连分数

贡献者： addis

　　¹连分数（continued fraction）形如

\begin{matrix} (1) & a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{⋱ + \frac{1}{a_{n}}}}} \end{matrix}

其中要求所有

a_{i}

都是整数，且除

a_{0}

外，其他

a_{i}

都大于零。若有无穷多项即

n \to \infty

，则将其称为无穷连分数。如果不要求

a_{i}

为整数，也不要求分子都为 1，那么称其为广义连分数，见下文。为了方便书写，也可以记为

\begin{matrix} (2) & a_{0} + \frac{1}{a_{1} +} \frac{1}{a_{2} +} \dots \frac{1}{a_{n}} . \end{matrix}

或者更简洁地，记为

\begin{matrix} (3) & [a_{0}; a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] . \end{matrix}

　　连分数有性质

\begin{matrix} (4) & [a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1}, a_{n}] = [a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n - 1} + \frac{1}{a_{n}}] = [a_{0}, [a_{1}, \dots, a_{n}]] . \end{matrix}

　　每个实数都可以被表示为一个唯一的连分数：对实数 $x$ ，取其整数部分为 $a_{0}$ ，把剩余部分取倒数，令 $x_{1} = 1 / (x - a_{0})$ ，那么它的整数部分就是 $a_{1}$ ，再把剩余部分取倒数，令 $x_{2} = 1 / (x_{1} - a_{1})$ ，它的整数部分就是 $a_{2}$ ，以此类推。

1. 广义连分数

　　广义连分数的形式为

\begin{matrix} (5) & b_{0} + \frac{a_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2}}{b_{2} + \frac{a_{3}}{b_{3} + \dots}}} \end{matrix}

其中

a_{i}, b_{i}

不要求是整数，甚至可以是函数。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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