柯西—阿达玛公式

                     

贡献者: DTSIo; addis

预备知识 幂级数

1. 表述与证明

  1柯西—阿达玛公式(Cauchy-Hadamard formula)是计算幂级数收敛半径的一般公式。

定理 1 柯西—阿达玛公式

   设有幂级数

\begin{equation} \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n~. \end{equation}
则幂级数的收敛半径 $R$ 由公式 $$ \frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}~. $$ 计算。

   证明并不困难。如果 $|z-a|>R$,那么可取 $\delta>0$ 如此之小,使得 $|z-a|>R(1+\delta)$,从而有 $$ |c_n||z-a|^n>(|c_n|^{1/n}R(1+\delta))^n~. $$ 而按照上极限的定义,有无穷多个 $n$ 使得 $$ |c_n|^{1/n}>\frac{1}{R(1+\delta)}~. $$ 于是式 1 的一般项不趋于零,从而这级数不可能收敛。而如果 $|z-a|< R$,那么可取 $\delta>0$ 如此之小,使得 $|z-a|< R(1+2\delta)^{-1}$; 而按照上极限的定义,从某个 $n$ 开始总有 $|c_n|^{1/n}<(1+\delta)/R$,因此对于充分大的 $n$ 就有 $$ |c_n||z-a|^n\leq\frac{(1+\delta)^n}{(1+2\delta)^n}~. $$ 从而幂级数的一般项由收敛的几何级数控制。

2. 应用举例

   对于幂级数 $$ \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n~, $$ 逐项微分和逐项积分的级数分别是 $$ \sum_{n=1}^\infty nc_n(z-a)^{n-1},\, \sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1}(z-a)^{n+1}~. $$ 按照柯西—阿达玛公式,这两个幂级数的收敛半径都与原幂级数相同。因此逐项微分或逐项积分不改变幂级数的收敛半径。

   对于 $\lambda>0$,按照柯西—阿达玛公式,幂级数 $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n^{n/\lambda}}~ $$ 的收敛半径是无穷大,而且实际上存在 $A,B>0$ 使得 $$ \left|\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n^{n/\lambda}}\right| \leq Ae^{B|z|^\lambda}~. $$

   以 $d_1(n)$ 表示 $n$ 的非 1 因子个数。幂级数 $$ \sum_{n=1}^\infty d_1(n)z^n~ $$ 的系数涨落很没有规律:当 $n$ 为素数时 $d_1(n)=1$,而一般的正整数却可能有很多个因子。但显然 $1\leq d_1(n)< n$,因此 $$ \lim_{n\to\infty}d_1(n)^{1/n}=1~, $$ 所以按照柯西—阿达玛公式,此幂级数的收敛半径是 1。


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利