函数极限的性质

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 函数的极限

   我们先列举几个函数极限的基本性质,由于它们的几何直观非常明显,这里不予证明.读者可以根据函数极限的定义尝试进行证明,练习用 $\epsilon$-$\delta$ 语言证明函数极限的性质.

定理 1 函数极限的唯一性

   若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在,则在 $x_0$ 处极限唯一.

定理 2 局部保序性

   设函数 $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 处极限存在,若 $f(x)\le g(x)$ 对任意的 $x\in U_0(x_0,\delta_0)$ 成立,那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x)\le \lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)$.

定理 3 局部保号性

   设函数 $f(x)$,若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A > 0$,那么存在 $x_0$ 的一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$,满足对任意 $x\in U_0(x_0,\delta)$,都有 $f(x) > 0$.

定理 4 局部有界性

   设函数 $f(x)$,$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在(不为无穷大量),那么存在 $x_0$ 的一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$,满足存在 $M > 0$,对任意 $x\in U_0(x_0,\delta)$,都有 $|f(x)| < M$,即 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta)$ 上有界.

1. 函数极限的四则运算

   设函数 $f(x),g(x)$,分别对于六种自变量的变化情况

\begin{equation} x\rightarrow x_0;\ x\rightarrow x_0^+;\ x\rightarrow x_0^{-};\ x\rightarrow \infty;\ x\rightarrow +\infty;\ x\rightarrow -\infty \end{equation}
若 $f(x)\rightarrow A,\ g(x)\rightarrow B$,那么可以证明
\begin{equation} \begin{aligned} &h_1(x)=f(x)+g(x)\rightarrow A+B\\ &h_2(x)=f(x)-g(x)\rightarrow A-B\\ &h_3(x)=f(x)\cdot g(x)\rightarrow A\cdot B\ (A\neq 0,B\neq 0)\\ &h_4(x)=f(x)/ g(x)\rightarrow A/B\ (B\neq 0) \end{aligned} \end{equation}
若广义极限 $A,B$ 为无穷大量,则可以规定一些特殊的四则运算,例如 $(+\infty)+(+\infty)=+\infty,\ (+\infty)\cdot (+\infty)=+\infty$ 等等.

习题 1 

  1. 设函数 $f(x)$,若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$,证明:对于任意 $r < A$,存在 $x_0$ 的一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$,满足对任意的 $x\in U_0(x_0,\delta)$,都有 $f(x) > r$.(特别地,当 $r=0$ 时为局部保号性)
  2. 求 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(x^2+1)/(1-2x^2)$.
  3. 设函数 $f(x),g(x)$,若 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限为 $0$,而 $h(x)=f(x)/g(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限为 $1$,证明 $g(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限存在且也为 $0$.

2. 函数极限与序列极限的相似性

   类似于序列极限,函数极限也有夹逼收敛原理:

定理 5 夹逼收敛原理

   设函数 $f(x),h(x),g(x)$,

   若 $f(x)\le h(x)\le g(x),\ \forall x\in U_0(x_0,\delta_0)$,且 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x)=A$,那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)=A$.

   夹逼收敛定理可以根据函数极限的定义证明,读者可以尝试用 $\epsilon$-$\delta$ 语言进行叙述.

   回顾函数极限的定义:设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内有定义.函数极限存在的定义是:存在 $A$,使得对任意 $\epsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$,当 $x\in U_0(x_0,\delta)$ 时有 $|f(x)-A| < \epsilon$.函数极限不存在的定义:对任意 $A$,都存在 $\epsilon > 0$,使得对任意 $\delta > 0$,都存在 $x\in U_0(x_0,\delta)$ 满足 $|f(x)-A|\ge \epsilon$.

   从定义上看,函数极限与序列极限存在某种联系,它们都有 “对任意……存在……当……满足” 这样的句式.两者的联系由以下的定理体现:

定理 6 

   设 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)(\delta_0 > 0)$ 上有定义,则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 成立的充要条件是:对于 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内任意收敛于 $x_0$ 的序列 $\{x_n\}$,都有 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=A$.

   对于左右极限以及自变量趋向于无穷大的极限,也有类似的定理.

   对于有特殊性质的函数,例如在 $x_0$ 的右去心邻域上单调递增,就容易猜测它在 $x_0$ 处的右极限(排除负无穷的情况)为这个右去心邻域上函数值的下确界.于是我们有以下定理:

定理 7 

   设 $f(x)$ 在 $U_0^+(x_0,\delta_0)(\delta_0 > 0)$ 上有定义,若 $f(x)$ 在 $U_0^+(x_0,\delta_0)$ 上单调递增,则

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\inf\{f(x):x\in U_0^+(x_0,\delta_0)\} \end{equation}
上式等号右边下确界不存在,则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右极限为 $-\infty$.

   若 $f(x)$ 在 $U_0^+(x_0,\delta_0)$ 上单调递减,则

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=\sup\{f(x):x\in U_0^+(x_0,\delta_0)\} \end{equation}
上式等号右边上确界不存在,则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的右极限为 $+\infty$.

   对于左极限与左去心邻域也有类似的定理.对广义极限该定理也成立.

   序列收敛的判定定理有柯西收敛准则;而对于函数极限,也可以类似地写出这样的定理.

定理 8 

   设 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内有定义,则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在的充要条件是:$\forall \epsilon > 0,\exists\delta > 0$,当 $x',x''\in U_0(x_0,\delta)$ 时,有 $|f(x')-f(x'')| < \epsilon$.

   对于左极限与右极限,也有类似的定理.

习题 2 

  1. 证明极限 $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x-1}{x+1}\cos 2\pi x$ 不存在.
  2. $f(x)= \sin\left(1/x\right) $,证明 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处极限不存在,在 $x_0\neq 0$ 处极限存在.
  3. 构造函数 $f(x)$,满足定义域为 $\mathbb{R}$,在 $x_0=0$ 处极限存在,而在 $x_0\neq 0$ 处极限不存在.
  4. 函数 $f(x)$ 在 $U(a,\delta_0)$ 上有定义,序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$,则什么情况下 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(a)$ 成立?

3. 复合函数的极限(初步思考与探索)

习题 3 

   思考:函数 $f(x)$ 在 $U(a,\delta_0)$ 上有定义,序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$,则什么情况下 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}f(x_n)=f(a)$ 成立?

   设 $f(x)=1/x,\ g(x)=x^2$

   容易证明 $\lim\limits_{x\rightarrow 4}f(x)=1/4,\lim\limits_{x\rightarrow 2}g(x)=4$.

   那么是否 $\lim\limits_{x\rightarrow 2}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\rightarrow 2}g(x))=f(4)=1/4$ 呢?经验证是成立的.

   我们自然地就想到,是否对于任何函数 $f(x),g(x)$,都满足 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x))$.然而答案是否定的.这种复合函数的极限运算需要满足一些限制条件.

习题 4 

   $f(x)=[x],g(x)=1-x^2$,判断 $\lim\limits_{x\rightarrow 0}f(g(x)) $ 与 $f(\lim\limits_{x\rightarrow 0}g(x))$ 是否相等.

   具体地,我们有以下定理:

定理 9 复合函数的极限

   定理:$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0$,$\lim\limits_{u\rightarrow u_0}f(u)=L$,并且存在 $x_0$ 一个去心邻域 $U_0(x_0,\delta)$,使得对任意 $x\in U_0(x_0,\delta)$,有 $g(x)\neq u_0$.那么 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=\lim\limits_{u\rightarrow u_0}f(u)=L$.

4. 几个重要极限

习题 5 

   证明 $\lim\limits_{x\rightarrow a}\cos x=\cos a$,$\lim\limits_{x\rightarrow a}\sin x=\sin a$.(如果你学了函数的连续性,那么这个命题说的就是 $\sin x,\cos x$ 是连续函数.但为了严谨地说明这件事,我们不得不回归函数极限的定义.)

   第一个重要极限:

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1 \end{equation}

   提示:先证不等式 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$,用夹逼收敛原理.

   第二个重要极限:

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{x} \right) ^x=e \end{equation}

   提示:利用序列极限的结果式 4 和夹逼收敛原理.

   利用以上两个结果,我们可以求更复杂的极限,例如:

\begin{equation} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ \sin\left(\sin x\right) }{x},\ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-2x)^{\frac{1}{x}} \end{equation}
伍胜健《数学分析》上的证明利用了换元的操作:
\begin{equation} \begin{aligned} \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ \sin\left(\sin x\right) }{x}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{ \sin\left(\sin x\right) }{\sin x}\cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\\ &=\lim\limits_{y\rightarrow 0}\frac{\sin y}{y}\cdot \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\\ \lim\limits_{x\rightarrow 0}(1-2x)^{\frac{1}{x}}&=\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(1-\frac{1}{1/2x} \right) ^{(-1/2x)\cdot (-2)}\\&= \left(\lim\limits_{x\rightarrow 0} \left(1-\frac{1}{1/2x} \right) ^{(-1/2x)} \right) ^{-2} \\&=\left(\lim\limits_{y\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{y} \right) ^{y}\right)^{-2}=e^{-2} \end{aligned} \end{equation}
上面的证明中,有将 $\sin x$ 替换为了 $y$,再对 $y\rightarrow 0$ 取函数极限;有将 $1/2x$ 替换为 $y$,再对 $y\rightarrow \infty$ 取函数极限.我们称这种方法为换元.然而为什么能够换元呢?

   这本质上是利用了复合函数的极限的性质定理 9

5. 函数的上下极限

   可以模仿序列的上下极限给出函数上下极限的定义:

   设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 处有定义.对任意 $0 < \delta < \delta_0$,设 $$ l(\delta)=\inf\{f(x):x\in U_0(x_0,\delta)\},\\ h(\delta)=\sup\{f(x):x\in U_0(x_0,\delta)\}, $$ 那么令 $l=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0}l(\delta), h=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0}h(\delta)$,

   称 $l$ 为下极限 $ \operatorname {\underline\lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$,$h$ 为上极限 $ \operatorname {\overline\lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$.

   可以证明 $l=\sup\{l(\delta):0 < \delta < \delta_0\},h=\inf\{h(\delta):0 < \delta < \delta_0\}$.

   可以利用函数的上下极限描述函数极限存在的充要条件

定理 10 

   设函数 $f(x)$ 在 $U_0(x_0,\delta_0)$ 内有定义,则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在的充要条件为 $ \operatorname {\underline \lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)= \operatorname {\overline\lim}\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$.


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