矩阵与映射

                     

贡献者： 叶月2_

　　 注：为方便计，本篇采取爱因斯坦求和约定。即 $a^i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i=a^1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1+a^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2+...$

1. 线性映射及其矩阵表示

　　 $V$ 和 $W$ 是域 $\mathbb F$ 上的两个线性空间。若映射 $f:V\rightarrow W$ 保加法和数乘运算（即 “线性”），即对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V,,a,b\in\mathbb F$ 有：

则称 $f$ 是线性映射（linear map），以 $\mathcal L(V,W)$ 表示所有 $V\rightarrow W$ 上的线性映射。可以验证，该集合是一个线性空间。一般称 $f\in \mathcal L(V,V)$ 为为线性变换（linear transformation），全体可逆线性变换用 $GL(V)$ 表示。

　　 由于矩阵对向量作用，也是保线性运算不变的，因此矩阵和映射之间可以一一对应起来。矩阵的乘法就是映射的复合。 具体怎么对应呢，设 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 为 $V$ 上的一组基，$f\in\mathcal L(V,W)$，其矩阵表示为 $M$¹。对于任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in V$ 有：

因此，矩阵的第 $i$ 列是 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)$。选定 $W$ 的一组基，那么 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)$ 总可以表示为 $W$ 里基向量的线性组合。

2. 矩阵的坐标变换

　　 在矩阵论里，我们已经学过用相似变换得到线性变换在不同基下的表示。现在用矩阵表示不同线性空间之间的线性映射，我们依然可以得到矩阵在不同基下的表示。

　　 设 $V,W$ 的旧基分别为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\},\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}$；新基分别为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\},\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _i\}$；$f:V\rightarrow W$ 在旧基下的表示为 $M$，在新基下的表示为 $N$；从 $V$ 的旧基到其新基的过渡矩阵为 $Q$，$W$ 的则为 $S$。现在推导 $M,N$ 的联系。

　　 对于任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =b^i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\in V$，我们有：

由于对于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i$ 有：$ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i=Q_i^q \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$，代入第一行，则得： $b^i\theta_a$ 前的系数必相等，综合式 5 得： 即 $N=S^{-1}MQ$。

3. 线性映射的核与象

　　 关于核与象，有两个好用的结论。

• 核 $ \operatorname {ker}f=\{\boldsymbol 0\}\Longleftrightarrow f$ 是单射。
• 若象 $ \operatorname {Im}f=W\Longleftrightarrow f$ 是满射

　　 在此只证明第一个结论。

　　 proof.

　　 先验证充分条件。反证该映射并非单射，及至少存在两个向量映射到同一个向量，设为 $\boldsymbol{x,y}$，那么我们有

由于核只有向量 $0$，因此 $\boldsymbol {x}=\boldsymbol{y}$

　　 再验证必要条件。假设存在一个非 $0$ 向量映射到 $0$，即 $f(a^i\boldsymbol x_i)=0$，则 $-f(a^i\boldsymbol x_i)=f(-a^i\boldsymbol x_i)=0$，与假设矛盾，证毕。 可见，第一条结论能成立多亏了该同态映射是线性的，这也是线性空间的一个好处。

　　 线性空间的向量构成加法群，因而也有同态定理：

　　 Proof.

　　 由于有限维线性空间的同构只需要维度相同，所以我们只需要构建基之间的映射即可。

　　 设 $\{\boldsymbol e_i\}$ 为 $ \operatorname {ker}f$ 上的一组基，扩充为 $V$ 上全空间的基：$\{\boldsymbol e_i\}\cup \{\boldsymbol \theta_i\}$。由于核中元素都被映射为 0.只要证明象的维度与 $|\{\boldsymbol \theta_i\}|$ 一致即可。由于 $f(a^i\boldsymbol e_i+b^i\boldsymbol \theta_i)=b^if(\boldsymbol \theta_i)$,而 $f(\boldsymbol \theta_i)$ 是线性无关的，不然 $ \operatorname {span}\{\boldsymbol \theta_i\}$ 就会有 $ \operatorname {ker}f$ 的元素，与假设矛盾。证毕。 该证明同时也引出了以下定理：

　　 利用该定理，我们可以证明一条关于秩的定理：

　　 proof.

　　 设 $A,B$ 对应线性空间 $V$ 的线性变换为 $f_A,f_B$，该定理又可理解为 $ \operatorname {Im}f_A+ \operatorname {Im}f_B\le n$。

　　 $AB=0$ 意味着 $ \operatorname {Im}f_B\le \operatorname {ker}f_A$，由定理 2 得：$ \operatorname {ker}f_A=n- \operatorname {Im}f_A$，移项证毕。

4. 矩阵的秩

　　 由前文知，若 $f$ 是一个把 $n$ 维向量映射到 $m$ 维向量的线性映射，那么该线性映射可以表示为一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。由于象的维度=矩阵的列秩=行秩，因此线性映射的性质与矩阵的行向量组、列向量组的秩紧密关联。

　　 proof.

　　 设 $ \operatorname {dim}V=n, \operatorname {dim}W=m$，${ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i}$ 为 $V$ 的一组基，任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in V$，则：

　　 $f$ 是单射 $\Leftrightarrow \operatorname {ker}f=0\Leftrightarrow a^if( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)= \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 只有零解 $\Leftrightarrow a^i=0$，得证。

　　 $f$ 是单射 $\Leftrightarrow \operatorname {dim} \operatorname {Im}f=m\Leftrightarrow$ 行秩为 $m$，得证。

　　 结合上述两点可证第三点。

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1. ^ $m^i_j$ 表示第 $i$ 行 $j$ 列的矩阵元