自旋 1/2 粒子的非相对论波函数

                     

贡献者： _Eden_

1. 历史简介

　　 在量子力学发展的早期，薛定谔首先提出了 Klein Gordon 方程 $\partial^\mu \partial_\mu \phi+(m^2c^2/\hbar^2)\phi=0$，企图描绘遵从相对论变换的电子波动方程，但却遭遇失败。之后薛定谔退而求其次，转而求它的非相对论近似下的方程，得到了著名的薛定谔方程：

换言之，粒子波动方程的能量由 $\hat H=(\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2/2m+V)$ 给出，而 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }=-i\nabla/\hbar$ 为动量算符。

　　 虽然非相对论性的薛定谔方程能很好描绘电子的波粒二象性，但却没有给出电子的内禀性质，也就是说，电子是个自旋为 $1/2$ 的粒子，则波函数一定是多分量的，而非单分量的。当空间发生旋转的时候，波函数的分量会随着参考系的旋转而发生变换。直到 Pauli（泡利）给出经典电磁场中的自旋 $1/2$ 电子的 Pauli 方程，人们才终于得到了描绘电子的携带自旋信息的非相对论性方程。Pauli 方程为

其中 $e=-q_e$ 为电子的电荷。若用上述方程描述自旋 $1/2$ 的其他粒子，则需要将 $e$ 用相应的电荷代入。其中电子磁矩 $ \boldsymbol{\mathbf{\mu}} $ 为 $\sigma$ 是 Pauli 矩阵（式 19 ），$ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 是自旋角动量算符。$\mu_B=|e\hbar/2m|$ 是 Bohr 磁子，$g_{\rm spin}=2$ 被称为自旋朗德（Lande）g 因子。

　　 第一个提出自旋 1/2 粒子的相对论性方程的是 Dirac（狄拉克）。Dirac 注意到 Klein Gordon 场中的负能量和负概率等一系列问题的核心，是因为方程中时间偏导是二次的。而一旦开根号变成一次偏导之后，$-i \frac{\partial}{\partial{(ct)}} \phi=\sqrt{-\nabla^2+m^2c^2/\hbar^2}\phi$ 中时间偏导算符和空间偏导算符处于不对等的地位，就不具有洛伦兹协变的形式。为了解决问题，Dirac 创造性地提出了一种明为 Dirac 代数的结构，其中的元素的运算法则不同于复数域的运算¹，并假设 $-\hbar^2\nabla^2+m^2c^2$ 可以开方为 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \cdot \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }+\beta mc$，其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $ 的三个坐标分量和 $\beta$ 都是 Dirac 代数的元素。因此需要满足一定的关系：$\alpha_i^2=1,\beta^2=1,\alpha_i\beta+\beta \alpha_i=0,\alpha_i\alpha_j+\alpha_j\alpha_i=2\delta_{ij}$。然而这些关系不可能在复数域内实现，因此 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} ,\beta$ 必然是 Dirac 代数中的元素，可以证明它们可以写成 $4\times 4$ 的矩阵形式，于是 $\psi$ 波函数也将是 $4$ 分量的。

　　 Dirac 方程完美地解释了自旋 $1/2$ 粒子的行为，并且预言了正电子的存在，并给出了朗德 g 因子 $=2$ 的理论计算解释。这也意味着，Pauli 方程实际上是 Dirac 方程的一个非相对论的近似解（可以参考电磁场中的狄拉克方程）。

2. 自旋 $1/2$ 粒子的非相对论波函数

　　 这一节我们将沿用 Dirac 的思路，但不从相对论性方程出发，而是直接推导非相对论性的方程。也就是说，我们寻找另一种类似的方式来表达薛定谔方程。 假设薛定谔算符 $\frac{2}{mc^2} \hat H-\sum_i\frac{P_i}{mc}\frac{\hat P_i}{mc}$ 可以开方：

因此自由粒子的薛定谔方程可以改写为

　　 其中 $a,b,c_i$ 的运算法则可能不同于复数域的法则，而是属于某种特殊的代数。对平方项展开，得到它们所需满足的等式关系：

$a,b,c_i$ 所在的代数具有 $4\times 4$ 的矩阵表示。我们不加证明地写出一种矩阵表示方法： 不难验证它们满足 式 6 的关系式。最后我们将这些表达式代入式 5 得到 其中设波函数的前两个分量为 $\phi$，后两个分量为 $\chi$，即 上述方程可以改写为两个关于二分量函数 $\phi,\chi$ 的方程： 经过一系列的化简，最终可以得到 因此根据上面的方程可以知道，$\phi,\chi$ 两分量都满足薛定谔方程，同时它们分别是二分量的，体现了电子波函数的内禀自旋性质。

　　 如果不加外部的电场和磁场，那么 $\hat H$ 和 $\hat P$ 就是自由粒子的能量和动量，且两两对易。根据 Pauli 矩阵的性质可以证明 $( \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{a}} )( \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} )= \boldsymbol{\mathbf{a}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{b}} +i \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot ( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{b}} )$，所以当 $\hat P_i$ 和 $\hat P_j$ 对易时，$( \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} })^2=\hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }^2$，于是上式转化为薛定谔方程的形式。

　　 然而如果加了外加电磁场，$\hat H$ 和 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }$ 应作以下替换（电磁场中的薛定谔方程及规范变换）

此时 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }-e\hat{ \boldsymbol{\mathbf{A}} }$ 的各个分量间不再对易，因此所得到的方程将会有一个 $ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 项出现。最终所得的方程被称为 Pauli 方程。具体的细节可以参考泡利方程。

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1. ^ 由于 Dirac 代数具有矩阵形式的表示，可以将其中的每一元素理解为 $4\times 4$ 的矩阵。虽然可以有多种矩阵表示法，但不同的表示法之间可以通过相似联系。