全同粒子的交换力

贡献者：待更新

1. 交换 “力”

　　当波函数出现一定程度的重叠时，整个系统好像受到外力的作用：对全同波色子，这个力是吸引力，把粒子拉近；对全同费米子，这个力是排斥力，使得粒子相互远离。我们把这个 “力” 称为交换力，它尽管实际上并不存。交换力仅仅是对称性导致的一个几何结果。它也是仅存在于量子力学的现象，在经典力学当中并没有对应。

　　接下来我们承接着？？的简化和规定，通过计算两个粒子距离平方的期待值，推导出交换 “力” 的原理。

2. 可分辨的两个粒子

\begin{matrix} (1) & ⟨ x_{1}^{2} ⟩ = \int x_{1} | ψ_{A} (x_{1}) |^{2} d x_{1} \int | ψ_{B} (x_{2}) |^{2} d x_{2} = ⟨ x^{2} ⟩_{A} . \end{matrix}

类似的可得：

\begin{matrix} (2) & ⟨ x_{2}^{2} ⟩ = \int | ψ_{A} (x_{1}) |^{2} d x_{1} \int x_{2} | ψ_{B} (x_{2}) |^{2} d x_{2} = ⟨ x^{2} ⟩_{B} . \end{matrix}

还有：

\begin{matrix} (3) & ⟨ x_{1} x_{2} ⟩ = \int x_{1} | ψ_{A} (x_{1}) |^{2} d x_{1} \int x_{2} | ψ_{B} (x_{2}) |^{2} d x_{2} = ⟨ x ⟩_{A} ⟨ x ⟩_{B} . \end{matrix}

可得两个粒子距离平方的期待值为：

\begin{matrix} (4) & ⟨ (x_{1} - x_{2})^{2} ⟩_{d} = ⟨ x^{2} ⟩_{A} + ⟨ x^{2} ⟩_{B} - 2 ⟨ x ⟩_{A} ⟨ x ⟩_{B} . \end{matrix}

反过来并拓展，粒子

1

处在态

ψ_{B} (r)

，粒子

2

处于

ψ_{A} (r)

的情况也是一样的。

3. 两个全同的粒子

\begin{aligned} (5) & ⟨ x_{1}^{2} ⟩ & = \frac{1}{2} [\int x_{1}^{2} | ψ_{A} (x_{1}) |^{2} d x_{1} \int | ψ_{B} (x_{2}) |^{2} d x_{2} \\ (6) & + \int x_{1}^{2} | ψ_{B} (x_{1}) |^{2} d x_{1} \int | ψ_{A} (x_{2}) |^{2} d x_{2} \\ (7) & \pm \int x_{1}^{2} ψ_{A} (x_{1}) ψ_{B} (x_{2})^{*} d x_{1} \int ψ_{B} (x_{1}) ψ_{A} (x_{2})^{*} d x_{2} \\ (8) & \pm \int x_{1}^{2} ψ_{B} (x_{1}) ψ_{A} (x_{2})^{*} d x_{1} \int ψ_{A} (x_{1}) ψ_{B} (x_{2})^{*} d x_{2}] \\ (9) & = \frac{1}{2} (⟨ x^{2} ⟩_{A} + ⟨ x^{2} ⟩_{B}), \end{aligned}

同理可得：

\begin{matrix} (10) & ⟨ x_{2}^{2} ⟩ = \frac{1}{2} (⟨ x^{2} ⟩_{B} + ⟨ x^{2} ⟩_{A}) . \end{matrix}

尽管

⟨ x_{1}^{2} ⟩ = ⟨ x_{2}^{2} ⟩

，但是：

\begin{aligned} (11) & ⟨ x_{1} x_{2} ⟩ & = \frac{1}{2} [\int x_{1} | ψ_{A} (x_{1}) |^{2} d x_{1} \int x_{2} | ψ_{B} (x_{2}) |^{2} d x_{2} \\ (12) & + \int x_{1} | ψ_{B} (x_{1}) |^{2} d x_{1} \int x_{2} | ψ_{A} (x_{2}) |^{2} d x_{2} \\ (13) & \pm \int x_{1} ψ_{A} (x_{1}) ψ_{B} (x_{2})^{*} d x_{1} \int x_{2} ψ_{B} (x_{1}) ψ_{A} (x_{2})^{*} d x_{2} \\ (14) & \pm \int x_{1} ψ_{B} (x_{1}) ψ_{A} (x_{2})^{*} d x_{1} \int x_{2} ψ_{A} (x_{1}) ψ_{B} (x_{2})^{*} d x_{2}] \\ (15) & = \frac{1}{2} (⟨ x ⟩_{A} ⟨ x ⟩_{B} + ⟨ x ⟩_{B} ⟨ x ⟩_{A} \pm ⟨ x ⟩_{A B} ⟨ x ⟩_{B A} \pm ⟨ x ⟩_{B A} ⟨ x ⟩_{A B}) \\ (16) & = ⟨ x ⟩_{A} ⟨ x ⟩_{B} \pm | ⟨ x ⟩_{A B} |^{2} . \end{aligned}

上面推导中的

\begin{matrix} (17) & ⟨ x ⟩_{A B} \equiv \int x ψ_{A} x) ψ_{B} (x)^{*} d x, \end{matrix}

因此我们最后得到了全同粒子的距离平方期待值为：

\begin{matrix} (18) & ⟨ (x_{1} - x_{2})^{2} ⟩_{\pm} = ⟨ x^{2} ⟩_{A} + ⟨ x^{2} ⟩_{B} - 2 ⟨ x ⟩_{A} ⟨ x ⟩_{B} \mp 2 | ⟨ x ⟩_{A B} |^{2} . \end{matrix}

结合式 4 可得：

\begin{matrix} (19) & ⟨ (Δ x)^{2} ⟩_{\pm} = ⟨ (Δ x)^{2} ⟩_{d} \mp 2 | ⟨ x ⟩_{A B} |^{2} . \end{matrix}

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。