1$），那么只有当粒子数 $N \le M$ 时，才能允许全同费米子的态矢。通过基底的不同组合以及对称化，我们一共可以找到 $C_M^N$ 种不同的反对称基底，所以¹反对称子空间是 $C_M^N$ 维的。要得到这 $C_M^N$ 个基底，我们只需要从 $M$ 个单粒子基底中无顺序不重复地选出 $N$ 个（$ \left\lvert i_1 \right\rangle , \dots, \left\lvert i_N \right\rangle $）。每选一次就可以得到一个对称基底 $\mathcal A \left\lvert i_1 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $，它们张成整个反对称子空间。物理上，这意味着 $N$ 个全同费米子占据 $M$ 个状态，每种可能就是一个基底。

　　对于玻色子，我们不要求 $N \le M$，因为多个玻色子可以处于同一个单粒子态。可以证明对称子空间的维数等于 “从 $M$ 个态中无序地选 $N$ 个，允许重复” 的个数，但遗憾的是我们不能把这个数写成一个简洁的公式。对称子空间基底的构建也同理，每次选取出 $N$ 个态后都可以构建一个基底 $\mathcal S \left\lvert i_1 \right\rangle \dots \left\lvert i_N \right\rangle $。

1. ^ 这不是证明只是对结论的一个简单描述。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损，并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。