自旋 1/2 粒子的非相对论波函数

贡献者： _Eden_

预备知识　薛定谔方程（单粒子多维），自旋角动量，自旋角动量矩阵

1. 历史简介

　　在量子力学发展的早期，薛定谔首先提出了 Klein Gordon 方程 $\partial^{μ} \partial_{μ} ϕ + (m^{2} c^{2} / ℏ^{2}) ϕ = 0$ ，企图描绘遵从相对论变换的电子波动方程，但却遭遇失败。之后薛定谔退而求其次，转而求它的非相对论近似下的方程，得到了著名的薛定谔方程：

\begin{matrix} (1) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ = \hat{H} ψ = [\frac{1}{2 m} {(- i ℏ \nabla)}^{2} + V (x)] ψ . \end{matrix}

换言之，粒子波动方程的能量由

\hat{H} = ({\hat{p}}^{2} / 2 m + V)

给出，而

\hat{p} = - i \nabla / ℏ

为动量算符。

　　虽然非相对论性的薛定谔方程能很好描绘电子的波粒二象性，但却没有给出电子的内禀性质，也就是说，电子是个自旋为 $1 / 2$ 的粒子，则波函数一定是多分量的，而非单分量的。当空间发生旋转的时候，波函数的分量会随着参考系的旋转而发生变换。直到 Pauli（泡利）给出经典电磁场中的自旋 $1 / 2$ 电子的 Pauli 方程，人们才终于得到了描绘电子的携带自旋信息的非相对论性方程。Pauli 方程为

\begin{matrix} (2) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ = [\frac{1}{2 m} (\hat{p} - e A)^{2} + e ϕ - μ \cdot B] ψ = 0, \end{matrix}

其中

e = - q_{e}

为电子的电荷。若用上述方程描述自旋

1 / 2

的其他粒子，则需要将

e

用相应的电荷代入。其中电子磁矩

μ

为

\begin{matrix} (3) & μ = \frac{e ℏ}{m} \frac{σ}{2} = \frac{e}{m} S = - g_{s p i n} μ_{B} S . \end{matrix}

σ

是 Pauli 矩阵（式 19 ），

S

是自旋角动量算符。

μ_{B} = | e ℏ / 2 m |

是 Bohr 磁子，

g_{s p i n} = 2

被称为自旋朗德（Lande）g 因子。

　　第一个提出自旋 1/2 粒子的相对论性方程的是 Dirac（狄拉克）。Dirac 注意到 Klein Gordon 场中的负能量和负概率等一系列问题的核心，是因为方程中时间偏导是二次的。而一旦开根号变成一次偏导之后， $- i \frac{\partial}{\partial (c t)} ϕ = \sqrt{- \nabla^{2} + m^{2} c^{2} / ℏ^{2}} ϕ$ 中时间偏导算符和空间偏导算符处于不对等的地位，就不具有洛伦兹协变的形式。为了解决问题，Dirac 创造性地提出了一种明为 Dirac 代数的结构，其中的元素的运算法则不同于复数域的运算¹，并假设 $- ℏ^{2} \nabla^{2} + m^{2} c^{2}$ 可以开方为 $α \cdot \hat{p} + β m c$ ，其中 $α$ 的三个坐标分量和 $β$ 都是 Dirac 代数的元素。因此需要满足一定的关系： $α_{i}^{2} = 1, β^{2} = 1, α_{i} β + β α_{i} = 0, α_{i} α_{j} + α_{j} α_{i} = 2 δ_{i j}$ 。然而这些关系不可能在复数域内实现，因此 $α, β$ 必然是 Dirac 代数中的元素，可以证明它们可以写成 $4 \times 4$ 的矩阵形式，于是 $ψ$ 波函数也将是 $4$ 分量的。

　　 Dirac 方程完美地解释了自旋 $1 / 2$ 粒子的行为，并且预言了正电子的存在，并给出了朗德 g 因子 $= 2$ 的理论计算解释。这也意味着，Pauli 方程实际上是 Dirac 方程的一个非相对论的近似解（可以参考电磁场中的狄拉克方程）。

2. 自旋 $1 / 2$ 粒子的非相对论波函数

　　这一节我们将沿用 Dirac 的思路，但不从相对论性方程出发，而是直接推导非相对论性的方程。也就是说，我们寻找另一种类似的方式来表达薛定谔方程。假设薛定谔算符 $\frac{2}{m c^{2}} \hat{H} - \sum_{i} \frac{P_{i}}{m c} \frac{{\hat{P}}_{i}}{m c}$ 可以开方：

\begin{matrix} (4) & {(a \frac{\hat{H}}{m c^{2}} + b + \sum_{i} c_{i} \frac{{\hat{P}}_{i}}{m c})}^{2} = \frac{2}{m c^{2}} \hat{H} - \sum_{i} \frac{{\hat{P}}_{i}}{m c} \frac{{\hat{P}}_{i}}{m c} . \end{matrix}

因此自由粒子的薛定谔方程可以改写为

\begin{matrix} (5) & (a \frac{\hat{H}}{m c^{2}} + b + \sum_{i} c_{i} \frac{{\hat{P}}_{i}}{m c}) ψ = 0 . \end{matrix}

　　其中 $a, b, c_{i}$ 的运算法则可能不同于复数域的法则，而是属于某种特殊的代数。对平方项展开，得到它们所需满足的等式关系：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} a^{2} = 0, a b + b a = 2, a c_{i} + c_{i} a = 0, \\ b^{2} = 0, b c_{i} + c_{i} b = 0, \\ c_{i} c_{j} + c_{j} c_{i} = 2 δ_{i j}, \end{aligned} \end{matrix}

a, b, c_{i}

所在的代数具有

4 \times 4

的矩阵表示。我们不加证明地写出一种矩阵表示方法：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} a = - i \frac{1}{2} (\begin{array}{c} I & - I \\ I & - I \end{array}), b = i (\begin{array}{c} I & I \\ - I & - I \end{array}), \\ c_{i} = i (\begin{array}{c} 0 & σ_{i} \\ σ_{i} & 0 \end{array}), \end{aligned} \end{matrix}

不难验证它们满足式 6 的关系式。最后我们将这些表达式代入式 5 得到

\begin{matrix} (8) & - i \frac{1}{2} (\begin{matrix} I & - I \\ I & - I \end{matrix}) \frac{\hat{H}}{m c^{2}} + i (\begin{matrix} I & I \\ - I & - I \end{matrix}) + i \sum_{i} (\begin{matrix} 0 & σ_{i} \\ σ_{i} & 0 \end{matrix}) \frac{P_{i}}{m c} (\begin{matrix} ϕ \\ χ \end{matrix}) = 0 . \end{matrix}

其中设波函数的前两个分量为

ϕ

，后两个分量为

χ

，即

\begin{matrix} (9) & ψ (x) = (\begin{matrix} ϕ (x) \\ χ (x) \end{matrix}) . \end{matrix}

上述方程可以改写为两个关于二分量函数

ϕ, χ

的方程：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} - i \frac{1}{2} \frac{\hat{H}}{m c^{2}} (ϕ - χ) + i (ϕ + χ) + i \frac{σ \cdot \hat{P}}{m c} χ = 0, \\ - i \frac{1}{2} \frac{\hat{H}}{m c^{2}} (ϕ - χ) - i (ϕ + χ) + i \frac{σ \cdot \hat{P}}{m c} ϕ = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

经过一系列的化简，最终可以得到

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} [\hat{H} - \frac{(σ \cdot \hat{P})^{2}}{2 m}] ϕ = 0, \\ [\hat{H} - \frac{(σ \cdot \hat{P})^{2}}{2 m}] χ = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

因此根据上面的方程可以知道，

ϕ, χ

两分量都满足薛定谔方程，同时它们分别是二分量的，体现了电子波函数的内禀自旋性质。

　　如果不加外部的电场和磁场，那么 $\hat{H}$ 和 $\hat{P}$ 就是自由粒子的能量和动量，且两两对易。根据 Pauli 矩阵的性质可以证明 $(σ \cdot a) (σ \cdot b) = a \cdot b + i σ \cdot (a \times b)$ ，所以当 ${\hat{P}}_{i}$ 和 ${\hat{P}}_{j}$ 对易时， $(σ \cdot \hat{P})^{2} = {\hat{P}}^{2}$ ，于是上式转化为薛定谔方程的形式。

　　然而如果加了外加电磁场， $\hat{H}$ 和 $\hat{P}$ 应作以下替换（电磁场中的薛定谔方程及规范变换）

\begin{matrix} (12) & \hat{H} \to \hat{H} - e ϕ, \hat{P} \to \hat{P} - e \hat{A} . \end{matrix}

此时

\hat{P} - e \hat{A}

的各个分量间不再对易，因此所得到的方程将会有一个

σ \cdot B

项出现。最终所得的方程被称为 Pauli 方程。具体的细节可以参考泡利方程。

1. ^ 由于 Dirac 代数具有矩阵形式的表示，可以将其中的每一元素理解为 $4 \times 4$ 的矩阵。虽然可以有多种矩阵表示法，但不同的表示法之间可以通过相似联系。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

自旋 1/2 粒子的非相对论波函数

1. 历史简介

2. 自旋 1/2 粒子的非相对论波函数

2. 自旋 $1 / 2$ 粒子的非相对论波函数