量子态的对称化与反对称化

                     

贡献者: addis

预备知识 粒子交换算符

   如果给定一个多粒子波函数处于对称或反对称子空间之外,特定情况下我们可以将其对称化(symmetrize)反对称化(antisymmetrize)。先用粒子交换算符表示例 2 的过程。

例 1 

   假设单个粒子态空间的一组正交归一基底是 {|i},两个粒子某时刻的态矢可以用单个张量积表示 |i|j 且。若 i=j,则显然这个态已经是对称的。 若 ij,则态矢是不对称的,我们可以通过乘以 (1±P12)/2 来对称或反对称化(分别取正号和负号)

(1)12(1±P12)|i|j=12(|i|j±|j|i) .
由于等式中的两项也是正交归一的,我们需要另乘归一化系数 1/2。可以验证,该式就是 P1,2 的本征矢,本征值分别为 ±1。这种方法利用了交换算符的性质式 8

   更一般地,我们也可以不要求 |i|j 正交,但这样式 1 中的两项也变得不正交,我们就要重新计算归一化系数了。

   在该例中,我们把 (1±P12)/2 称为对称化算符(symmetrizer)反对称化算符(antisymmetrizer)

1. 多粒子对称化

   若将例 1 中的两个粒子改为 N 个粒子,如何将状态 |i1|i2|iN(反)对称化呢?稍加思考会发现,若要对称化,我们只需要将 |i1,|i2,,|iN 的所有不同的排列相加再归一化即可。如果这 N 个单粒子态都是不同的,那么一共有 N! 种排列。我们用 pn(i) 来表示,例如

表1:N=3 的 6 种排列
p1(i) p2(i) p3(i) p4(i) p5(i) p6(i)
i=1 1 1 2 2 3 3
i=2 2 3 1 3 1 2
i=3 3 2 3 1 2 1

   则正交化的结果为

(2)1N!n=0N!|pn(1)|pn(2)|pn(N) .
为了验证这是一个对称态,我们可以用例如 Pi,j 作用在上面,这相当于把表 1 中的第 i,j 行调换,容易得出这不会改变式 2

   如果 |i1,,|iN 中出现重复,情况就要更复杂一些。令其中只有 M<N 种不同的单粒子态,重复的次数分别是 n1,,nM,有 ini=N。这样一来不同的排列减少至 N!/(n1!n2!nM!) 种,我们仍然可以写出类似式 2 的表达式,但求和只有 N!/(n1!n2!nM!) 个正交归一的项,所以归一化系数也变为 n1!n2!nM!/N!

对称化算符

   要把对称化用算符表示出来也不难,我们可以对每一种不同的排列 pn(1),pn(2), 都定义一个对称化算符 Pn。定义反对称化算符为(求和的项数同样取决于是否出现重复)

(3)S=1+nPn ,
这样对称化就可以优雅地表示为 S|i1|iN

2. 多粒子反对称化

   我们同样也可以使用排列算符对 N 粒子态 |i1|i2|iN 进行反对称化,但前提是我们必须要求其中 N 个单粒子态都是不同的。这时因为如果 |j=|k,那么无论如何排列,得到的态关于交换算符 Pj,k 都是对称的。这就是泡利不相容原理

   由式 1 的启发,我们可以尝试改变式 2 式 3 中一些项的正负号来达到反对称化。事实上行列式的定义中已经给出了我们需要规则,即使用逆序数的奇偶性来决定正负号。对称化的结果可以用行列式记为

(4)||i1|i2|iN|i1|i2|iN|i1|i2|iN| .
这个行列式被称为斯莱特行列式(Slater determinant)

   要证明反对称性很简单,任意交换算符 Pi,j 作用在式 4 , 相当于把行列式的两行置换(这里其实交换的是行列式的两列,但是矩阵的行列式等于矩阵转置的行列式),而根据行列式的性质(定理 3 ),这会使结果取相反数。证毕。

   通过在式 3 中根据 Pn 的逆序数在其前面适当添加正负号 Sn(见式 4 ),我们也可以定义反对称化算符

(5)A=1+nSnPn .

3. 子空间的维度

   先来看有限维的情况,假设单个粒子态所在空间是 M 维的(例如只考虑自旋空间,M=2s+1),那么只有当粒子数 NM 时,才能允许全同费米子的态矢。通过基底的不同组合以及对称化,我们一共可以找到 CMN 种不同的反对称基底,所以1反对称子空间是 CMN 维的。要得到这 CMN 个基底,我们只需要从 M 个单粒子基底中无顺序不重复地选出 N 个(|i1,,|iN)。每选一次就可以得到一个对称基底 A|i1|iN,它们张成整个反对称子空间。物理上,这意味着 N 个全同费米子占据 M 个状态,每种可能就是一个基底。

   对于玻色子,我们不要求 NM,因为多个玻色子可以处于同一个单粒子态。可以证明对称子空间的维数等于 “从 M 个态中无序地选 N 个,允许重复” 的个数,但遗憾的是我们不能把这个数写成一个简洁的公式。对称子空间基底的构建也同理,每次选取出 N 个态后都可以构建一个基底 S|i1|iN


1. ^ 这不是证明只是对结论的一个简单描述。


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