自旋 1/2 粒子的非相对论波函数

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 薛定谔方程(单粒子多维),自旋角动量,自旋角动量矩阵

1. 历史简介

   在量子力学发展的早期,薛定谔首先提出了 Klein Gordon 方程 μμϕ+(m2c2/2)ϕ=0,企图描绘遵从相对论变换的电子波动方程,但却遭遇失败。之后薛定谔退而求其次,转而求它的非相对论近似下的方程,得到了著名的薛定谔方程:

(1)itψ=H^ψ=[12m(i)2+V(x)]ψ .
换言之,粒子波动方程的能量由 H^=(p^2/2m+V) 给出,而 p^=i/ 为动量算符。

   虽然非相对论性的薛定谔方程能很好描绘电子的波粒二象性,但却没有给出电子的内禀性质,也就是说,电子是个自旋为 1/2 的粒子,则波函数一定是多分量的,而非单分量的。当空间发生旋转的时候,波函数的分量会随着参考系的旋转而发生变换。直到 Pauli(泡利)给出经典电磁场中的自旋 1/2 电子的 Pauli 方程,人们才终于得到了描绘电子的携带自旋信息的非相对论性方程。Pauli 方程为

(2)itψ=[12m(p^eA)2+eϕμB]ψ=0 ,
其中 e=qe 为电子的电荷。若用上述方程描述自旋 1/2 的其他粒子,则需要将 e 用相应的电荷代入。其中电子磁矩 μ
(3)μ=emσ2=emS=gspinμBS .
σ 是 Pauli 矩阵(式 19 ),S 是自旋角动量算符。μB=|e/2m| 是 Bohr 磁子,gspin=2 被称为自旋朗德(Lande)g 因子。

   第一个提出自旋 1/2 粒子的相对论性方程的是 Dirac(狄拉克)。Dirac 注意到 Klein Gordon 场中的负能量和负概率等一系列问题的核心,是因为方程中时间偏导是二次的。而一旦开根号变成一次偏导之后,i(ct)ϕ=2+m2c2/2ϕ 中时间偏导算符和空间偏导算符处于不对等的地位,就不具有洛伦兹协变的形式。为了解决问题,Dirac 创造性地提出了一种明为 Dirac 代数的结构,其中的元素的运算法则不同于复数域的运算1,并假设 22+m2c2 可以开方为 αp^+βmc,其中 α 的三个坐标分量和 β 都是 Dirac 代数的元素。因此需要满足一定的关系:αi2=1,β2=1,αiβ+βαi=0,αiαj+αjαi=2δij。然而这些关系不可能在复数域内实现,因此 α,β 必然是 Dirac 代数中的元素,可以证明它们可以写成 4×4 的矩阵形式,于是 ψ 波函数也将是 4 分量的。

   Dirac 方程完美地解释了自旋 1/2 粒子的行为,并且预言了正电子的存在,并给出了朗德 g 因子 =2 的理论计算解释。这也意味着,Pauli 方程实际上是 Dirac 方程的一个非相对论的近似解(可以参考电磁场中的狄拉克方程)。

2. 自旋 1/2 粒子的非相对论波函数

   这一节我们将沿用 Dirac 的思路,但不从相对论性方程出发,而是直接推导非相对论性的方程。也就是说,我们寻找另一种类似的方式来表达薛定谔方程。 假设薛定谔算符 2mc2H^iPimcP^imc 可以开方:

(4)(aH^mc2+b+iciP^imc)2=2mc2H^iP^imcP^imc .
因此自由粒子的薛定谔方程可以改写为
(5)(aH^mc2+b+iciP^imc)ψ=0 .

   其中 a,b,ci 的运算法则可能不同于复数域的法则,而是属于某种特殊的代数。对平方项展开,得到它们所需满足的等式关系:

(6)a2=0,ab+ba=2,aci+cia=0 ,b2=0,bci+cib=0 ,cicj+cjci=2δij ,
a,b,ci 所在的代数具有 4×4 的矩阵表示。我们不加证明地写出一种矩阵表示方法:
(7)a=i12(IIII),b=i(IIII) ,ci=i(0σiσi0) ,
不难验证它们满足 式 6 的关系式。最后我们将这些表达式代入式 5 得到
(8)i12(IIII)H^mc2+i(IIII)+ii(0σiσi0)Pimc(ϕχ)=0 .
其中设波函数的前两个分量为 ϕ,后两个分量为 χ,即
(9)ψ(x)=(ϕ(x)χ(x)) .
上述方程可以改写为两个关于二分量函数 ϕ,χ 的方程:
(10)i12H^mc2(ϕχ)+i(ϕ+χ)+iσP^mcχ=0 ,i12H^mc2(ϕχ)i(ϕ+χ)+iσP^mcϕ=0 .
经过一系列的化简,最终可以得到
(11)[H^(σP^)22m]ϕ=0 ,[H^(σP^)22m]χ=0 .
因此根据上面的方程可以知道,ϕ,χ 两分量都满足薛定谔方程,同时它们分别是二分量的,体现了电子波函数的内禀自旋性质。

   如果不加外部的电场和磁场,那么 H^P^ 就是自由粒子的能量和动量,且两两对易。根据 Pauli 矩阵的性质可以证明 (σa)(σb)=ab+iσ(a×b),所以当 P^iP^j 对易时,(σP^)2=P^2,于是上式转化为薛定谔方程的形式。

   然而如果加了外加电磁场,H^P^ 应作以下替换(电磁场中的薛定谔方程及规范变换

(12)H^H^eϕ,P^P^eA^ .
此时 P^eA^ 的各个分量间不再对易,因此所得到的方程将会有一个 σB 项出现。最终所得的方程被称为 Pauli 方程。具体的细节可以参考泡利方程


1. ^ 由于 Dirac 代数具有矩阵形式的表示,可以将其中的每一元素理解为 4×4 的矩阵。虽然可以有多种矩阵表示法,但不同的表示法之间可以通过相似联系。


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