LSZ约化公式(旋量场)

                     

贡献者: _Eden_

   我们用分析动量空间编时格林函数的极点行为的方法来推导 LSZ 约化公式。将时间分为三个积分区域 $1,2,3$,先在积分区域 $1$ 中(即 $t > T_+$)对 $\psi(x)$ 傅里叶变换(这里 $\psi(x)$ 是海森堡表象下的场算符)。与标量场不同的是,这里我们将 $\int_{3} \,\mathrm{d}^{4}{x} e^{ipx} u^{s\dagger}( \boldsymbol{\mathbf{p}} )$ 作用于 $\psi(x)$,来将场算符约化为具有特定动量以及自旋的出态。这里的旋量 $u$ 是以物理质量 $m$ 为参数的。

\begin{equation} \begin{aligned} &\int_{1} \,\mathrm{d}^{4}{x} e^{ipx} u^{s\dagger}( \boldsymbol{\mathbf{p}} )\langle \Omega|T[\psi(x)\cdots]|\Omega\rangle\\ =&\int_{T_+}^\infty \,\mathrm{d}{x} ^0 e^{ip^0x^0}\int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } e^{-i \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} } u^{s\dagger}_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \sum_{\lambda, s'}\int \frac{ \,\mathrm{d}{3} \boldsymbol{\mathbf{q}} }{(2\pi)^3} \frac{1}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }(\lambda)}\langle \Omega|\psi_\alpha(x)|\lambda_{ \boldsymbol{\mathbf{q}} },s'\rangle \langle \lambda_{ \boldsymbol{\mathbf{q}} },s'| T[\cdots]|\Omega\rangle\\ \stackrel{p^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\sim} & \sum_{s'}\int_{T_+}^\infty \,\mathrm{d}{x} ^0 e^{i(p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }(\lambda))x^0} \frac{1}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }} u^{s\dagger}_\alpha( \boldsymbol{\mathbf{p}} )\langle \Omega|\psi_\alpha(0)| \boldsymbol{\mathbf{0}} ,s',+\rangle\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s',+| T[\cdots]|\Omega\rangle\\ =&\sum_{s'}\frac{i\sqrt{Z_2}}{2E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}\frac{e^{i(p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }+i\epsilon)T_+)}}{(p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }+i\epsilon)} u^{s\dagger}( \boldsymbol{\mathbf{p}} )u^{s'}( \boldsymbol{\mathbf{p}} )\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s',+| T[\cdots]|\Omega\rangle= \frac{i\sqrt{Z_2}}{p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }+i\epsilon} \langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+| T[\cdots]|\Omega\rangle \end{aligned} \end{equation}
经过相似的推导,共可以得到四组结果,分别对应将场算符约化为入射和出射的费米子或反费米子。
\begin{equation} \begin{aligned} &\int_{ 1} \,\mathrm{d}^{4}{x} e^{ip'x} \bar{u}^{s'}( \boldsymbol{\mathbf{p}} ')\gamma^0\langle \Omega|T[\psi(x)\cdots]|\Omega\rangle \stackrel{p'^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} '}}{\sim} \frac{i\sqrt{Z_2}}{p'^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p'}} }+i\epsilon} \langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+| T[\cdots]|\Omega\rangle\\ & \int_{ 1} \,\mathrm{d}^{4}{y} e^{ik'y} \langle \Omega|T[\bar{\psi}(y)\cdots]|\Omega\rangle \gamma^0 v^{r'}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ') \stackrel{k'^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}}{\sim} \frac{i\sqrt{Z_2}}{{k'}^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}+i\epsilon} \langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-| T[\cdots]|\Omega\rangle\\ & \int_{ 3} \,\mathrm{d}^{4}{z} e^{-ipz} \langle \Omega|T[\cdots\bar{\psi}(z)]| \Omega\rangle\gamma^0 u^{s}( \boldsymbol{\mathbf{p}} ) \stackrel{p^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }}{\sim} \frac{i\sqrt{Z_2}}{p^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }+i\epsilon} \langle \Omega| T[\cdots]| \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+\rangle\\ & \int_{ 3} \,\mathrm{d}^{4}{w} e^{-ikw} \bar{v}^{r}( \boldsymbol{\mathbf{k}} )\gamma^0\langle \Omega|T[\cdots\psi(w)]| \Omega\rangle \stackrel{k^0\rightarrow E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }}{\sim} \frac{i\sqrt{Z_2}}{k^0-E_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }+i\epsilon} \langle \Omega| T[\cdots]| \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,-\rangle \end{aligned} \end{equation}
经过波包调制以后,可以将编时格林函数的场算符划分为两部分,一部分场算符位于无穷远未来,在 $ 1$ 区域,另一部分场算符在 $ 3$ 区域。它们所对应的单粒子态在空间上是间隔很远的,那么就可以被约化为相应的入态和出态。最后得到的入态与出态的内积就是 S-矩阵。最后要注意编时算符作用下交换两个费米子场算符的左右位置时需要改变符号,我们约定多粒子态 $ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+; \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-;\cdots \right\rvert =- \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-; \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+;\cdots \right\rvert $ 是 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+; \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-;\cdots \right\rangle $ 的共轭。由上述公式最终可以得到
\begin{equation} \begin{aligned} & \prod_{i'}\int \,\mathrm{d}^{4}{x_{i'}} e^{ip'_{i'}x_{i'}} \prod_{j'}\int \,\mathrm{d}^{4}{y_{j'}} e^{ik'_{j'}y_{j'}} \prod_{i}\int \,\mathrm{d}^{4}{z_{i}} e^{-ip_{i}z_{i}} \prod_{j}\int \,\mathrm{d}^{4}{w_{j}} e^{-ik_{j}w_{j}} \\ & \quad \left[\bar u^{s'_{i'}}( \boldsymbol{\mathbf{p}} '_{i'})\gamma^0\right]_{\alpha} \left[{\bar v}^{r_j}( \boldsymbol{\mathbf{k}} _{j})\gamma^0\right]_{\delta} \left\langle \Omega \right\rvert T[\psi_\alpha(x_1)\bar\psi_\beta(y_1)\bar\psi_\gamma(z_1)\psi_\delta(w_1)\cdots] \left\lvert \Omega \right\rangle \left[\gamma^0 u^{s_i}( \boldsymbol{\mathbf{p}} _{i})\right]_{\gamma} \left[\gamma^0 v^{r'_{j'}}( \boldsymbol{\mathbf{k}} '_{j'})\right]_{\beta} \\ & \mapsto \left(\prod_{i'}\frac{i\sqrt{Z_2}} {{p'_{i'}}^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} '_{i'}}+i\epsilon}\right) \left(\prod_{j'}\frac{i\sqrt{Z_2}}{{k'_{j'}}^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '_{j'}}+i\epsilon}\right) \left(\prod_{i}\frac{i\sqrt{Z_2}}{p_i^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{p}} _i}+i\epsilon}\right) \left(\prod_{j}\frac{i\sqrt{Z_2}}{k_j^0-\omega_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} _j}+i\epsilon}\right) \\ & \quad \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-; \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+;\cdots \right\rvert S \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+; \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,-;\cdots \right\rangle \end{aligned} \end{equation}
其中 $\mapsto$ 表示取所有的动量在壳,并且仅仅考察其中最为奇异的多极点部分的贡献。$Z_2$ 是旋量场的场强重整化因子。上式还可以等价地写为
\begin{equation} \begin{aligned} & \prod_{i,j,i',j'} \int \,\mathrm{d}^{4}{x_{i'}} e^{ip'_{i'}x_{i'}} \int \,\mathrm{d}^{4}{y_{j'}} e^{ik'_{j'}y_{j'}} \int \,\mathrm{d}^{4}{z_{i}} e^{-ip_{i}z_{i}} \int \,\mathrm{d}^{4}{w_{j}} e^{-ik_{j}w_{j}} \\ & \quad \bar u^{s'_{i'}}( \boldsymbol{\mathbf{p}} '_{i'})(i\not \partial_{x_{i'}}-m) \bar v^{r_{j}}( \boldsymbol{\mathbf{k}} _{j})(i\not \partial_{w_{j}}-m) \left\langle \Omega \right\rvert T[\psi(x_1)\bar\psi(y_1)\bar\psi(z_1)\psi(w_1)\cdots] \left\lvert \Omega \right\rangle \\ & \quad (-i\overleftarrow{\not \partial}_{z_i} -m )u^{s_i}( \boldsymbol{\mathbf{p}} _i) (-i\overleftarrow{\not \partial}_{y_{j'}}-m) v^{r'_{j'}}( \boldsymbol{\mathbf{k}} '_{j'}) \\ & \mapsto (i\sqrt{Z_2})^{4+\cdots} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ',r',-; \boldsymbol{\mathbf{p}} ',s',+;\cdots \right\rvert S \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{p}} ,s,+; \boldsymbol{\mathbf{k}} ,r,-;\cdots \right\rangle \end{aligned} \end{equation}
可以对上式作分部积分将 $\not\partial$ 算子替换为 $\not p$,来验证上面的两个 LSZ 约化公式的等价性。


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