全同粒子的交换力

                     

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1. 交换 “力”

   当波函数出现一定程度的重叠时,整个系统好像受到外力的作用:对全同波色子,这个力是吸引力,把粒子拉近;对全同费米子,这个力是排斥力,使得粒子相互远离。我们把这个 “力” 称为交换力,它尽管实际上并不存。交换力仅仅是对称性导致的一个几何结果。它也是仅存在于量子力学的现象,在经典力学当中并没有对应。

   接下来我们承接着??的简化和规定,通过计算两个粒子距离平方的期待值,推导出交换 “力” 的原理。

2. 可分辨的两个粒子

\begin{equation} \langle x_1^2\rangle = \int x_1|\psi_A(x_1)|^2dx_1\int |\psi_B(x_2)|^2dx_2=\langle x^2\rangle_A~. \end{equation}
类似的可得:
\begin{equation} \langle x_2^2\rangle = \int |\psi_A(x_1)|^2dx_1\int x_2 |\psi_B(x_2)|^2dx_2=\langle x^2\rangle_B~. \end{equation}
还有:
\begin{equation} \langle x_1x_2\rangle = \int x_1|\psi_A(x_1)|^2dx_1\int x_2 |\psi_B(x_2)|^2dx_2=\langle x\rangle_A\langle x\rangle_B~. \end{equation}
可得两个粒子距离平方的期待值为:
\begin{equation} \langle (x_1-x_2)^2\rangle_d=\langle x^2\rangle_A+\langle x^2\rangle_B-2\langle x\rangle_A\langle x\rangle_B~. \end{equation}
反过来并拓展,粒子 $ 1 $ 处在态 $\psi_B( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,粒子 $ 2 $ 处于 $\psi_A( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的情况也是一样的。

3. 两个全同的粒子

\begin{align} \langle x_1^2\rangle &= \frac{1}{2}\big[\int x_1^2|\psi_A(x_1)|^2dx_1\int |\psi_B(x_2)|^2dx_2\\ &+\int x_1^2|\psi_B(x_1)|^2dx_1\int |\psi_A(x_2)|^2dx_2\\ &\pm\int x_1^2\psi_A(x_1)\psi_B(x_2)^*dx_1\int \psi_B(x_1)\psi_A(x_2)^*dx_2\\ &\pm\int x_1^2\psi_B(x_1)\psi_A(x_2)^*dx_1\int \psi_A(x_1)\psi_B(x_2)^*dx_2\big]\\ &=\frac{1}{2}(\langle x^2\rangle_A+\langle x^2\rangle_B)~, \end{align}
同理可得:
\begin{equation} \langle x_2^2\rangle=\frac{1}{2}(\langle x^2\rangle_B+\langle x^2\rangle_A)~. \end{equation}
尽管 $\langle x_1^2\rangle=\langle x_2^2\rangle$,但是:
\begin{align} \langle x_1x_2\rangle &= \frac{1}{2}\big[\int x_1|\psi_A(x_1)|^2dx_1\int x_2 |\psi_B(x_2)|^2dx_2\\ &+\int x_1|\psi_B(x_1)|^2dx_1\int x_2|\psi_A(x_2)|^2dx_2\\ &\pm\int x_1\psi_A(x_1)\psi_B(x_2)^*dx_1\int x_2\psi_B(x_1)\psi_A(x_2)^*dx_2\\ &\pm\int x_1\psi_B(x_1)\psi_A(x_2)^*dx_1\int x_2\psi_A(x_1)\psi_B(x_2)^*dx_2\big]\\ &=\frac{1}{2}\left(\langle x\rangle_A\langle x\rangle_B+\langle x\rangle_B\langle x\rangle_A\pm\langle x\rangle_{AB}\langle x\rangle_{BA}\pm\langle x\rangle_{BA}\langle x\rangle_{AB}\right)\\ &=\langle x\rangle_A\langle x\rangle_B\pm|\langle x\rangle_{AB}|^2~. \end{align}
上面推导中的
\begin{equation} \langle x\rangle_{AB}\equiv \int x\psi_Ax)\psi_B(x)^*dx~, \end{equation}
因此我们最后得到了全同粒子的距离平方期待值为:
\begin{equation} \langle (x_1-x_2)^2\rangle_\pm=\langle x^2\rangle_A+\langle x^2\rangle_B-2\langle x\rangle_A\langle x\rangle_B\mp 2|\langle x\rangle_{AB}|^2~. \end{equation}
结合式 4 可得:
\begin{equation} \langle (\Delta x)^2\rangle_\pm=\langle (\Delta x)^2\rangle_d\mp 2|\langle x\rangle_{AB}|^2~. \end{equation}


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