贡献者： _Eden_
我们先列举几个函数极限的基本性质，由于它们的几何直观非常明显，这里不予证明。读者可以根据函数极限的定义尝试进行证明，练习用 $\epsilon$-$\delta$ 语言证明函数极限的性质。
定理 1 函数极限的唯一性
若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在，则在 $x_0$ 处极限唯一。
定理 2 局部保序性
设函数 $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在，若 $f(x)\le g(x)$ 对任意的 $x\in U_0(x_0,\delta_0)$ 成立，那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)\le \lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)$。
定理 3 局部保号性
设函数 $f(x)$，若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A>0$，那么存在 $x_0$ 的一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$，满足对任意 $x\in U_0(x_0,\delta)$，都有 $f(x)>0$。
定理 4 局部有界性
设函数 $f(x)$，$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在（不为无穷大量），那么存在 $x_0$ 的一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$，满足存在 $M>0$，对任意 $x\in U_0(x_0,\delta)$，都有 $|f(x)|< M$，即 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta)$ 上有界。
1. 函数极限的四则运算
设函数 $f(x),g(x)$，分别对于六种自变量的变化情况
\begin{equation}
x\rightarrow x_0;\ x\rightarrow x_0^+;\ x\rightarrow x_0^{-};\ x\rightarrow \infty;\ x\rightarrow +\infty;\ x\rightarrow -\infty~.
\end{equation}
若 $f(x)\rightarrow A,\ g(x)\rightarrow B$，那么可以证明
\begin{equation}
\begin{aligned}
&h_1(x)=f(x)+g(x)\rightarrow A+B~,\\
&h_2(x)=f(x)-g(x)\rightarrow A-B~,\\
&h_3(x)=f(x)\cdot g(x)\rightarrow A\cdot B\ (A\neq 0,B\neq 0)~,\\
&h_4(x)=f(x)/ g(x)\rightarrow A/B\ (B\neq 0)~.
\end{aligned}
\end{equation}
若广义极限 $A,B$ 为无穷大量，则可以规定一些特殊的四则运算，例如 $(+\infty)+(+\infty)=+\infty,\
(+\infty)\cdot (+\infty)=+\infty$ 等等。
习题 1
- 设函数 $f(x)$，若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$，证明：对于任意 $r< A$，存在 $x_0$ 的一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$，满足对任意的 $x\in U_0(x_0,\delta)$，都有 $f(x)>r$。（特别地，当 $r=0$ 时为局部保号性）
- 求 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(x^2+1)/(1-2x^2)$。
- 设函数 $f(x),g(x)$，若 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限为 $0$，而 $h(x)=f(x)/g(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限为 $1$，证明 $g(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限存在且也为 $0$。
2. 函数极限与序列极限的相似性
类似于序列极限，函数极限也有夹逼收敛原理：
定理 5 夹逼收敛原理
设函数 $f(x),h(x),g(x)$，
若 $f(x)\le h(x)\le g(x),\ \forall x\in U_0(x_0,\delta_0)$，且 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=A$，那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)=A$。
夹逼收敛定理可以根据函数极限的定义证明，读者可以尝试用 $\epsilon$-$\delta$ 语言进行叙述。
回顾函数极限的定义：设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内有定义。函数极限存在的定义是：存在 $A$，使得对任意 $\epsilon >0$, 存在 $\delta>0$，当 $x\in U_0(x_0,\delta)$ 时有 $|f(x)-A|<\epsilon$。函数极限不存在的定义：对任意 $A$，都存在 $\epsilon>0$，使得对任意 $\delta>0$，都存在 $x\in U_0(x_0,\delta)$ 满足 $|f(x)-A|\ge \epsilon$。
从定义上看，函数极限与序列极限存在某种联系，它们都有 “对任意……存在……当……满足” 这样的句式。两者的联系由以下的定理体现：
定理 6
设 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)(\delta_0>0)$ 上有定义，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 成立的充要条件是：对于 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内任意收敛于 $x_0$ 的序列 $\{x_n\}$，都有 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=A$。
对于左右极限以及自变量趋向于无穷大的极限，也有类似的定理。
对于有特殊性质的函数，例如在 $x_0$ 的右去心邻域上单调递增，就容易猜测它在 $x_0$ 处的右极限（排除负无穷的情况）为这个右去心邻域上函数值的下确界。于是我们有以下定理：
定理 7
设 $f(x)$ 在 $U_0^+(x_0,\delta_0)(\delta_0>0)$ 上有定义，若 $f(x)$ 在 $U_0^+(x_0,\delta_0)$ 上单调递增，则
\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\inf\{f(x):x\in U_0^+(x_0,\delta_0)\}~.
\end{equation}
上式等号右边
下确界不存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右极限为 $-\infty$。
若 $f(x)$ 在 $U_0^+(x_0,\delta_0)$ 上单调递减，则
\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\sup\{f(x):x\in U_0^+(x_0,\delta_0)\}~.
\end{equation}
上式等号右边
上确界不存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右极限为 $+\infty$。
对于左极限与左去心邻域也有类似的定理。对广义极限该定理也成立。
序列收敛的判定定理有柯西收敛准则；而对于函数极限，也可以类似地写出这样的定理。
定理 8
设 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内有定义，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在的充要条件是：$\forall \epsilon>0,\exists\delta>0$，当 $x',x''\in U_0(x_0,\delta)$ 时，有 $|f(x')-f(x'')|<\epsilon$。
对于左极限与右极限，也有类似的定理。
习题 2
- 证明极限 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x-1}{x+1}\cos 2\pi x$ 不存在。
- $f(x)= \sin\left(1/x\right) $，证明 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限不存在，在 $x_0\neq 0$ 处极限存在。
- 构造函数 $f(x)$，满足定义域为 $\mathbb{R}$，在 $x_0=0$ 处极限存在，而在 $x_0\neq 0$ 处极限不存在。
- 函数 $f(x)$ 在 $U(a,\delta_0)$ 上有定义，序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，则什么情况下 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(a)$ 成立？
3. 复合函数的极限（初步思考与探索）
习题 3
思考：函数 $f(x)$ 在 $U(a,\delta_0)$ 上有定义，序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，则什么情况下 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(a)$ 成立？
设 $f(x)=1/x,\ g(x)=x^2$
容易证明 $\lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x)=1/4,\lim\limits_{x\rightarrow 2}g(x)=4$。
那么是否 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\rightarrow 2}g(x))=f(4)=1/4$ 呢？经验证是成立的。
我们自然地就想到，是否对于任何函数 $f(x),g(x)$，都满足 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x))$。然而答案是否定的。这种复合函数的极限运算需要满足一些限制条件。
习题 4
$f(x)=[x],g(x)=1-x^2$，判断 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(g(x)) $ 与 $f(\lim\limits_{x\rightarrow 0}g(x))$ 是否相等。
具体地，我们有以下定理：
定理 9 复合函数的极限
定理：$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0$，$\lim\limits_{u\rightarrow u_0}f(u)=L$，并且存在 $x_0$ 一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$，使得对任意 $x\in U_0(x_0,\delta)$，有 $g(x)\neq u_0$。那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=\lim\limits_{u\rightarrow u_0}f(u)=L$。
4. 几个重要极限
习题 5
证明 $\lim\limits_{x\rightarrow a}\cos x=\cos a$，$\lim\limits_{x\rightarrow a}\sin x=\sin a$。（如果你学了函数的连续性，那么这个命题说的就是 $\sin x,\cos x$ 是连续函数。但为了严谨地说明这件事，我们不得不回归函数极限的定义。）
第一个重要极限：
\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1~.
\end{equation}
提示：先证不等式 $\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$，用夹逼收敛原理。
第二个重要极限：
\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x} \right) ^x=e~.
\end{equation}
提示：利用序列极限的结果式 4 和夹逼收敛原理。
利用以上两个结果，我们可以求更复杂的极限，例如：
\begin{equation}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ \sin\left(\sin x\right) }{x},\ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-2x)^{\frac{1}{x}}~.
\end{equation}
伍胜健《数学分析》上的证明利用了换元的操作：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ \sin\left(\sin x\right) }{x}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ \sin\left(\sin x\right) }{\sin x}\cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\\
&=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{\sin y}{y}\cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1~,\\
\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-2x)^{\frac{1}{x}}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(1-\frac{1}{1/2x} \right) ^{(-1/2x)\cdot (-2)}\\&= \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(1-\frac{1}{1/2x} \right) ^{(-1/2x)} \right) ^{-2}
\\&=\left(\lim\limits_{y\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{y} \right) ^{y}\right)^{-2}=e^{-2}~.
\end{aligned}
\end{equation}
上面的证明中，有将 $\sin x$ 替换为了 $y$，再对 $y\rightarrow 0$ 取函数极限；有将 $1/2x$ 替换为 $y$，再对 $y\rightarrow \infty$ 取函数极限。我们称这种方法为
换元。然而为什么能够换元呢？
这本质上是利用了复合函数的极限的性质定理 9 。
5. 函数的上下极限
可以模仿序列的上下极限给出函数上下极限的定义：
设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 处有定义。对任意 $0<\delta<\delta_0$，设
$$
l(\delta)=\inf\{f(x):x\in U_0(x_0,\delta)\}~,\\
h(\delta)=\sup\{f(x):x\in U_0(x_0,\delta)\}~,
$$
那么令 $l=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0}l(\delta), h=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0}h(\delta)$，
称 $l$ 为下极限 $ \operatorname {\underline\lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$，$h$ 为上极限 $ \operatorname {\overline\lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$。
可以证明 $l=\sup\{l(\delta):0<\delta<\delta_0\},h=\inf\{h(\delta):0<\delta<\delta_0\}$。
可以利用函数的上下极限描述函数极限存在的充要条件。
定理 10
设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内有定义，则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在的充要条件为 $ \operatorname {\underline \lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)= \operatorname {\overline\lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。