QED的费曼规则

                     

贡献者: _Eden_

1. $n$ 点格林函数的费曼图表示

   QED 的 $n$ 点格林函数 $ \left\langle \Omega \right\rvert \psi(x)\bar\psi(y)A_\mu(z) \cdots \left\lvert \Omega \right\rangle $ 可以通过相互作用绘景与自由场的格林函数相联系,再利用 QED 的 Wick 定理,我们可以求得 $n$ 点格林函数在动量空间的费曼图表示。

定理 1 旋量 QED 的 Feynman 规则(动量空间)

  

  1. 画出所有连通的费曼图。
  2. 给每一个传播子一个四动量,并在每个顶点要求动量守恒。
  3. 每个相互作用顶点有一个指标 $\mu\in\{0,1,2,3\}$。每个光子外线所对应的外点也有一个指标 $\mu$。
  4. 对于动量为 $p$ 的费米子传播子,写下:$\frac{i(\not p+m_0)}{p^2-m_0^2 + i\epsilon}$。
  5. 对于动量为 $q$、两端矢量指标为 $\mu,\nu$ 的光子传播子,写下:$\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$。
  6. 对于相互作用顶点,写下:$-ie\gamma^\mu$;
  7. 对所有未知动量积分。
  8. 考察每个图中由于费米统计所可能造成的符号,例如一个费米子圈总会贡献一个负号。

2. S-矩阵元的费曼图表示

预备知识 LSZ 约化公式(旋量场),LSZ 约化公式(矢量场)

   当外线的动量在壳时,外腿存在极点行为,而 $n$ 点格林函数的最奇异的多极点部分对 S-矩阵元有贡献。因此当我们计算 Feynman 矩阵元时,我们需要对连通的 Feynman 图进一步截肢,来消去外腿的极点。这是 LSZ 约化公式告诉我们的。

   QED 是一个关于旋量、矢量场的相互作用理论。对旋量场、矢量场的 Wick 定理与 LSZ 约化公式作一个整理和总结,我们最终得到了旋量 QED 的 Feynman 规则:$i\mathcal{M}$ 可以由以下方式微扰计算:

定理 2 旋量 QED 的 Feynman 规则(动量空间)

  1. 画出所有连通的、截肢的费曼图。
  2. 给每一个传播子一个四动量,并在每个顶点要求动量守恒。
  3. 对于动量为 $p$ 的费米子传播子,写下:$\frac{i(\not p+m_0)}{p^2-m_0^2 + i\epsilon}$。
  4. 对于动量为 $q$、两端矢量指标为 $\mu,\nu$ 的光子传播子,写下:$\frac{-ig_{\mu\nu}}{q^2 + i\epsilon}$。
  5. 对于相互作用顶点,写下:$-ie\gamma^\mu$;
  6. 对于外线的费米子和反费米子,写下它们对应的旋量: \begin{align*} &\overset{1}{\psi}\overset{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+ \right\rangle }=u^s( \boldsymbol{\mathbf{p}} ),\quad \overset{1}{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+ \right\rvert } \overset{1}{\bar\psi}=\bar u^{s'}( \boldsymbol{\mathbf{p}} ')
    &\overset{1}{\bar\psi}\overset{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,- \right\rangle }=v^{r}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ),\quad \overset{1}{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',- \right\rvert } \overset{1}{\psi}=\bar v^{r'}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ') \end{align*}
  7. 对于外线的光子,写下它们对应的偏振矢量: \[ \overset{1}{A^\mu}(x) \overset{1}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} ,\lambda \right\rangle }=\epsilon^{(\lambda)\mu}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ),\quad \overset{1}{ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',\lambda' \right\rvert }\overset{1}{A^\nu}(x)=\epsilon^{(\lambda)\nu*}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ') \]
  8. 对所有未知动量积分。
  9. 考察每个图中由于费米统计所可能造成的符号,例如一个费米子圈总会贡献一个负号。

  

未完成:规范场传播子的 $R_\xi$ 规范
不同 $\xi$ 规范下的光子传播子是不同的,不过后面我们将通过 Ward 等式证明 S-矩阵和选取的 $\xi$ 是无关的。


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