碱金属原子（量子力学）

贡献者： int256; addis

预备知识　薛定谔方程（单粒子多维），球谐函数，类氢原子的束缚态，球坐标系中的定态薛定谔方程

　　碱金属原子本质是由价电子（最外层电子）来决定性质的。价电子所受到原子实（原子核、内层电子）作用的势函数描述为

\begin{matrix} (1) & V (r) = - e^{2} / r - λ a e^{2} / r^{2}, (0 < λ \leq 1 / 8) . \end{matrix}

是一个中心势场。则薛定谔方程是可分离变量的，使得波函数可以表示为球谐函数与径向解的乘积的形式——

ψ = Y_{l, m} (θ, ϕ) R (r)

。考虑求解径向波函数，应满足微分方程

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{R} (\frac{1}{r^{2}} \frac{d R}{d r}) + \frac{2 m r^{2}}{ℏ^{2}} [E - V (r)] = l (l + 1), (l = 0, 1, 2, \dots) . \end{matrix}

　　观察到第一项，不难想到常规技巧，设 $R (r) = u (r) / r$ ，从而可化为

\begin{matrix} (3) & \frac{d^{2} u}{d r^{2}} + [\frac{2 m}{ℏ^{2}} (E + e^{2} / r) + (\frac{2 λ}{r^{2}} - \frac{l (l + 1)}{r^{2}})] u = 0 . \end{matrix}

若取

l^{'} (l^{'} + 1) = l (l + 1) - 2 λ

，即

l^{'} = - \frac{1}{2} + (l + \frac{1}{2}) \sqrt{1 - \frac{8 λ}{(2 l + 1)^{2}}},

就有

\begin{matrix} (4) & \frac{d^{2} u}{d r^{2}} + [\frac{2 m}{ℏ^{2}} (E + e^{2} / r) - \frac{l^{'} (l^{'} + 1)}{r^{2}}] u = 0 . \end{matrix}

这类似于（类）氢原子的情况式 4 。

　　类比于类氢原子，对于碱金属原子有价电子 $n^{'} = n_{r} + l^{'} + 1, (n_{R} = 0, 1, 2, \dots) .$ 其中 $n^{'} \geq 1 / 2$ 一般不是整数。

　　从而类比（类）氢原子有径向波函数的解

\begin{matrix} (5) & R_{n^{'}, l^{'}} (r) = \frac{2}{a^{3 / 2} n^{' 2} Γ (2 l^{'} + 2)} \sqrt{\frac{Γ (n^{'} + l^{'} + 1)}{(n^{'} - l^{'} - 1)!}} {(\frac{2 r}{a n^{'}})}^{l^{'}} \exp (- r / (a n^{'}))_{1} F_{1} (- n^{'} + l^{'} + 1, 2 l^{'} + 2; 2 r / (a n^{'})) . \end{matrix}

　　价电子能级

\begin{matrix} (6) & E_{n^{'}} = - \frac{m e^{4}}{2 ℏ^{2}} {(\frac{1}{n^{'}})}^{2} . \end{matrix}

1. 基态性质

　　价电子基态应有 $n = 1, l = 0$ ，从而 $n^{'} = 1 / 2, l^{'} = - 1 / 2$ 。此时能量 $E_{1 / 2} = - \frac{2 m e^{4}}{ℏ^{2}} .$ 对于基态 $n^{'} = 1 / 2, l^{'} = - 1 / 2$ 而言，有 $_{1} F_{1} (0, c; ρ) = 1$ 。从而有完整的解

\begin{matrix} (7) & R_{1 / 2, - 1 / 2} (r) Y_{0, 0} (θ, ϕ) = \frac{1}{\sqrt{4 π}} \frac{4}{a^{3 / 2}} {(\frac{r}{a})}^{- 1 / 2} \exp (\frac{- 2 r}{a}) . \end{matrix}

概率密度是模的平方为

\begin{matrix} (8) & | R_{1 / 2, - 1 / 2} (r) Y_{0, 0} (θ, ϕ) |^{2} = \frac{4}{π a^{3}} \frac{a}{r} \exp (\frac{- 4 r}{a}) . \end{matrix}

则在

r

出薄球壳出现的概率是

\begin{matrix} (9) & P (ρ) = P (r / a) = (| R_{1 / 2, - 1 / 2} (r) Y_{0, 0} (θ, ϕ) |^{2} \cdot 4 π r^{2} d r) / (d r) = 16 ρ \exp (- 4 ρ) . \end{matrix}

最可几时

P (ρ)

取极值，即

ρ = 1 / 4

处。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。