柯西—阿达玛公式

贡献者： DTSIo; addis

1. 表述与证明

　　¹柯西—阿达玛公式（Cauchy-Hadamard formula）是计算幂级数收敛半径的一般公式。

　　 证明并不困难。如果 $|z-a|>R$，那么可取 $\delta >0$ 如此之小，使得 $|z-a|>R(1+\delta )$，从而有 $$|c_n||z-a{|}^n>(|c_n{|}^{1/n}R(1+\delta ){)}^n.$$ 而按照上极限的定义，有无穷多个 $n$ 使得 $$|c_n{|}^{1/n}>\frac{1}{R(1+\delta )}.$$ 于是式 1 的一般项不趋于零，从而这级数不可能收敛。而如果 $|z-a|<R$，那么可取 $\delta >0$ 如此之小，使得 $|z-a|<R(1+2\delta {)}^{-1}$; 而按照上极限的定义，从某个 $n$ 开始总有 $|c_n{|}^{1/n}<(1+\delta )/R$，因此对于充分大的 $n$ 就有 $$|c_n||z-a{|}^n\le \frac{(1+\delta {)}^n}{(1+2\delta {)}^n}.$$ 从而幂级数的一般项由收敛的几何级数控制。

2. 应用举例

　　 对于幂级数 $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n,$$ 逐项微分和逐项积分的级数分别是 $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{c}_n(z-a{)}^{n-1},\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_n}{n+1}(z-a{)}^{n+1}.$$ 按照柯西—阿达玛公式，这两个幂级数的收敛半径都与原幂级数相同。因此逐项微分或逐项积分不改变幂级数的收敛半径。

　　 对于 $\lambda >0$，按照柯西—阿达玛公式，幂级数 $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n^{n/\lambda }}$$ 的收敛半径是无穷大，而且实际上存在 $A,B>0$ 使得 $$\left|\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n^{n/\lambda }}\right|\le A{e}^{B|z{|}^{\lambda }}.$$

　　 以 $d_1(n)$ 表示 $n$ 的非 1 因子个数。幂级数 $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{d}_1(n)z^n$$ 的系数涨落很没有规律：当 $n$ 为素数时 $d_1(n)=1$，而一般的正整数却可能有很多个因子。但显然 $1\le d_1(n)<n$，因此 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{d}_1(n{)}^{1/n}=1,$$ 所以按照柯西—阿达玛公式，此幂级数的收敛半径是 1。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。