前推

贡献者：叶月2_

预备知识 1　流形，光滑映射（流形），切向量场

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　　赋予流形以联络，便可以比较同一流形上不同点的切向量 “大小”。那对于不同流形，我们能否找到一个定义去联系同一点上的不同切空间呢？

1. 前推

定义 1　前推

　　设 $M, N$ 都是光滑流形。 $f, g \in C^{\infty} (N)$ 。对任意 $p \in M, F : M \to N$ 为光滑映射。定义 $F_{*} : T_{p} M \to T_{F (p) N}$ 为

\begin{matrix} (1) & (F_{*} X) (f) = X (f \circ F), \end{matrix}

称之为与

F

关联的前推（push-forward）。

　　可记忆前推是顺着光滑映射的方向对切向量进行转移，在 $M$ 上 $p$ 点的切空间与 $N$ 上 $F (p)$ 点的切空间建立关联。这样的定义是合理的， $F_{*} X$ 确实是一个切向量，满足导子的性质：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} (F_{*} X) (f g) & = X ((f g) \circ F) \\ = X (f \circ F) (g \circ F) \\ = (g \circ F) X (f \circ F (p)) + (f \circ F) X (g \circ F (p)) \\ = g (F) F_{*} X (f) + f (F) F_{*} X (g) . \end{aligned} \end{matrix}

易证前推具有如下性质：

引理 1　

　　令 $F : M \to N$ 与 $G : N \to P$ 都是光滑映射。且有 $p \in M$ 。那么我们有：

$F_{*} : T_{P} M \to T_{F (p)} N$ 是线性的。
$(G \circ F)_{*} = G_{*} \circ F_{*} : T_{p} M \to T_{G \circ F (p)} P$
$(I d_{M})_{*} = I d_{T_{p} M} : T_{p} M \to T_{p} M$
若 $F$ 是微分同胚，那么前推： $F_{*} : T_{p} M \to T_{F (p)} N$ 是同构映射。

2. 前推的应用

流形上的切空间

　　令 $(U, ϕ)$ 是 $M$ 上的光滑坐标卡，也就是说 $ϕ$ 是双向光滑的微分同胚映射。因此， $ϕ_{*} : T_{p} M \to T_{ϕ (p)} R^{n}$ 是同构映射。那么我们可以利用前推来定义该坐标卡上每一点切空间的 basis：

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial}{\partial x^{i}} |_{p} = ϕ_{*}^{- 1} (\frac{\partial}{\partial x^{i}}) |_{ϕ (p)} . \end{matrix}

　　设 ${\tilde{e_{i}}}$ 为 $U$ 上 $p$ 点的切空间基矢，对应 $ϕ (U)$ 上切空间的基矢 ${e_{i}}$ ，并设 $f \in C^{\infty} (U)$ ，那么我们有：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} {\tilde{e}}_{i} f = \frac{\partial}{\partial x^{i}} |_{p} f & = (\frac{\partial}{\partial x^{i}}) |_{ϕ (p)} (f \circ ϕ^{- 1}) \\ = e_{i} \hat{f} (\hat{p}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　可见，固定一个图，则流形上该点切空间的基矢定义与光滑函数的定义是自洽的。称 $\hat{f} = f \circ ϕ^{- 1}$ 为光滑函数 $f$ 的坐标表示， $\hat{p} = ϕ (p)$ 为 $p$ 点的坐标表示，一个函数在某个图光滑等价于在 “表示” 里光滑。

习题 1　

　　设 $U \subset R^{n}$ ，基矢组为 ${e_{i}}$ ，任意坐标表示为 $(x^{1}, x^{2} . . . x^{n})$ 。另有 $V \subset R^{m}$ ，基矢组为 ${θ_{i}}$ ，对应坐标表示 $(y^{1}, y^{2} . . . y^{m})$ 。设 $F : U \to V$ 是光滑映射， $f$ 是 $V$ 上的光滑函数。证明：

\begin{matrix} (5) & (F_{*} e_{i}) f = (\frac{\partial F^{j}}{\partial x^{i}} (p) θ_{j}) f . \end{matrix}

　　切空间是线性空间，因此可以通过过渡矩阵来进行坐标变换。那不同图上同一点的切空间是否也存在一个过渡矩阵，建立不同基矢组的联系？答案是肯定的。具体来说，设 $(U, ϕ), (V, ψ)$ 是 $M$ 上相容的图。 ${{\tilde{e}}_{i}}$ 与 ${{\tilde{θ}}_{i}}$ 分别是 $U$ 和 $V$ 上切空间的基矢，且图上的坐标分别为 $ϕ (p) = (x^{1}, x^{2} . . .), ψ (p) = (y^{1}, y^{2} . . . y^{n})$ 。则 $ϕ \circ ψ^{- 1} : ψ (U \cap V) \to ϕ (U \cap V)$ 是光滑的。又设该转移映射的坐标表示为

\begin{matrix} (6) & ϕ \circ ψ^{- 1} (y) = (x^{' 1}, x^{' 2} . . . x^{' n}), \end{matrix}

对于

p \in U \cap V

，我们有：

{\tilde{θ}}_{i} |_{p} = T_{i}^{j} {\tilde{e}}_{j} |_{p}

，

T_{i}^{j}

是光滑函数构成的过渡矩阵。该假设是合理的，切向量作为道路等价类，无论在什么图里，作用在光滑函数上都会得到相同的结果，即

X f = a^{i} {\tilde{e}}_{i} f = b^{i} {\tilde{θ}}_{i} f

。从特例如习题一来看，切空间基矢的前推有雅克比矩阵表示，矩阵元便是光滑函数。

　　两边作用在 $ϕ (p)$ 上，利用 $e_{i} x^{k} = δ_{i}^{k}$ ，计算分量得：

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} T_{i}^{j} e_{j} x^{k} & = θ_{i} (ϕ^{k} \circ ψ^{- 1} (y)) \\ T_{i}^{k} & = \frac{\partial x^{' k}}{\partial y^{i}} . \end{aligned} \end{matrix}

　　从推导中我们也可以看到，实际上 $e_{j}, x^{k}$ 都是包含转移函数的形式。设 $x^{'} = ϕ \circ ψ^{- 1}$ ，严谨的推导如下：

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} {\frac{\partial}{\partial y^{i}} |}_{p} & = {{(ψ^{- 1})}_{*} \frac{\partial}{\partial y^{i}} |}_{ψ (p)} \\ = {{(ϕ^{- 1})}_{*} {(ϕ \circ ψ^{- 1})}_{*} \frac{\partial}{\partial y^{i}} |}_{ψ (p)} \\ = {{(ϕ^{- 1})}_{*} \frac{\partial x^{' j}}{\partial y^{i}} (ψ (p)) \frac{\partial}{\partial x^{' j}} |}_{ϕ (p)} \\ = {\frac{\partial x^{' j}}{\partial y^{i}} (ψ (p)) {(ϕ^{- 1})}_{*} \frac{\partial}{\partial x^{' j}} |}_{ϕ (p)} \\ = {\frac{\partial x^{' j}}{\partial y^{i}} (\hat{p}) \frac{\partial}{\partial x^{' j}} |}_{p}, \end{aligned} . \end{matrix}

　　于是，我们得到了不同图之间基矢的 “联系”，类似多元函数微分学的结果，只不过雅克比矩阵的矩阵元为转移函数对变量的偏导数。回顾切向量的导子定义，我们可以得到同一切向量的坐标变换。若 $X = a^{i} {\tilde{e}}_{i} = b^{i} {\tilde{θ}}_{i}$ ，则有：

\begin{matrix} (9) & b^{i} = T_{j}^{i} a^{j}, \end{matrix}

其中

T_{j}^{i} = \frac{\partial y^{' i}}{\partial x^{j}} (ϕ (p)), y^{' i} = ψ \circ ϕ^{- 1}

。

道路上的切向量

　　设光滑道路 $γ (t) : [0, 1] \to M$ ，定义 $γ (t_{0})$ 处的切向量为导数的前推：

\begin{matrix} (10) & γ^{'} (t_{0}) = {γ_{*} \frac{d}{d t} |}_{t_{0}} . \end{matrix}

设

γ (t) = (γ^{1} (t), γ^{2} (t) . . . γ^{n} (t)) = (x^{1}, x^{2} . . . x^{n}), f \in C^{\infty} (M)

。由前推的定义及链式法则，可知道路上的切向量对光滑函数作用为：

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} γ^{'} (t_{0}) f & = \frac{d (f \circ γ)}{d t} \\ = γ^{i} (t_{0})^{'} \frac{\partial f}{\partial x^{i}} |_{γ (t_{0})} \end{aligned}, \end{matrix}

也就是说，

γ^{'} (t_{0}) = γ^{i} (t_{0})^{'} \frac{\partial}{\partial x^{i}} |_{γ (t_{0})}

，这确实是一个切向量。与欧几里得空间的意义相同，流形上道路某点处的切向量等于沿着该点切向求方向导数。

　　广义上来看，“前推” 可以概括顺着光滑映射方向的一切复合作用。例如，若 $γ : [0, 1] \to M$ ，则对于光滑映射 $F : M \to N$ ，复合映射： $F \circ γ : [0, 1] \to M \to N$ 可看作把 $M$ 上的光滑道路迁移到 $N$ 上，在这个过程中，每一点的切向量也在前推。

引理 2　

　　 $F, γ, M, N$ 的定义如上。 $N$ 上该复合道路的切向量为：

\begin{matrix} (12) & (F \circ γ)^{'} (t_{0}) = F_{*} γ (t_{0})^{'} . \end{matrix}

前推切向量场

　　定义光滑映射 $f : M \to N$ ， $X \in X (M), Y \in X (N)$ 。若对于任意 $p \in M$ ，有 $F_{*} X_{p} = Y_{F (p)}$ ，则称这两个场是“F 关联”的。我们可以用下述定理判断两个向量场是否关联:

定理 1　

　　 $X, Y, M, N$ 定义如上。 $X$ 与 $Y$ 是 F 关联的，当且仅当对于定义在 $N$ 上一开集的任意光滑函数 $f$ 有：

\begin{matrix} (13) & X (f \circ F) = (Y f) \circ F . \end{matrix}

　　 Proof.

　　先看左侧。对任意 $p \in M$ 有：

\begin{matrix} (14) & X (f \circ F) = (F_{*} X) f . \end{matrix}

　　对于右侧，由乘积映射的定义 8 ，我们有：

\begin{matrix} (15) & (Y f) \circ F = (Y \circ F (p)) (f (F (p))) = Y_{F (p)} f, \end{matrix}

得证。

　　如果不满足上述条件，两个流形上的切向量场未必存在 F 关联。有一种情况十分特殊，如果该光滑映射是微分同胚映射（即双向光滑双射，是流形意义上的同构），总存在这样的 F 关联，此时我们把 $Y$ 称为 $X$ 的前推。

定理 2　

　　设 $F : M \to N$ 是微分同胚。对于任意光滑切场 $X \in X (M)$ ，总存在 $N$ 上的一个光滑切场与之 F 关联。

　　 proof.

　　设 $q \in N$ ，定义 F 关联的 $Y$ 场为：

\begin{matrix} (16) & Y_{q} = F_{*} X_{F^{- 1} (q)} = F_{*} (X \circ F^{- 1} (q)), \end{matrix}

这样定义下的

F

必然存在且唯一。而且由于复合函数光滑，所以前推的切场也是光滑的。

向量场的协变导数

预备知识 2　仿射联络，协变导数

　　对于定义在整个流形的光滑切场，前推一般要求流形之间的映射是微分同胚。而如果只是前推沿着道路的切场，对映射的要求就能降低到具备光滑性即可。

　　具体来说，设 $f : M \to N$ 是光滑映射， $c (t) : [0, 1] \to M$ 是光滑道路。 $V$ 是 $M$ 上沿着该道路的任意切场： $V (t) = v^{i} (t) e_{i, c (t)}$ ，其中 ${e_{i, c (t)}}$ 为点 $c (t)$ 邻域上的一组基。为方便计，重新表示 $V (t) = v^{i} e_{i}$ 。则切场 $V (t)$ 沿着道路 $c (t)$ 的前推为沿着道路 $f \circ c (t)$ 的 $f_{*} V (t)$

\begin{matrix} (17) & f_{*} V (t) = v^{i} {\tilde{e}}_{i, f \circ c (t)}, \end{matrix}

其中

{\tilde{e}}_{i} = f_{*} e_{i}

，是

f \circ c (t)

邻域上的一组基。显然，该切场是沿着道路

f \circ c (t)

的。

　　设 $f : (M, \nabla) \to (N, \tilde{\nabla})$ 是保联络的微分同胚映射。 $c (t)$ 是 $M$ 上的光滑道路， $\frac{D}{d t}$ 和 $\frac{\tilde{D}}{d t}$ 分别是 $M$ 上沿 $c (t)$ 与 $N$ 上沿 $f \circ c (t)$ 的协变导数。如果 $V (t)$ 是 $M$ 上沿 $c$ 定义的光滑切向量场（每一点的切向量不一定是道路上该点的切向量）。那么我们有：

\begin{matrix} (18) & f_{*} (\frac{D V}{d t}) = \frac{\tilde{D} (f_{*} V)}{d t} . \end{matrix}

　　 proof.

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} \frac{D V}{d t} & = \frac{d v^{i}}{d t} e_{i} + v^{i} \nabla_{c^{'} (t)} e_{i} \\ f_{*} (\frac{D V}{d t}) & = \frac{d v^{i}}{d t} f_{*} (e_{i}) + v^{i} f_{*} (\nabla_{c^{'} (t)} e_{i}) \\ = \frac{d v^{i}}{d t} {\tilde{e}}_{i} + v^{i} {\tilde{\nabla}}_{(f \circ c)^{'} (t)} {\tilde{e}}_{i} \\ = \frac{\tilde{D} (f_{*} V)}{d t} . \end{aligned} \end{matrix}

习题 2　

　　测地线为 “加速度” 不变的道路，满足 $\frac{D c^{'} (t)}{d t} = 0$ 。证明当微分同胚映射 $f : M \to N$ 保联络，即满足 $F_{*} (\nabla_{X} Y) = {\tilde{\nabla}}_{f_{*} (X)} f_{*} (Y)$ 时，该同胚映射把测地线映射为测地线。

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前推

1. 前推

定义 1 前推

引理 1

2. 前推的应用

流形上的切空间

习题 1

道路上的切向量

引理 2

前推切向量场

定理 1

定理 2

向量场的协变导数

习题 2

定义 1　前推

引理 1　

习题 1　

引理 2　

定理 1　

定理 2　

习题 2　