QED 的重整化理论—顶点函数的单圈修正

                     

贡献者： _Eden_; addis

　　 在电子自能和光子自能的单圈修正中，我们对裸拉氏量中的场量进行缩放得到了重整化的拉氏量

其中我们重新定义了 $Z_{1}e=e_0{Z}_2{Z}_3^{1/3},Z_{m}m=Z_2{m}_0$，$m,e$ 为物理质量和物理电荷。我们可以在适当的重整化条件下确定各个重整化常数。

1. $Z_1=Z_2$

　　 让我们从 Ward 等式和裸拉氏量出发给出 $Z_1=Z_2$ 的一个证明。考虑两条电子外线、一条光子外线所组成的三点函数

利用三点函数 Feynman 规则（定理 1 ），并且保留电子外线的正规传播子（它有在壳极点行为），并截去光子外线的正规传播子（也就是直接连在截肢图上，这不影响 Ward 等式的正确性，因为只有直接连在截肢图上才能对 $k_{\mu }{\mathcal{M}}^{\mu }$ 有贡献），将光子外线贡献用 $k_{\mu }$ 替代。我们总是可以将三点函数的 Feynman 图表示为 QED 正规顶点和两条电子外腿图的组合： 其中 为电子的正规传播子（两点编时格林函数），$Z_2$ 为裸拉氏量的正规传播子在 $\mathrm{p̸}=m$ 处的留数。对式 3 两边除以 $S(p)S(p+k)$，可以得到 根据 LSZ 约化公式（和），三点函数所对应的 Feynman 振幅为 由于 $|\mathcal{M}{|}^2$ 是可观测量，且在非相对论极限下，从上式出发应当正确地得到库仑定律。非相对论极限下的计算告诉我们，在 $k\to 0$ 的极限下，$Z_1{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }(k=0)={\gamma }^{\mu }$。代入式 5 ，我们最终得到 因此

2. 顶点函数的洛伦兹结构

　　 我们常常将 $i\mathcal{M}(e^{-}(p)\gamma (q)\to e^{-}(p^{\prime }))=\overline{u}(p^{\prime })[-ie{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }(p,p^{\prime })]u(p){ϵ}_{\mu }(q)$ 称作 QED 的正规顶点，它对应于两条电子外线、一条光子外线的所有截肢费曼图的贡献之和。将 $[-ie{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }(p,p^{\prime })]$ 称为 QED 的顶点函数，它仍保持着四矢量的洛伦兹结构。

　　 让我们来先分析 ${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }$ 的洛伦兹结构。由于它服从洛伦兹四矢量的变换规则，且是 $4\times 4$ 矩阵，它一定具有以下的形式：

其中 $A,B,C$ 是 Dirac 代数中的元素，可以表示为 $1,{\gamma }^{\mu },{\sigma }^{\mu \nu }=\frac{i}{2}[{\sigma }^{\mu },{\sigma }^{\nu }],{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5,{\gamma }^5$ 这 $16$ 个元素的线性组合，且它们是洛伦兹标量。又因为在旋量 QED 中，任何阶 Feynman 图的任何量中都没有出现 ${\gamma }^5$，所以我们只有 $1,{\mathrm{p̸}}^{(1)},p_{\mu }^{(1)}{p}_{\nu }^{(2)}{\sigma }^{\mu \nu }=\frac{i}{2}[{\mathrm{p̸}}^{(1)},{\mathrm{p̸}}^{(2)}]$ 这几种可能。$A,B,C$ 作为洛伦兹标量矩阵，可以由这组基底展开。

　　 现在假设电子外线在壳，$p^2=p^{\prime 2}=m^2$，那么可以利用 $\overline{u}(p^{\prime })({\mathrm{p̸}}^{\prime }-m)=(\mathrm{p̸}-m)u(p)=0$，将 $A,B,C$ 中所有 $\mathrm{p̸},{\mathrm{p̸}}^{\prime }$ 都可以被替换为 $m$，如果多个 $\mathrm{p̸},{\mathrm{p̸}}^{\prime }$ 相乘也可以通过等式 $\mathrm{p̸}{\mathrm{p̸}}^{\prime }=2p\cdot p^{\prime }-{\mathrm{p̸}}^{\prime }\mathrm{p̸}$ 的方式交换位置最后被替换为单位矩阵。因此最终 $A,B,C$ 可以表示成洛伦兹标量函数乘以单位矩阵的形式。由于外动量只有 $p,p^{\prime },q=p^{\prime }-p$，洛伦兹标量一定是关于独立标量 $p^2,{p^{\prime }}^2,p\cdot p^{\prime }$ 的函数。$p^2={p^{\prime }}^2=m^2$ 是常数，$q^2=(p^{\prime }-p{)}^2=-2p^{\prime }p$，因此 $A,B,C$ 都可以表示为 $q^2$ 的函数。

　　 我们再来考察 Ward 等式（或者规范对称性）对顶点函数的限制。Ward 等式要求

Ward 等式对于不在壳的虚光子也成立，这说明 $C(q^2)=0$。综合前面的讨论，${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }$ 可以表示成 或者我们也可以利用 Gordon 等式： 可以将式 11 改写为另一种形式 $F_1(q^2)=A+2mB,F_2(q^2)=-2mB$ 被称为 QED 正规顶点的形状因子。

3. 顶点函数的单圈修正

　　 为了更方便地在 OS 重整化方案下确定拉氏量中的参数，下面我们基于重整化的拉氏量进行讨论。

类似电子自能和光子自能的单圈修正中的讨论，我们先在 OS 重整化方案下进行讨论，用维数正规化处理发散积分。根据 OS 方案下的重整化条件，我们希望当电子光子外线在壳、且光子四动量为 $0$ 时，有 这表明在充分大的空间尺度上测得的物理电荷量为 $e_{\text{ph}}=e$。重整化条件要求 $F_1(q^2=0)=1$，于是我们可以通过圈图修正计算形状因子 $F_1(q^2)$ 来确定重整化常数 $Z_1$。 经过一系列复杂又复杂的计算，我们最终得到 其中 $\mathrm{\Delta }=(1-z{)}^2{m}^2+z{m}_{\gamma }^2-xy{q}^2$。$m_{\gamma }$ 为引入的光子质量项（存在待处理的红外发散）。因此由重整化条件得 其中 ${\mathrm{\Delta }}_0=\mathrm{\Delta }{|}_{q^2=0}$。可以求得紫外发散项 因此 ${\delta }_1{|}_{UV}={\delta }_2{|}_{UV}$。通过复杂的计算可以进一步验证 ${\delta }_1={\delta }_2$，即在单圈阶验证了 $Z_1=Z_2$。