泡利不相容原理

             

预备知识 全同粒子

  1在量子力学中,泡利不相容原理(Pauli exclusion principle)指的是,在含有若干个全同费米子(即自旋为 1/2 的粒子)的系统中,任意两个费米子不能处于同一个态.

   事实上费米子对态矢的反对称性要求已经包含了泡利不相容原理,所以该原理只是费米子性质的一个推论.若假设系统只有两个全同费米子,用矢量空间的语言来解释泡利不相容原理就是:双粒子态表示为张量积 $ \left\lvert \psi \right\rangle \left\lvert \psi \right\rangle $ 时是一个交换对称的态矢,而费米子的态矢必须是反对称的,所以两个费米子不可能处于 $ \left\lvert \psi \right\rangle \left\lvert \psi \right\rangle $ 形式的态.

   泡利不相容原理常用于解释原子中的电子排布.

例 1 原子壳层

   在原子壳层理论中,如果忽略电子之间的相互作用,那么单个电子具有一系列正交归一的能量本征态,其中能量最低的态叫做基态,具有唯一的波函数 $\psi_g( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$.如果两个电子都处于基态,就意味着双电子波函数为

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) = \psi_g( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)\psi_g( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) \end{equation}
这个波函数显然是交换对称的.

   但电子是费米子,即总态矢必须是反对称的,所以总自旋态必须是反对称的(见式 8 的说明),所以如果双电子都处于基态,那么唯一可能的状态就是

\begin{equation} \Psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1, \boldsymbol{\mathbf{r}} _2) \chi_{1,2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\psi_g( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)\psi_g( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)(\uparrow\downarrow - \downarrow\uparrow) \end{equation}

   根据泡利不相容原理,$\psi_g( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)\psi_g( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)\uparrow\uparrow$ 和 $\psi_g( \boldsymbol{\mathbf{r}} _1)\psi_g( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2)\downarrow\downarrow$ 态不可能存在是因为它们表示 “两个电子处于同一个状态”.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关词条[17]

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