LSZ 约化公式（矢量场）

贡献者： _Eden_

　　 旋量量子电动力学（Spinor electrodynamics，也简称旋量 QED）是关于电子、正电子和光子的相互作用的量子场论，拉氏量为 $L = \bar{ψ} (i D̸ - m_{0}) ψ - \frac{1}{4} F_{μ ν} F^{μ ν} .$ 其中协变微商 $D_{μ} = \partial_{μ} + i e_{0} A_{μ}$ ，因此拉氏量的相互作用部分为 $L_{i n t} = - e_{0} A_{μ} \bar{ψ} γ^{μ} ψ = - e_{0} A_{μ} j^{μ}$ 。自由场的拉氏量则包含了自由 Dirac 场和和自由电磁场这两个部分，它们分别描写了电子、正电子和光子。仿照之前的讨论，我们可以通过统计 Feynman 图的贡献来计算旋量 QED 的 $n$ 点编时格林函数。根据 Wick 定理，费米子线与光子线可以由自由场论的 Feynman 传播子得到，而相互作用顶点需要带上一个 $- i e_{0} γ^{μ}$ 的因子。前面我们建立了自旋 $0, 1 / 2$ 粒子（分别对应标量场和旋量场）的 LSZ 约化公式。为了描述入态和出态中有光子参与的散射过程，将 S-矩阵同相应的编时格林函数联系起来，我们还需要对自旋 $1$ 的矢量场（也就是电磁场）建立 LSZ 约化公式。

1. 矢量场的 LSZ 约化公式

　　在讨论自由电磁场时， $| k, λ ⟩ = a_{k}^{(λ) †} | 0 ⟩$ 为归一化的单光子态（我们只考虑物理的偏振态，即不考虑纵向偏振和标量偏振的光子），它与自己的内积 $2 E_{k} δ^{3} (0)$ 是一个洛伦兹不变量。对于相互作用场论也存在一系列由量子数 $k, λ$ 刻画的单粒子态，它们由洛伦兹变换相联系。我们有以下关系： $⟨ Ω | A_{μ} (x) | k, λ ⟩ = \sqrt{Z_{3}} ϵ_{μ}^{λ} (k) e^{- i k \cdot x} .$ 则在时间在 $\pm \infty$ 区域矢量场算符可以通过傅里叶变换约化为入射和出射的光子。（下面 $\int_{1}$ 和 $\int_{3}$ 分别代表在 $y^{0}$ 的积分区域在 $t > T^{+}$ 和 $t < T^{-}$ ）

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} ϵ_{μ}^{(λ) *} (k) g_{λ λ} \int_{1} d^{4} x e^{i k x} ⟨ Ω | T [A^{μ} (x) \dots] | Ω ⟩ \overset{k^{0} \to E_{k}}{\sim} \frac{i \sqrt{Z_{3}}}{k^{2} + i ϵ} ⟨ k, λ | T [\dots] | Ω ⟩, \\ ϵ_{μ}^{(λ)} (k) g_{λ λ} \int_{3} d^{4} y e^{- i k y} ⟨ Ω | T [\dots A^{μ} (y)] | Ω ⟩ \overset{k^{0} \to E_{k}}{\sim} \frac{i \sqrt{Z_{3}}}{k^{2} + i ϵ} ⟨ Ω | T [\dots] | k, λ ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

经过波包调制后，

n

点格林函数的所有矢量场算符就可以被约化为入态和出态，最终就得到了矢量场的 LSZ 约化公式：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \prod_{i} \int d^{4} x e^{i k_{i}^{'} x_{i}} [ϵ_{μ_{i}}^{(λ_{i}^{'}) *} (k_{i}^{'}) g_{λ_{i}^{'} λ_{i}^{'}}] \prod_{j} \int d^{4} y e^{- i k_{j} y_{j}} [ϵ_{ν_{j}}^{(λ_{j})} (k_{j}) g_{λ_{j} λ_{j}}] ⟨ Ω | T [A^{μ_{1}} (x_{1}) A^{ν_{1}} (y_{1}) \dots] | Ω ⟩ \\ \mapsto \prod_{i} \frac{i \sqrt{Z_{3}}}{k_{i}^{' 2} + i ϵ} \prod_{j} \frac{i \sqrt{Z_{3}}}{k_{j}^{2} + i ϵ} ⟨ k_{1}^{'}, λ_{1}^{'}; \dots | S | k_{1}, λ_{1}; \dots ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

其中

\mapsto

表示取所有的动量在壳，并且仅仅考察其中最为奇异的多极点部分的贡献。

Z_{3}

是矢量场的场强重整化因子。

　　将 $n$ 点格林函数微扰展开后每一项可以用一个连通的 Feynman 图表达。可以将外腿的两点函数与截肢图的贡献独立开来，以出射光子为例，外腿部分的两点函数为 $ϵ_{μ}^{(λ) *} (k) g_{λ λ} \int d^{4} x e^{i k x} ⟨ Ω | T [A^{μ} (x) A^{ν} (0)] | Ω ⟩ = ϵ^{ν (λ)} (k) \frac{i Z_{3}}{k^{2} + i ϵ} .$ 这与 LSZ 约化公式右侧的因子相抵消后，只剩下一个 $\sqrt{Z_{3}} ϵ^{(λ) ν *}$ 的因子。我们将 $ϵ^{(λ) ν *}$ 记在 Feynman 图外线的贡献里，它代表出射光子的偏振方向；类似地，入射光子对应的外线要带上 $ϵ^{(λ) μ}$ 的因子。具体地有

入射光子： $A^{μ} (x) | k, λ ⟩ = ϵ^{(λ) μ} (k)$ 。
出射光子： $⟨ k^{'}, λ^{'} | A^{ν} (x) = ϵ^{(λ) ν *} (k^{'})$ 。

　　最后计算散射过程时只需要统计所有截肢的 Feynman 图的贡献，再带上 $(\sqrt{Z_{3}})^{n + m}$ 的因子即可（ $n + m$ 是光子外线的数量）。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。