双原子分子克拉策势（量子力学）

贡献者： int256

预备知识 1　薛定谔方程（单粒子多维），球谐函数

　　克拉策势（Kratzer's molecular potential，又写作 Kratzer's Potential 或克拉测势等），是另一个描述双原子分子的势能模型，表示为：

\begin{matrix} (1) & V (r) = - 2 D [a / r - a^{2} / (2 r^{2})] . \end{matrix}

是对于一般角量子数

l

的，而莫尔斯势的求解过程不难发现其实是对应角量子数

l = 0

的情况。其中

r

是两原子间距而

a

是平衡核间距，有势能最小值

V (a) = - D

。下面给出一些经典取值¹

表1：经典分子参数

分子	$D / eV$	$a / \overset{˚}{A}$ ，埃米	$μ / amu$ ，原子质量单位
CO	10.8451	1.128	6.8606
NO	8.0438	1.151	7.4684
O $_{2}$	5.1567	1.208	7.9974
I $_{2}$	1.5818	2.662	63.4522

1. 简谐近似

　　类似于林纳德-琼斯势和摩尔斯势的方法，仍先考虑简谐近似。有

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ϵ = {V |}_{r = a} & = - D, \\ k = {\frac{d^{2} V}{d r^{2}} |}_{r = a} & = \frac{2 D}{a^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

对于体系的约化质量

\tilde{M} = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})

，有

ω^{2} = \frac{k}{\tilde{M}} = \frac{2 D}{\tilde{M} a^{2}} .

2. 简谐近似势的量子化

　　体系的本征能量为

\begin{matrix} (3) & E_{ν} = ℏ ω (ν + \frac{1}{2}) - D, (ν = 0, 1, 2, \dots) . \end{matrix}

3. 精确解

　　体系的薛定谔方程为

\begin{matrix} (4) & \nabla^{2} ψ + \frac{2 \tilde{M}}{ℏ^{2}} [E - V (r)] ψ = 0 . \end{matrix}

考虑一个典型的解法——球谐函数展开：考虑波函数

ψ = R (r) Y_{l, m} (θ, ϕ)

。则对于径向波函数

R (r)

应满足微分方程

\begin{matrix} (5) & \frac{1}{R} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d R}{d r}) + (\frac{2 \tilde{M} r^{2}}{ℏ^{2}} [E - V (r)]) = l (l + 1), (l = 0, 1, 2, \dots) . \end{matrix}

若令

R (r) = u (r) / r

，取

β^{2} = 2 \tilde{M} a^{2} D / (ℏ^{2})

，则等价于微分方程

\begin{matrix} (6) & \frac{d^{2} u}{d r^{2}} + [\frac{2 \tilde{M}}{ℏ^{2}} (E + \frac{2 a D}{r}) - \frac{β^{2} + l (l + 1)}{r^{2}}] u = 0 . \end{matrix}

解这微分方程

预备知识 2　碱金属原子

　　我们发现这微分方程有类似于碱金属原子讨论过的微分方程（式 2 ）的形式。取两系数

\begin{matrix} (7) & e^{'} = \sqrt{2 a D}, l^{'} (l^{'} + 1) = β^{2} + l (l + 1), \end{matrix}

即

l^{'} = - \frac{1}{2} + \sqrt{β^{2} + {(l + \frac{1}{2})}^{2}},

就有

\begin{matrix} (8) & \frac{d^{2} u}{d r^{2}} + [\frac{2 \tilde{M}}{ℏ^{2}} (E + \frac{e^{' 2}}{r}) - \frac{l^{'} (l^{'} + 1)}{r^{2}}] u = 0 . \end{matrix}

与碱金属原子讨论过的微分方程形式相同。

　　对应的，量子化条件 $n^{'} = ν + l^{'} + 1, (ν = 0, 1, 2, \dots)$ 。其中， $n^{'} > 1$ 一般不是整数。分子体系的能级是

\begin{matrix} (9) & E_{ν, l} = - \frac{\tilde{M} e^{' 4}}{2 ℏ^{2}} {(\frac{1}{n^{'}})}^{2} = - β^{2} D {(\frac{1}{n^{'}})}^{2} . \end{matrix}

4. 基态性质

　　对于基态而言 $ν = 0, l = 0$ 。故基态能量

\begin{matrix} (10) & E_{0, 0} = - β^{2} D {(\frac{1}{2} + \sqrt{β^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}})}^{- 2} . \end{matrix}

　　而径向概率密度

\begin{matrix} (11) & W (ρ) = \frac{2^{2 n^{'}}}{n^{'} Γ (2 n^{'})} ρ^{2 n^{'}} \exp (- 2 ρ), (ρ = \frac{r}{n^{'} a^{'}}) . \end{matrix}

最可几值于

\frac{d W (ρ)}{d ρ} = 0

时，有

\begin{matrix} (12) & ρ = n^{'} . \end{matrix}

则两原子最可几间隔

r = a (n^{'} / β)^{2}

。

　　下面给出一些经典的分子的计算出的参数²

表2：经典分子参数 2

分子	$β$	$E_{0, 0} / eV$	$r / \overset{˚}{A}$
CO	212.826	-10.7943	1.133
NO	195.103	-8.0027	1.157
O $_{2}$	169.686	-5.1264	1.215
I $_{2}$	583.344	-1.5791	2.667

1. ^ 表格数据来源：《量子力学 I》，顾樵。
2. ^ 表格数据来源：同上。《量子力学 I》，顾樵。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。