连分数

             

贡献者: addis

  1连分数(continued fraction)形如

\begin{equation} a_0 + \frac{1}{\displaystyle a_1 + \frac{1}{\displaystyle a_2 + \frac{1}{\displaystyle \ddots + \frac{1}{a_n}}}} \end{equation}
其中要求所有 $a_i$ 都是整数,且除 $a_0$ 外,其他 $a_i$ 都大于零.若有无穷多项即 $n\to\infty$,则将其称为无穷连分数.如果不要求 $a_i$ 为整数,也不要求分子都为 1,那么称其为广义连分数,见下文.为了方便书写,也可以记为
\begin{equation} a_0 + \frac{1}{a_1 + \dots}\frac{1}{a_2 + \dots}\dots \frac{1}{a_n} \end{equation}
或者更简洁地,记为
\begin{equation} [a_0;\ a_1,\ a_2,\ \dots\ ,\ a_n] \end{equation}

   每个实数都可以被表示为一个唯一的连分数:对实数 $x$,取其整数部分为 $a_0$,把剩余部分取倒数,令 $x_1 = 1/(x-a_0)$,那么它的整数部分就是 $a_1$,再把剩余部分取导数,令 $x_2 = 1/(x_1 - a_1)$,它的整数部分就是 $a_2$,以此类推.

1. 广义连分数

   广义连分数的形式为

\begin{equation} b_0 + \frac{a_1}{\displaystyle b_1 + \frac{a_2}{\displaystyle b_2 + \frac{a_3}{\displaystyle b_3 + \dots}}} \end{equation}
其中 $a_i, b_i$ 不要求是整数,甚至可以是函数.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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