线性映射的核与象

                     

贡献者: 叶月2_

  • 本文处于草稿阶段。

   线性映射是线性空间之间的同态映射,因此我们可以研究其核与象。

定义 1 

   设 $V,W$ 为域 $\mathbb F$ 上的线性空间,$f:V\rightarrow W$ 为线性映射。

   记 $ker\,f=\{\boldsymbol x\in V|f(\boldsymbol x)=\boldsymbol 0\}$,称作线性映射 $f$ 的核(kernel)。记 $Im\,f=\{f(\boldsymbol x)|\boldsymbol x\in V\}$,称作线性映射 $f$ 的象(Image)

习题 1 

   $f,V,W$ 的定义同上。验证核与象分别是 $V$ 及 $W$ 的子空间。

   关于核与象,有两个好用的结论。

   在此只证明第一个结论。

   proof. 先验证充分条件。反证该映射并非单射,及至少存在两个向量映射到同一个向量,设为 $\boldsymbol{x,y}$,那么我们有

\begin{equation} f(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})=f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol y)=\boldsymbol 0~, \end{equation}
由于核只有向量 $0$,因此 $\boldsymbol {x}=\boldsymbol{y}$

   再验证必要条件。假设存在一个非 $0$ 向量映射到 $0$,即 $f(a^i\boldsymbol x_i)=0$,则 $-f(a^i\boldsymbol x_i)=f(-a^i\boldsymbol x_i)=0$,与假设矛盾,证毕。 可见,第一条结论能成立多亏了该同态映射是线性的,这也是线性空间的一个好处。

   线性空间的向量构成加法群,因而也有同态结构定理:

定理 1 

   设 $V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上的线性空间。$f:V\rightarrow W$ 为线性映射。则有:

\begin{equation} V/ker \,f\cong Im\,f~, \end{equation}

   Proof. 由于线性空间的同构只需要维度相同,所以我们只需要构建基之间的映射即可。

   设 $\{\boldsymbol e_i\}$ 为 $ker\,f$ 上的一组基,扩充为 $V$ 上全空间的基:$\{\boldsymbol e_i\}\cup \{\boldsymbol \theta_i\}$。由于核中元素都被映射为 0.只要证明象的维度与 $|\{\boldsymbol \theta_i\}|$ 一致即可。由于 $f(a^i\boldsymbol e_i+b^i\boldsymbol \theta_i)=b^if(\boldsymbol \theta_i)$,而 $f(\boldsymbol \theta_i)$ 是线性无关的,不然 $span\{\boldsymbol \theta_i\}$ 就会有 $ker\,f$ 的元素,与假设矛盾。证毕。 该证明同时也引出了以下定理:

引理 1 

   对于线性空间 $V$ 和其上的线性映射 $f$,我们有 $$\mathrm{dim}V=\mathrm{dim}\,ker\,f+\mathrm {dim}\,Im\,f~,$$

   利用该定理,我们可以证明一条关于秩的定理:

定理 2 

   给定两个 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$,若 $AB=0$,我们有

\begin{equation} rank\,A+rank\,B\le n~, \end{equation}

   proof.

   设 $A,B$ 对应线性空间 $V$ 的线性变换为 $f_A,f_B$,该定理又可理解为 $Im\,f_A+Im\,f_B\le n$。

   $AB=0$ 意味着 $Im\,f_B\le ker\,f_A$,由定理 2 得:$ker\,f_A=n-Im\,f_A$,移项证毕。


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