矩阵与映射

贡献者：叶月2_

　　注：为方便计，本篇采取爱因斯坦求和约定。即 $a^{i} x_{i} = a^{1} x_{1} + a^{2} x_{2} + . . .$

1. 线性映射及其矩阵表示

　　 $V$ 和 $W$ 是域 $F$ 上的两个线性空间。若映射 $f : V \to W$ 保加法和数乘运算（即 “线性”），即对于任意 $x, y \in V,, a, b \in F$ 有：

\begin{matrix} (1) & f (a x + b y) = a f (x) + b f (y), \end{matrix}

则称

f

是线性映射（linear map），以

L (V, W)

表示所有

V \to W

上的线性映射。可以验证，该集合是一个线性空间。一般称

f \in L (V, V)

为为线性变换（linear transformation），全体可逆线性变换用

G L (V)

表示。

　　由于矩阵对向量作用，也是保线性运算不变的，因此矩阵和映射之间可以一一对应起来。矩阵的乘法就是映射的复合。具体怎么对应呢，设 ${e_{i}}$ 为 $V$ 上的一组基， $f \in L (V, W)$ ，其矩阵表示为 $M$ ¹。对于任意向量 $x = a^{i} e_{i} \in V$ 有：

\begin{matrix} (2) & f (a^{i} e_{i}) = a^{i} f (e_{i}) = m_{i}^{j} a^{i} . \end{matrix}

因此，矩阵的第

i

列是

f (e_{i})

。选定

W

的一组基，那么

f (e_{i})

总可以表示为

W

里基向量的线性组合。

例 1　

　　 ${x_{1}, x_{2}}$ 是 $V$ 上的一组基， ${y_{1}, y_{2}, y_{3}}$ 为 $W$ 上的一组基。线性映射 $f : V \to W$ 对基向量的作用为： $f (x_{1}) = 2 y_{2} + y_{3}, f (x_{2}) = 2 y_{1} - 3 y_{3}$ ，则有

\begin{matrix} (3) & f (2 x_{1} - x_{2}) = - 2 y_{1} + 4 y_{2} + 5 y_{3}, \end{matrix}

其矩阵表示为

\begin{matrix} (4) & (\begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \\ 1 & - 3 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 & - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) . \end{matrix}

2. 矩阵的坐标变换

　　在矩阵论里，我们已经学过用相似变换得到线性变换在不同基下的表示。现在用矩阵表示不同线性空间之间的线性映射，我们依然可以得到矩阵在不同基下的表示。

　　设 $V, W$ 的旧基分别为 ${e_{i}}, {θ_{i}}$ ；新基分别为 ${x_{i}}, {y_{i}}$ ； $f : V \to W$ 在旧基下的表示为 $M$ ，在新基下的表示为 $N$ ；从 $V$ 的旧基到其新基的过渡矩阵为 $Q$ ， $W$ 的则为 $S$ 。现在推导 $M, N$ 的联系。

　　对于任意向量 $v = b^{i} x_{i} \in V$ ，我们有：

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} f (b^{i} x_{i}) & = b^{i} f (x_{i}) \\ = b^{i} N_{i}^{j} y_{j} \\ = b^{i} N_{i}^{j} S_{j}^{a} θ_{a}, \end{aligned} \end{matrix}

由于对于

x_{i}

有：

x_{i} = Q_{i}^{q} e_{i}

，代入第一行，则得：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} b^{i} f (x_{i}) & = b^{i} f (Q_{i}^{q} e_{q}) \\ = Q_{i}^{q} b^{i} f (e_{q}) \\ = Q_{i}^{q} b^{i} M_{q}^{a} θ_{a} . \end{aligned} \end{matrix}

b^{i} θ_{a}

前的系数必相等，综合式 5 得：

\begin{matrix} (7) & S N = M Q, \end{matrix}

即

N = S^{- 1} M Q

。

3. 线性映射的核与象

定义 1　

　　设 $V, W$ 为域 $F$ 上的线性空间， $f : V \to W$ 为线性映射。

　　记 $\ker f = {x \in V | f (x) = 0}$ ，称作线性映射 $f$ 的核（kernel）。记 $Im f = {f (x) | x \in V}$ ，称作线性映射 $f$ 的象（image）

习题 1　

　　 $f, V, W$ 的定义同上。验证核与象分别是 $V$ 及 $W$ 的子空间。

　　关于核与象，有两个好用的结论。

核 $\ker f = {0} ⟺ f$ 是单射。
若象 $Im f = W ⟺ f$ 是满射

　　在此只证明第一个结论。

　　 proof.

　　先验证充分条件。反证该映射并非单射，及至少存在两个向量映射到同一个向量，设为 $x, y$ ，那么我们有

\begin{matrix} (8) & f (x - y) = f (x) - f (y) = 0, \end{matrix}

由于核只有向量

0

，因此

x = y

　　再验证必要条件。假设存在一个非 $0$ 向量映射到 $0$ ，即 $f (a^{i} x_{i}) = 0$ ，则 $- f (a^{i} x_{i}) = f (- a^{i} x_{i}) = 0$ ，与假设矛盾，证毕。可见，第一条结论能成立多亏了该同态映射是线性的，这也是线性空间的一个好处。

　　线性空间的向量构成加法群，因而也有同态定理：

定理 1　

　　设 $V, W$ 是域 $F$ 上的有限维线性空间。 $f : V \to W$ 为线性映射。则有：

\begin{matrix} (9) & V / \ker f ≅ Im f, \end{matrix}

　　 Proof.

　　由于有限维线性空间的同构只需要维度相同，所以我们只需要构建基之间的映射即可。

　　设 ${e_{i}}$ 为 $\ker f$ 上的一组基，扩充为 $V$ 上全空间的基： ${e_{i}} \cup {θ_{i}}$ 。由于核中元素都被映射为 0.只要证明象的维度与 $| {θ_{i}} |$ 一致即可。由于 $f (a^{i} e_{i} + b^{i} θ_{i}) = b^{i} f (θ_{i})$ ,而 $f (θ_{i})$ 是线性无关的，不然 $span {θ_{i}}$ 就会有 $\ker f$ 的元素，与假设矛盾。证毕。该证明同时也引出了以下定理：

引理 1　

　　对于线性空间 $V$ 和其上的线性映射 $f$ ,我们有

\begin{matrix} (10) & \dim V = \dim \ker f + \dim Im f, \end{matrix}

　　利用该定理，我们可以证明一条关于秩的定理：

定理 2　

　　给定两个 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ ，若 $A B = 0$ ，我们有

\begin{matrix} (11) & r a n k A + r a n k B \leq n, \end{matrix}

　　 proof.

　　设 $A, B$ 对应线性空间 $V$ 的线性变换为 $f_{A}, f_{B}$ ，该定理又可理解为 $Im f_{A} + Im f_{B} \leq n$ 。

　　 $A B = 0$ 意味着 $Im f_{B} \leq \ker f_{A}$ ，由定理 2 得： $\ker f_{A} = n - Im f_{A}$ ，移项证毕。

4. 矩阵的秩

　　由前文知，若 $f$ 是一个把 $n$ 维向量映射到 $m$ 维向量的线性映射，那么该线性映射可以表示为一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。由于象的维度=矩阵的列秩=行秩，因此线性映射的性质与矩阵的行向量组、列向量组的秩紧密关联。

定理 3　

　　 $f : V \to W$ ，对应 $x \to A x$ 。则：

$f$ 是单射 $\Leftrightarrow A$ 的列向量组线性无关。
$f$ 是满射 $\Leftrightarrow A$ 的行向量组线性无关。
$f$ 是双射 $\Leftrightarrow A$ 是可逆矩阵。

　　 proof.

　　设 $\dim V = n, \dim W = m$ ， $e_{i}$ 为 $V$ 的一组基，任意向量 $x = a^{i} e_{i} \in V$ ，则：

　　 $f$ 是单射 $\Leftrightarrow \ker f = 0 \Leftrightarrow a^{i} f (e_{i}) = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow a^{i} = 0$ ，得证。

　　 $f$ 是单射 $\Leftrightarrow \dim Im f = m \Leftrightarrow$ 行秩为 $m$ ，得证。

　　结合上述两点可证第三点。

1. ^ $m_{j}^{i}$ 表示第 $i$ 行 $j$ 列的矩阵元

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