光滑映射(流形)

             

预备知识 流形,光滑映射

1. 流形上的光滑映射

   我们已经熟悉了欧几里得空间中的光滑映射.由于流形是局部同胚于欧几里得空间的,因此我们可以方便地导出流形上光滑映射的概念.

定义 1 光滑映射

   给定两个流形间的映射 $f:M\to N$,如果对于任意点 $p\in M$,存在一个 $M$ 的图 $(U, \varphi)$ 和一个 $N$ 的图 $(V, \phi)$,使得 $p\in U$,$\varphi(U)\subseteq V$,且 $\phi\circ f\circ\varphi^{-1}$ 是一个欧几里得空间之间的光滑映射,那么称 $f$ 是流形间的光滑映射(smooth function)

   由于光滑流形定义中 “相容” 的要求,如果 $f$ 是流形间的光滑映射,那么它在任何图上导出的欧几里得空间之间的映射,都是光滑映射.

2. 微分

   给定两个流形间的光滑映射,也就给定了流形上的道路之间的映射.由于道路等同于切向量,我们还可以导出一个切空间之间的映射,这个映射就被称为微分

定义 2 微分

   对于两个流形 $M$ 和 $N$,给定它们之间的一个光滑映射 $f:M\to N$.对于 $p\in M$ 处出发的一条道路 $v:I\to M$,我们可以导出 $f(p)\in N$ 处出发的道路 $f\circ v:I\to N$.

   于是我们可以定义映射 $ \,\mathrm{d}{f} _p: T_pM\to T_{f(p)}N$,使得对于任意 $v\in T_pM$,有 $ \,\mathrm{d}{f} _p(v)=f\circ v$.称 $ \,\mathrm{d}{f} $ 为 $f$ 在点 $p$ 处的微分(differentiatial)1

   $ \,\mathrm{d}{f} _p$ 是切空间之间的线性映射,因此如果给定了 $p\in M$ 和 $f(p)\in N$ 的局部坐标系(图)以后,也就能顺便导出 $T_pM$ 和 $T_{f(p)}N$ 的坐标系,从而可以把 $ \,\mathrm{d}{f} _p$ 表示成一个矩阵——它就是 $f$ 的 Jacobi 矩阵.这也是为什么我们使用 “微分” 这个术语来称呼它.

   整个流形 $M$ 上所有点处的 $ \,\mathrm{d}{f} _p$ 可以简单表示为一个 $ \,\mathrm{d}{f} :TM\to TN$.这样,$ \,\mathrm{d}{f} _p$ 可以视为 $ \,\mathrm{d}{f} |_p$,即 $ \,\mathrm{d}{f} $ 在 $p$ 点处的限制.

   由于可以用矩阵来表示微分,自然就有了秩(rank)的概念,参见线性代数中 “矩阵的秩” 的定义.

定义 3 浸入

   给定流形间的光滑映射 $f:M\to N$.如果在任意点 $p\in M$ 处都有 $ \operatorname {rank} \,\mathrm{d}{f} _p= \operatorname {dim}T_pM$,则称 $f$ 为浸入(immersion)

定义 4 浸没

   给定流形间的光滑映射 $f:M\to N$.如果在任意点 $p\in M$ 处都有 $ \operatorname {rank} \,\mathrm{d}{f} _p= \operatorname {dim}T_pN$,则称 $f$ 为浸没(submersion)

   浸入映射的另一个等价定义是说,$ \,\mathrm{d}{f} $ 处处是单射;而浸没映射也可以定义为,$ \,\mathrm{d}{f} $ 处处是满射

   这两个术语的含义,通过以下例子可以直观感受到:

例 1 浸入与浸没

   考虑三维欧几里得空间中的两个子流形 $S^1=\{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2=1, z=0\}$ 和 $S^2=\{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3|x^2+y^2+z^2=1\}$.

   定义映射 $f:S^1\to S^2$ 为 $f(x, y, 0)=(x, y, 0)$,那么这是一个浸入

   定义映射 $g:S^2\to S^1$ 为 $f(x, y, z)=(x, y, 0)$,那么这是一个浸没


1. ^ 注意英文术语,不是数学分析中的 differentiation.

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