柯西—阿达玛公式

贡献者： DTSIo; addis

1. 表述与证明

　　¹柯西—阿达玛公式（Cauchy-Hadamard formula）是计算幂级数收敛半径的一般公式。

　　 证明并不困难。如果 $|z-a|>R$，那么可取 $\delta>0$ 如此之小，使得 $|z-a|>R(1+\delta)$，从而有 $$ |c_n||z-a|^n>(|c_n|^{1/n}R(1+\delta))^n~. $$ 而按照上极限的定义，有无穷多个 $n$ 使得 $$ |c_n|^{1/n}>\frac{1}{R(1+\delta)}~. $$ 于是式 1 的一般项不趋于零，从而这级数不可能收敛。而如果 $|z-a|< R$，那么可取 $\delta>0$ 如此之小，使得 $|z-a|< R(1+2\delta)^{-1}$; 而按照上极限的定义，从某个 $n$ 开始总有 $|c_n|^{1/n}<(1+\delta)/R$，因此对于充分大的 $n$ 就有 $$ |c_n||z-a|^n\leq\frac{(1+\delta)^n}{(1+2\delta)^n}~. $$ 从而幂级数的一般项由收敛的几何级数控制。

2. 应用举例

　　 对于幂级数 $$ \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n~, $$ 逐项微分和逐项积分的级数分别是 $$ \sum_{n=1}^\infty nc_n(z-a)^{n-1},\, \sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n+1}(z-a)^{n+1}~. $$ 按照柯西—阿达玛公式，这两个幂级数的收敛半径都与原幂级数相同。因此逐项微分或逐项积分不改变幂级数的收敛半径。

　　 对于 $\lambda>0$，按照柯西—阿达玛公式，幂级数 $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n^{n/\lambda}}~ $$ 的收敛半径是无穷大，而且实际上存在 $A,B>0$ 使得 $$ \left|\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n^{n/\lambda}}\right| \leq Ae^{B|z|^\lambda}~. $$

　　 以 $d_1(n)$ 表示 $n$ 的非 1 因子个数。幂级数 $$ \sum_{n=1}^\infty d_1(n)z^n~ $$ 的系数涨落很没有规律：当 $n$ 为素数时 $d_1(n)=1$，而一般的正整数却可能有很多个因子。但显然 $1\leq d_1(n)< n$，因此 $$ \lim_{n\to\infty}d_1(n)^{1/n}=1~, $$ 所以按照柯西—阿达玛公式，此幂级数的收敛半径是 1。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。