柯西—阿达玛公式

             

预备知识 幂级数

1. 表述与证明

  1柯西—阿达玛公式(Cauchy-Hadamard formula)是计算幂级数收敛半径的一般公式.

定理 1 柯西—阿达玛公式

   设有幂级数

\begin{equation} \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n. \end{equation}
则幂级数的收敛半径 $R$ 由公式 $$ \frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n} $$ 计算.

   证明并不困难.如果 $|z-a| > R$,那么可取 $\delta > 0$ 如此之小,使得 $|z-a| > R(1+\delta)$,从而有 $$ |c_n||z-a|^n>(|c_n|^{1/n}R(1+\delta))^n. $$ 而按照上极限的定义,有无穷多个 $n$ 使得 $$ |c_n|^{1/n}>\frac{1}{R(1+\delta)}. $$ 于是式 1 的一般项不趋于零,从而这级数不可能收敛.而如果 $|z-a| < R$,那么可取 $\delta > 0$ 如此之小,使得 $|z-a| < R(1+2\delta)^{-1}$; 而按照上极限的定义,从某个 $n$ 开始总有 $|c_n|^{1/n} < (1+\delta)/R$,因此对于充分大的 $n$ 就有 $$ |c_n||z-a|^n\leq\frac{(1+\delta)^n}{(1+2\delta)^n}. $$ 从而幂级数的一般项由收敛的几何级数控制.

2. 应用举例

   对于幂级数 $$ \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n, $$ 逐项微分和逐项积分的级数分别是 $$ \sum_{n=1}^\infty nc_n(z-a)^{n-1},\, \sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1}(z-a)^{n+1}. $$ 按照柯西—阿达玛公式,这两个幂级数的收敛半径都与原幂级数相同.因此逐项微分或逐项积分不改变幂级数的收敛半径.

   对于 $\lambda > 0$,按照柯西—阿达玛公式,幂级数 $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n^{n/\lambda}} $$ 的收敛半径是无穷大,而且实际上存在 $A,B > 0$ 使得 $$ \left|\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n^{n/\lambda}}\right| \leq Ae^{B|z|^\lambda}. $$

   以 $d_1(n)$ 表示 $n$ 的非 1 因子个数.幂级数 $$ \sum_{n=1}^\infty d_1(n)z^n $$ 的系数涨落很没有规律:当 $n$ 为素数时 $d_1(n)=1$,而一般的正整数却可能有很多个因子.但显然 $1\leq d_1(n) < n$,因此 $$ \lim_{n\to\infty}d_1(n)^{1/n}=1, $$ 所以按照柯西—阿达玛公式,此幂级数的收敛半径是 1.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面

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