矩阵与映射

                     

贡献者: 叶月2_

   注:为方便计,本篇采取爱因斯坦求和约定。即 $a^i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i=a^1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1+a^2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2+...$

1. 线性映射及其矩阵表示

   $V$ 和 $W$ 是域 $\mathbb F$ 上的两个线性空间。若映射 $f:V\rightarrow W$ 保加法和数乘运算(即 “线性”),即对于任意 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V,,a,b\in\mathbb F$ 有:

\begin{equation} f(a \boldsymbol{\mathbf{x}} +b \boldsymbol{\mathbf{y}} )=af( \boldsymbol{\mathbf{x}} )+bf( \boldsymbol{\mathbf{y}} ) ~,\end{equation}
则称 $f$ 是线性映射(linear map),以 $\mathcal L(V,W)$ 表示所有 $V\rightarrow W$ 上的线性映射。可以验证,该集合是一个线性空间。一般称 $f\in \mathcal L(V,V)$ 为为线性变换(linear transformation),全体可逆线性变换用 $GL(V)$ 表示。

   由于矩阵对向量作用,也是保线性运算不变的,因此矩阵和映射之间可以一一对应起来。矩阵的乘法就是映射的复合。 具体怎么对应呢,设 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\}$ 为 $V$ 上的一组基,$f\in\mathcal L(V,W)$,其矩阵表示为 $M$1。对于任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in V$ 有:

\begin{equation} f(a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=a^if( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=m^j_i a^i~. \end{equation}
因此,矩阵的第 $i$ 列是 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)$。选定 $W$ 的一组基,那么 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)$ 总可以表示为 $W$ 里基向量的线性组合。

例 1 

   $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _1, \boldsymbol{\mathbf{x}} _2\}$ 是 $V$ 上的一组基,$\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _1, \boldsymbol{\mathbf{y}} _2, \boldsymbol{\mathbf{y}} _3\}$ 为 $W$ 上的一组基。线性映射 $f:V\rightarrow W$ 对基向量的作用为:$f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _1)=2 \boldsymbol{\mathbf{y}} _2+ \boldsymbol{\mathbf{y}} _3\,,f( \boldsymbol{\mathbf{x}} _2)=2 \boldsymbol{\mathbf{y}} _1-3 \boldsymbol{\mathbf{y}} _3$,则有

\begin{equation} f(2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1- \boldsymbol{\mathbf{x}} _2)=-2 \boldsymbol{\mathbf{y}} _1+4 \boldsymbol{\mathbf{y}} _2+5 \boldsymbol{\mathbf{y}} _3~, \end{equation}
其矩阵表示为
\begin{equation} \begin{pmatrix} 0& 2\\ 2& 0\\ 1 &-3 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2 &-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 4\\ 5 \end{pmatrix}~. \end{equation}

2. 矩阵的坐标变换

   在矩阵论里,我们已经学过用相似变换得到线性变换在不同基下的表示。现在用矩阵表示不同线性空间之间的线性映射,我们依然可以得到矩阵在不同基下的表示。

   设 $V,W$ 的旧基分别为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\},\{ \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _i\}$;新基分别为 $\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\},\{ \boldsymbol{\mathbf{y}} _i\}$;$f:V\rightarrow W$ 在旧基下的表示为 $M$,在新基下的表示为 $N$;从 $V$ 的旧基到其新基的过渡矩阵为 $Q$,$W$ 的则为 $S$。现在推导 $M,N$ 的联系。

   对于任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =b^i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i\in V$,我们有:

\begin{equation} \begin{aligned} f(b^i \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)&=b^if( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)\\ &=b^iN^j_i \boldsymbol{\mathbf{y}} _j\\ &=b^iN^j_iS^a_j \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _a~, \end{aligned} \end{equation}
由于对于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i$ 有:$ \boldsymbol{\mathbf{x}} _i=Q_i^q \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$,代入第一行,则得:
\begin{equation} \begin{aligned} b^if( \boldsymbol{\mathbf{x}} _i)&=b^if(Q_i^q \boldsymbol{\mathbf{e}} _q)\\ &=Q_i^qb^if( \boldsymbol{\mathbf{e}} _q)\\ &=Q_i^qb^iM^a_q \boldsymbol{\mathbf{\theta}} _a~. \end{aligned} \end{equation}
$b^i\theta_a$ 前的系数必相等,综合式 5 得:
\begin{equation} SN=MQ~, \end{equation}
即 $N=S^{-1}MQ$。

3. 线性映射的核与象

定义 1 

   设 $V,W$ 为域 $\mathbb F$ 上的线性空间,$f:V\rightarrow W$ 为线性映射。

   记 $ \operatorname {ker}f=\{\boldsymbol x\in V|f(\boldsymbol x)=\boldsymbol 0\}$,称作线性映射 $f$ 的核(kernel)。记 $ \operatorname {Im}f=\{f(\boldsymbol x)|\boldsymbol x\in V\}$,称作线性映射 $f$ 的象(image)

习题 1 

   $f,V,W$ 的定义同上。验证核与象分别是 $V$ 及 $W$ 的子空间。

   关于核与象,有两个好用的结论。

   在此只证明第一个结论。

   proof.

   先验证充分条件。反证该映射并非单射,及至少存在两个向量映射到同一个向量,设为 $\boldsymbol{x,y}$,那么我们有

\begin{equation} f(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})=f(\boldsymbol x)-f(\boldsymbol y)=\boldsymbol 0~, \end{equation}
由于核只有向量 $0$,因此 $\boldsymbol {x}=\boldsymbol{y}$

   再验证必要条件。假设存在一个非 $0$ 向量映射到 $0$,即 $f(a^i\boldsymbol x_i)=0$,则 $-f(a^i\boldsymbol x_i)=f(-a^i\boldsymbol x_i)=0$,与假设矛盾,证毕。 可见,第一条结论能成立多亏了该同态映射是线性的,这也是线性空间的一个好处。

   线性空间的向量构成加法群,因而也有同态定理:

定理 1 

   设 $V,W$ 是域 $\mathbb F$ 上的有限维线性空间。$f:V\rightarrow W$ 为线性映射。则有:

\begin{equation} V/ \operatorname {ker}f\cong \operatorname {Im} f~, \end{equation}

   Proof.

   由于有限维线性空间的同构只需要维度相同,所以我们只需要构建基之间的映射即可。

   设 $\{\boldsymbol e_i\}$ 为 $ \operatorname {ker}f$ 上的一组基,扩充为 $V$ 上全空间的基:$\{\boldsymbol e_i\}\cup \{\boldsymbol \theta_i\}$。由于核中元素都被映射为 0.只要证明象的维度与 $|\{\boldsymbol \theta_i\}|$ 一致即可。由于 $f(a^i\boldsymbol e_i+b^i\boldsymbol \theta_i)=b^if(\boldsymbol \theta_i)$,而 $f(\boldsymbol \theta_i)$ 是线性无关的,不然 $ \operatorname {span}\{\boldsymbol \theta_i\}$ 就会有 $ \operatorname {ker}f$ 的元素,与假设矛盾。证毕。 该证明同时也引出了以下定理:

引理 1 

   对于线性空间 $V$ 和其上的线性映射 $f$,我们有

\begin{equation} \mathrm{dim}V=\mathrm{dim}\, \operatorname {ker}f+\mathrm {dim}\, \operatorname {Im}f~, \end{equation}

   利用该定理,我们可以证明一条关于秩的定理:

定理 2 

   给定两个 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$,若 $AB=0$,我们有

\begin{equation} rank\,A+rank\,B\le n~, \end{equation}

   proof.

   设 $A,B$ 对应线性空间 $V$ 的线性变换为 $f_A,f_B$,该定理又可理解为 $ \operatorname {Im}f_A+ \operatorname {Im}f_B\le n$。

   $AB=0$ 意味着 $ \operatorname {Im}f_B\le \operatorname {ker}f_A$,由定理 2 得:$ \operatorname {ker}f_A=n- \operatorname {Im}f_A$,移项证毕。

4. 矩阵的秩

   由前文知,若 $f$ 是一个把 $n$ 维向量映射到 $m$ 维向量的线性映射,那么该线性映射可以表示为一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵。由于象的维度=矩阵的列秩=行秩,因此线性映射的性质与矩阵的行向量组、列向量组的秩紧密关联。

定理 3 

   $f:V\rightarrow W$,对应 $x\rightarrow Ax$。则:

  • $f$ 是单射 $\Leftrightarrow\,A$ 的列向量组线性无关。
  • $f$ 是满射 $\Leftrightarrow\,A$ 的行向量组线性无关。
  • $f$ 是双射 $\Leftrightarrow\,A$ 是可逆矩阵。

   proof.

   设 $ \operatorname {dim}V=n, \operatorname {dim}W=m$,${ \boldsymbol{\mathbf{e}} _i}$ 为 $V$ 的一组基,任意向量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} =a^i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i\in V$,则:

   $f$ 是单射 $\Leftrightarrow \operatorname {ker}f=0\Leftrightarrow a^if( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)= \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 只有零解 $\Leftrightarrow a^i=0$,得证。

   $f$ 是单射 $\Leftrightarrow \operatorname {dim} \operatorname {Im}f=m\Leftrightarrow$ 行秩为 $m$,得证。

   结合上述两点可证第三点。


1. ^ $m^i_j$ 表示第 $i$ 行 $j$ 列的矩阵元


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