贡献者： int256
克拉策势（Kratzer's molecular potential，又写作 Kratzer's Potential 或克拉测势等），是另一个描述双原子分子的势能模型，表示为：
\begin{equation}
V(r) = -2D [a/r - a^2/(2r^2)] ~.
\end{equation}
是对于一般角量子数 $l$ 的，而
莫尔斯势的求解过程不难发现其实是对应角量子数 $l=0$ 的情况。其中 $r$ 是两原子间距而 $a$ 是平衡核间距，有势能最小值 $V(a) = -D$。下面给出一些经典取值
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表1：经典分子参数
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分子 | $D/ \,\mathrm{eV} $ | $a/\mathring{\text{A}}$，埃米 | $\mu/ \,\mathrm{amu} $，原子质量单位
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CO | 10.8451 | 1.128 | 6.8606
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NO | 8.0438 | 1.151 | 7.4684
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O$_2$ | 5.1567 | 1.208 | 7.9974
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I$_2$ | 1.5818 | 2.662 | 63.4522
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1. 简谐近似
类似于林纳德-琼斯势和摩尔斯势的方法，仍先考虑简谐近似。有
\begin{equation}
\begin{aligned}
\epsilon = \left. V \right\rvert _{r=a} &= -D ~, \\
k = \left. \frac{\mathrm{d}{^2 V}}{\mathrm{d}{r^2}} \right\rvert _{r=a} &= \frac{2D}{a^2} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
对于体系的约化质量 $\widetilde M = m_1m_2/(m_1+m_2)$，有
$$\omega^2 = \frac{k}{\widetilde M} = \frac{2D}{\widetilde M a^2} ~.$$
2. 简谐近似势的量子化
体系的本征能量为
\begin{equation}
E_\nu = \hbar \omega\left(\nu + \frac12\right) - D, \ (\nu = 0, 1, 2, \cdots) ~.
\end{equation}
3. 精确解
体系的薛定谔方程为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 \psi + \frac{2 \widetilde M}{\hbar^2} [E - V(r)] \psi = 0~.
\end{equation}
考虑一个典型的解法——球谐函数展开：考虑波函数 $\psi = R(r) Y_{l, m} (\theta, \phi)$。则对于径向波函数 $R(r)$ 应满足微分方程
\begin{equation}
\frac1R \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{r}} \left(r^2 \frac{\mathrm{d}{R}}{\mathrm{d}{r}} \right) + \left( \frac{2\widetilde M r^2}{\hbar^2} \left[E-V(r)\right] \right) = l(l+1), \ (l = 0, 1, 2, \cdots) ~.
\end{equation}
若令 $R(r) = u(r)/r$，取 $\beta^2=2\widetilde M a^2 D/(\hbar^2)$，则等价于微分方程
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{^2 u}}{\mathrm{d}{r^2}} + \left[\frac{2\widetilde M}{\hbar^2} \left(E + \frac{2aD}{r}\right) - \frac{\beta^2 + l(l+1)}{r^2}\right] u = 0 ~.
\end{equation}
解这微分方程
我们发现这微分方程有类似于碱金属原子讨论过的微分方程（式 2 ）的形式。取两系数
\begin{equation}
e' = \sqrt{2aD},\ l'(l'+1) = \beta^2 + l(l+1) ~,
\end{equation}
即
$$l' = -\frac12 + \sqrt{\beta^2 + \left(l + \frac12\right)^2} ~,$$
就有
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{^2 u}}{\mathrm{d}{r^2}} + \left[ \frac{2 \widetilde M}{\hbar^2} \left(E + \frac{e'^2}{r}\right) - \frac{l'(l'+1)}{r^2}\right] u = 0 ~.
\end{equation}
与碱金属原子讨论过的微分方程形式相同。
对应的，量子化条件 $n' = \nu + l' + 1, \ (\nu = 0, 1, 2, \cdots)$。其中，$n' > 1$ 一般不是整数。分子体系的能级是
\begin{equation}
E_{\nu, l} = -\frac{\widetilde M e'^4}{2 \hbar^2} \left(\frac1{n'}\right)^2 = -\beta^2 D \left(\frac{1}{n'}\right)^2 ~.
\end{equation}
4. 基态性质
对于基态而言 $\nu=0, l=0$。故基态能量
\begin{equation}
E_{0, 0} = -\beta^2 D \left(\frac12 + \sqrt{\beta^2 + \left(\frac12\right)^2}\right)^{-2} ~.
\end{equation}
而径向概率密度
\begin{equation}
W(\rho) = \frac{2^{2n'}}{n' \Gamma{(2n')}} \rho^{2n'} \exp\left(-2\rho\right) ~, \ \left(\rho = \frac{r}{n'a'}\right) ~.
\end{equation}
最可几值于 $ \frac{\mathrm{d}{W(\rho)}}{\mathrm{d}{\rho}} = 0$ 时，有
\begin{equation}
\rho = n' ~.
\end{equation}
则两原子最可几间隔 $r = a (n'/\beta)^2$。
下面给出一些经典的分子的计算出的参数2
表2：经典分子参数 2
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分子 | $\beta$ | $E_{0,0} / \,\mathrm{eV} $ | $r/ \,\mathrm{\mathring{A}} $
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CO | 212.826 | -10.7943 | 1.133
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NO | 195.103 | -8.0027 | 1.157
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O$_2$ | 169.686 | -5.1264 | 1.215
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I$_2$ | 583.344 | -1.5791 | 2.667
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1. ^ 表格数据来源：《量子力学 I》，顾樵。
2. ^ 表格数据来源：同上。《量子力学 I》，顾樵。
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