素数定理的证明

贡献者： int256

预备知识　素数定理，数论函数 theta 与 psi 的阶，渐进估计与阶

定理 1　素数个数函数的阶

\begin{matrix} (1) & π (x) \sim \frac{ϑ (x)}{\ln x} \sim \frac{ψ (x)}{\ln x} . \end{matrix}

　　证明：我们利用 $ϑ (x)$ 与 $ψ (x)$ 的阶的估计可以导出素数定理的证明。首先指出

\begin{matrix} (2) & ϑ (x) = \sum_{p \leq x} \ln p \leq \ln x \sum_{p \leq x} 1 = π (x) \ln x, \end{matrix}

从而直接得到了

\begin{matrix} (3) & π (x) \geq ϑ (x) / \ln x > A x / \ln x . \end{matrix}

而若

0 < δ < 1

，

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} ϑ (x) & \geq \sum_{x^{1 - δ} < p \leq x} \ln p \\ \geq (1 - δ) \ln x \sum_{x^{1 - δ} < p \leq x} 1 \\ = (1 - δ) \ln x (π (x) - π (x^{1 - δ})) \\ \geq (1 - δ) \ln x (π (x) - x^{1 - δ}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　这就是说，

\begin{matrix} (5) & π (x) \leq x^{1 - δ} + \frac{ϑ (x)}{(1 - δ) \ln x} < B x / \ln x . \end{matrix}

　　而利用定理 1 与引理 1 ，只需要证明 $π (x) \sim ϑ (x) / \ln x$ 即可。利用式 3 与式 5 就直接有

\begin{matrix} (6) & 1 \leq \frac{π (x) \ln x}{ϑ (x)} \leq \frac{x^{1 - δ} \ln x}{ϑ (x)} + \frac{1}{1 - δ} . \end{matrix}

　　对于任意的 $ε > 0$ ，可以选取 $δ = δ (ε) > 0$ 使得 $1 / (1 - δ) < 1 + (ε / 2)$ ，而选取 $N = N (δ, ε) = N (ε)$ 使得对于所有的 $x > N$ 均有

\begin{matrix} (7) & \frac{x^{1 - δ} \ln x}{ϑ (x)} < \frac{C \ln x}{x^{δ}} < ε / 2 . \end{matrix}

从而对于所有

x > N

都有

\begin{matrix} (8) & 1 \leq \frac{π (x) \ln x}{ϑ (x)} < 1 + ε . \end{matrix}

而

ε

可以任意小，就证明了第一部分。也就完成了这个定理的证明！

　　而我们已经证明了， $ϑ (x)$ 与 $ψ (x)$ 的阶都是 $x$ ，故 $π (x)$ 的阶是 $x / \ln x$ 也就被成功证明！

推论 1　素数定理的推论

\begin{matrix} (9) & p_{n} ≍ n \ln n . \end{matrix}

　　证明：我们用 $A$ 表示待定常数，但特别的， $A$ 之间可以互不相等，而仅用 $A$ 来估计阶。

　　利用素数定理，

\begin{matrix} (10) & n = π (p_{n}) < \frac{A p_{n}}{\ln p_{n}}, p_{n} > A n \ln p_{n} > A n \ln n . \end{matrix}

而

\begin{matrix} (11) & n = π (p_{n}) > \frac{A p_{n}}{\ln p_{n}}, \end{matrix}

从而

\begin{matrix} (12) & \sqrt{p_{n}} < \frac{A p_{n}}{\ln p_{n}} < A n, p_{n} < A n^{2}, \end{matrix}

这指出，

\begin{matrix} (13) & p_{n} < A n \ln p_{n} < A n \ln n . \end{matrix}

就完成证明。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

素数定理的证明

定理 1 素数个数函数的阶

推论 1 素数定理的推论

定理 1　素数个数函数的阶

推论 1　素数定理的推论