延迟选择量子擦除实验

贡献者： 1917KMN; 蒋岱兵

预备知识　狄拉克符号，量子测量

1. 实验装置与实验现象

图 1：实验装置图（图片来自维基百科）

　　如图 1 所示，左上角的光源发射光子，光子随后经过双缝。把红色路径标识的缝记为左缝，另一条则称为右缝。光子经过双缝后会进入 $B B O$ 晶体。 $B B O$ 将会吸收每一个入射的光子并发射出两个纠缠的光子。这两个光子经过棱镜后会分别射向不同的方向。我们把射向屏幕 $D_{0}$ 的光子称为 $A$ 光子，另一个称为 $B$ 光子。 $D_{0}$ 、 $D_{1}$ 、 $D_{2}$ 、 $D_{3}$ 、 $D_{4}$ 都是感光屏。 $B S_{a}$ 、 $B S_{b}$ 、 $B S_{c}$ 是半透半反射镜，入射的光子有一半概率反射、一半概率透射。 $M_{a}$ 、 $M_{b}$ 是全反射镜。在经过 $B S_{c}$ 后，从两条缝中射出的光子所产生的 $B$ 光子的路径完全重合。从双缝到 $D_{1}$ 、 $D_{2}$ 、 $D_{3}$ 、 $D_{4}$ 光程远大于到 $D_{0}$ 的光程，因此可以在观察到 $D_{0}$ 上的现象后再对虚线框中的 $B$ 光子观测系统进行调整。

　　在进行实验时，按如下的步骤操作：

　　 (i)令光源每次只发射一个光子。

　　 (ii)观察 $D_{0}$ 屏幕上的光子落点，并记下另外四个屏幕中感光的屏幕编号。若 $D_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ 屏幕感光，则将对应的光子落点记为 $i$ 类点。重复进行多次。

　　 (iii)只开放左狭缝，观察 $D_{0}$ 屏幕上的光子落点，这类落点记为 $L$ 类落点。重复进行多次。然后，在只开放右狭缝的情况下进行同样的工作，对应的落点记为 $R$ 类落点。

　　实验完成后，将光子的落点画在图上，构成光强分布图。将 $i (i = 1, 2, 3, 4, L, R)$ 类点的分布称为 $i$ 类分布，所有光子落点的分布称为总分布。实验现象如下：

　　 (i)总分布图中不存在干涉条纹。

　　 (ii) $1$ 类分布与 $2$ 类分布中存在干涉条纹。

　　 (iii) $3$ 类分布与 $4$ 类分布中不存在干涉条纹。

　　 (iv) $3$ 类分布等于 $R$ 类分布， $4$ 类分布等于 $L$ 类分布。

　　 (v)总分布等于 $| α |^{2}$ 倍的 $L$ 类分布与 $| β |^{2}$ 倍的 $R$ 类分布之和。

2. 假设与约定

　　为方便下面的讨论，这里做一些必要的简化，并对符号作出约定。

　　光子经过双缝后，其态矢量是确定的。显然，这个态矢可以写为如下的形式：

\begin{matrix} (1) & | Ψ (t = 0) ⟩ = α | χ_{L} (t = 0) ⟩ + β | χ_{R} (t = 0) ⟩ . \end{matrix}

其中

| χ_{L} (t = 0) ⟩

表示这样的一个态：

t = 0

时刻，光子刚通过狭缝，此时对光子的位置进行测量，可以完全肯定它来自于左边的狭缝。若

t = 0

时刻，从两边狭缝透射出的波函数没有任何重叠（即

χ_{L} (t = 0) χ_{R} (t = 0)

处处为零），这样的效果就可以达成。

| χ_{R} (t = 0) ⟩

的定义同理。所以，在光子刚经过狭缝时，对光子的位置进行测量，就可以完全肯定光子经过了哪条狭缝，且经过左边狭缝的概率为

| α |^{2}

，经过右边狭缝的概率为

| β |^{2}

。这两个概率的和为

1

（这就保证了态矢量

| Ψ ⟩

的归一化），而它们的具体值取决于光源的位置和两条狭缝的宽度等参数，这里不讨论。通过以上的定义，还可以看出

| ψ_{L} (t = 0) ⟩

正交于

| ψ_{R} (t = 0) ⟩

，

| ϕ_{L} (t = 0) ⟩

正交于

| ϕ_{R} (t = 0) ⟩

，这是因为从两边狭缝透射出的波函数没有任何重叠。

　　接下来研究 $B B O$ 晶体对态矢量的作用。简单起见，假设光子经过双缝后立刻受到 $B B O$ 的作用。当一个光子射入 $B B O$ 晶体时，将产生一对除自旋外各种属性和状态都相同的光子，且这对光子的属性和状态与入射的光子也相同。设 $E_{A}$ 为 $A$ 光子的轨道态空间（即不考虑自旋的态空间）， $E_{B}$ 为 $B$ 光子的轨道态空间， $E_{I}$ 为入射光子的轨道态空间。经过 $B B O$ 晶体后整个体系的轨道态空间即为 $E_{A}$ 和 $E_{B}$ 的张量积。为了保证属性相同， $E_{A}$ 与 $E_{B}$ 、 $E_{I}$ 互相自然同构。若入射光子的态矢量为 $| χ ⟩$ ，出射的 $A$ 光子的态矢量为 $| ψ ⟩$ 、出射的 $B$ 光子的态矢量为 $| ϕ ⟩$ ，则 $| χ ⟩$ 、 $| ψ ⟩$ 、 $| ϕ ⟩$ 应当在同构映射的意义下彼此相等（或相差一个无意义的相位因子）。从而，经过 $B B O$ 晶体后，整个体系的态矢量应当为

\begin{matrix} (2) & | Ψ (t = 0) ⟩ = α | ψ_{L} (t = 0) ⟩ | ϕ_{L} (t = 0) ⟩ + β | ψ_{R} (t = 0) ⟩ | ϕ_{R} (t = 0) ⟩ . \end{matrix}

其中

| ψ_{L} (t = 0) ⟩

是与

| χ_{L} (t = 0) ⟩

在同构映射的意义下相等的矢量，

| ψ_{R} (t = 0) ⟩

、

| ϕ_{L} (t = 0) ⟩

、

| ϕ_{R} (t = 0) ⟩

的定义同理。这里没有考虑自旋态空间，实际上这对后面的解释没有实质性影响。请读者想一想为什么？

　　现在考虑体系的演化。在射出 $B B O$ 晶体后， $A$ 光子和 $B$ 光子将各自独立地演化，因此体系的哈密顿算符是这两者各自的哈密顿算符（的延伸算符）之和，即 $H = H_{A} + H_{B}$ 。假定 $| ψ_{L} (t) ⟩$ 是满足下列薛定谔方程的解：

\begin{matrix} (3) & i ℏ \frac{d}{d t} | ψ_{L} ⟩ = H_{A} | ψ_{L} ⟩ . \end{matrix}

该解的初态即为

| ψ_{L} (t = 0) ⟩

。同理，对

| ψ_{R} (t) ⟩

、

| ϕ_{L} (t) ⟩

、

| ϕ_{R} (t) ⟩

也作同样的假定。于是，任意时刻整个体系的态可以写作

\begin{matrix} (4) & | Ψ (t) ⟩ = α | ψ_{L} (t) ⟩ | ϕ_{L} (t) ⟩ + β | ψ_{R} (t) ⟩ | ϕ_{R} (t) ⟩ . \end{matrix}

这是因为这样定义的

| Ψ (t) ⟩

满足整个体系的薛定谔方程：

\begin{aligned} i ℏ \frac{d}{d t} | Ψ (t) ⟩ \\ = & α ((i ℏ \frac{d}{d t} | ψ_{L} (t) ⟩) | ϕ_{L} (t) ⟩ + | ψ_{L} (t) ⟩ (i ℏ \frac{d}{d t} | ϕ_{L} (t) ⟩)) \\ + β ((i ℏ \frac{d}{d t} | ψ_{R} (t) ⟩) | ϕ_{R} (t) ⟩ + | ψ_{R} (t) ⟩ (i ℏ \frac{d}{d t} | ϕ_{R} (t) ⟩)) \\ = & α (H_{A} | ψ_{L} (t) ⟩ | ϕ_{L} (t) ⟩ + | ψ_{L} (t) ⟩ H_{B} | ϕ_{L} (t) ⟩) \\ + β (H_{A} | ψ_{R} (t) ⟩ | ϕ_{R} (t) ⟩ + | ψ_{R} (t) ⟩ H_{B} | ϕ_{R} (t) ⟩) \\ (5) & = & H | Ψ (t) ⟩ . \end{aligned}

哈密顿量各自独立，态矢量当然是互相独立地演化。这样体系的演化就得到了求解。为简化讨论，再对体系的演化提出以下假设:

　　 (i)所有的态都是已归一化的。

　　 (ii) $B$ 光子的波函数在 $B S_{c}$ 之前的路径上是不重叠的，即 $ϕ_{L} (r_{B}, t) ϕ_{R} (r_{B}, t)$ 在路径上恒为零。

　　 (iii) $A$ 光子与 $B$ 光子的波函数分布范围足够小，使得在屏幕后面探测不到光子，也即不会出现光子从屏幕外面经过的情况。

　　屏幕对光子的作用相当于进行了一次位置的测量，这会导致态矢量发生跃变。假设在 $t_{A}$ 时刻屏幕 $D_{0}$ 感光，在 $t_{B}$ 时刻 $D_{1}$ 、 $D_{2}$ 、 $D_{3}$ 、 $D_{4}$ 中的任意一个感光。一般 $t_{B} > t_{A}$ ，也就是说屏幕 $D_{0}$ 先感光，另外四个屏幕再感光。下面假设 $t_{A} = t_{B}$ ，这样会给计算带来方便，也不会给解释问题带来实质性影响。如果不这样假设，将会涉及到态矢量的跃变等问题，较难处理，作者以后可能会补上这一内容。

3. 对实验结果的解释

　　现在只看 $D_{0}$ 上的落点分布而不关注另外四个感光屏上出现的现象，则 $A$ 的位置分布就是概率关于 $r_{A}$ 的边缘分布。联合概率分布为

\begin{aligned} ρ (r_{A}, r_{B}) \\ = & | α ψ_{L} (r_{A}, t_{A}) ϕ_{L} (r_{B}, t_{A}) + β ψ_{R} (r_{A}, t_{A}) ϕ_{R} (r_{B}, t_{A}) |^{2} \\ = & | α |^{2} | ψ_{L} (r_{A}, t_{A}) |^{2} | ϕ_{L} (r_{B}, t_{A}) |^{2} \\ + | β |^{2} | ψ_{R} (r_{A}, t_{A}) |^{2} | ϕ_{R} (r_{B}, t_{A}) |^{2} \\ (6) & + 2 R e (α β^{*} ψ_{L} (r_{A}, t_{A}) ψ_{R}^{*} (r_{A}, t_{A}) ϕ_{L} (r_{B}, t_{A}) ϕ_{R}^{*} (r_{B}, t_{A})) . \end{aligned}

对

r_{B}

积分得到关于

r_{A}

的边缘概率分布。考虑到

| ϕ_{L} ⟩

和

| ϕ_{R} ⟩

都是归一化的态，可得

\begin{aligned} ρ_{A} (r_{A}) \\ = & \int ρ (r_{A}, r_{B}) d^{3} r_{B} \\ = & | α |^{2} | ψ_{L} (r_{A}, t_{A}) |^{2} + | β |^{2} | ψ_{R} (r_{A}, t_{A}) |^{2} \\ (7) & + 2 R e (α β^{*} ψ_{L} (r_{A}, t_{A}) ψ_{R}^{*} (r_{A}, t_{A}) ⟨ ϕ_{R} (t_{A}) | ϕ_{L} (t_{A}) ⟩) . \end{aligned}

注意到薛定谔方程是保内积的，即

\begin{aligned} i ℏ \frac{d}{d t} ⟨ ξ | η ⟩ \\ = & i ℏ (\frac{d}{d t} ⟨ ξ |) | η ⟩ + i ℏ ⟨ ξ | (\frac{d}{d t} | η ⟩) \\ = & - ⟨ ξ | H | η ⟩ + ⟨ ξ | H | η ⟩ \\ (8) & = & 0 . \end{aligned}

而

| ϕ_{L} ⟩

和

| ϕ_{R} ⟩

两个态初始时就是正交的，于是得

A

光子的总分布

\begin{matrix} (9) & ρ_{A} (r_{A}) = | α |^{2} | ψ_{L} (r_{A}, t_{A}) |^{2} + | β |^{2} | ψ_{R} (r_{A}, t_{A}) |^{2} . \end{matrix}

注意，

| ψ_{L} (r_{A}, t_{A}) |^{2}

是

L

类分布，

| ψ_{R} (r_{A}, t_{A}) |^{2}

是

R

类分布。于是实验现象(i)和(v)得到解释。

　　如果 $D_{3}$ 或 $D_{4}$ 感光， $D_{0}$ 上的光强分布函数就是 $D_{3}$ 或 $D_{4}$ 感光时 $A$ 光子关于 $r_{A}$ 的条件概率分布。以 $D_{3}$ 感光为例，记 $D_{3}$ 屏幕的空间区域为 $Σ (D_{3})$ 。根据上面的假设，显然有 $ϕ_{R} (r_{B} \in Σ (D_{3}), t_{B}) \neq 0$ 且 $ϕ_{L} (r_{B} \in Σ (D_{3}), t_{B}) = 0$ 。与式 24 （本应为式 9，但编译器自动生成为式 24）同理，光子 $B$ 的边缘分布为 $ρ_{B} (r_{B}) = | α |^{2} | ϕ_{L} (r_{B}, t_{B}) |^{2} + | β |^{2} | ϕ_{R} (r_{B}, t_{B}) |^{2}$ 。于是在 $D_{3}$ 感光的条件下， $A$ 光子的概率分布为：

\begin{aligned} ρ_{A | B} (r_{A} | r_{B} \in Σ (D_{3})) \\ = & \frac{\int_{Σ (D_{3})} ρ (r_{A}, r_{B}) d^{3} r_{B}}{\int_{Σ (D_{3})} ρ_{B} (r_{B}) d^{3} r_{B}} \\ = & \frac{| β |^{2} | ψ_{R} (r_{A}, t_{A}) |^{2} \int_{Σ (D_{3})} | ϕ_{R} (r_{B}, t_{A}) |^{2} d^{3} r_{B}}{| β |^{2} \int_{Σ (D_{3})} | ϕ_{R} (r_{B}, t_{A}) |^{2} d^{3} r_{B}} \\ (10) & = & | ψ_{R} (r_{A}, t_{A}) |^{2} . \end{aligned}

D_{4}

感光的情况也是同理的。于是实验现象(iii)和(iv)得到解释。

　　如果 $D_{1}$ 或 $D_{2}$ 感光， $D_{0}$ 上的光强分布函数就是 $D_{1}$ 或 $D_{2}$ 感光时 $A$ 光子关于 $r_{A}$ 的条件概率分布。以 $D_{1}$ 感光为例，记 $D_{1}$ 屏幕的空间区域为 $Σ (D_{1})$ 。根据上面的假设，显然有 $ϕ_{L} (r_{B} \in Σ (D_{1}), t_{B}) \neq 0$ 和 $ϕ_{R} (r_{B} \in Σ (D_{1}), t_{B}) \neq 0$ 。令

\begin{matrix} (11) & {\begin{cases} I_{1} = \int_{Σ (D_{1})} | ϕ_{L} (r_{B}, t_{B}) |^{2} d^{3} r_{B}; \\ I_{2} = \int_{Σ (D_{1})} | ϕ_{R} (r_{B}, t_{B}) |^{2} d^{3} r_{B}; \\ I_{3} = \int_{Σ (D_{1})} ϕ_{L} (r_{B}, t_{B}) ϕ_{R}^{*} (r_{B}, t_{B}) d^{3} r_{B} . \end{cases} \end{matrix}

于是在

D_{1}

感光的条件下，

A

光子的概率分布为：

\begin{aligned} ρ_{A | B} (r_{A} | r_{B} \in Σ (D_{1})) \\ = & \frac{\int_{Σ (D_{1})} ρ (r_{A}, r_{B}) d^{3} r_{B}}{\int_{Σ (D_{1})} ρ_{B} (r_{B}) d^{3} r_{B}} \\ = & \frac{| α |^{2} I_{1} | ψ_{L} (r_{A}, t_{A}) |^{2} + | β |^{2} I_{2} | ψ_{R} (r_{A}, t_{A})}{| α |^{2} I_{1} + | β |^{2} I_{2}} \\ (12) & + \frac{2 R e (α β^{*} I_{3} ψ_{L} (r_{A}, t_{A}) ψ_{R}^{*} (r_{A}, t_{A}))}{| α |^{2} I_{1} + | β |^{2} I_{2}} . \end{aligned}

虽然

⟨ ψ_{R} | ψ_{L} ⟩ = 0

，也即

ψ_{L} ψ_{R}^{*}

在全空间的积分为零，但是一般而言

I_{3} \neq 0

，因此干涉项存在。于是实验现象(ii)得到解释。

4. 相关讨论

　　由式 11 （本应为式 6，但编译器自动生成为式 11）可知，干涉项始终存在，但是某些观测方式会将干涉项消去。其实，干涉发生在两个光子之间，上述实验中的纠缠状态导致一个光子无法与自己发生干涉，因为它的路径信息被另一个光子泄露出去了。或许可以用一种粗糙的方式来理解这个问题。微观粒子未被观测时具有波粒二象性；一旦被观测，它就必须显示出明显的粒子性或波动性，而不能两者兼有。当观测到路径信息以后，它就具有了粒子性，因而不可能出现干涉条纹之类的波动性产物。若光子的路径信息被纠缠光子泄露，则实验人员时刻都可以通过观测纠缠光子来获知光子的路径信息。即使当前时刻还没有进行观测，但光子具有被观测的 “风险”。试想，如果光子先表现出了波动性，而后实验人员又获知了光子的路径信息，那么光子就同时具有粒子性和波动性了，这就违背了自然规律。自然界为了避免这种情况的发生，就不得不要求光子不能表现波动性。若 $D_{1}$ 或 $D_{2}$ 感光，自然界就可以肯定没有人能获知光子的路径信息，所以光子被允许表现出波动性，从而 $1$ 类分布与 $2$ 类分布中存在干涉项。

　　人们曾经提出这样的想法来刁难自然界：连续发射许多光子，先观测 $D_{0}$ 上是否具有干涉条纹，如果有就立即（“立即” 的含义是，在 $B$ 光子到达虚线方框之前进行操作）将 $B S_{a}$ 和 $B S_{b}$ 换成全反射镜，如果没有干涉条纹就立即将 $B S_{a}$ 和 $B S_{b}$ 去掉。这样一来，当有干涉条纹时， $B$ 光子将会被 $D_{3}$ 或 $D_{4}$ 探测到，进而可以获知光子经过了哪条狭缝，这导致获知光子路径和出现干涉条纹这两件矛盾的事同时发生；如果没有干涉条纹， $B$ 光子将会被 $D_{1}$ 或 $D_{2}$ 探测到，于是无从知道光子的路径，这导致光子的波动性平白无故地消失。这将是相当诡异的。为了弥补这个自然界的漏洞，人们又想出了一个解释。光子可以预判人类未来是否将会对其的路径信息进行观测，并由此决定自己的行为。读者可以自行上网搜索此实验的相关科普文章，会发现 “量子力学违反因果律” 等说法，正是出自于此。如果人类将要观测，那么光子就让干涉条纹消失；否则，就发生干涉。这种解释显然行不通，但似乎又没有别的更好的解释。事实上，以上这些想法就是人们对量子纠缠认识尚不深刻时提出的，这也是本实验名称的来源。

　　后来，人们发现，根本不会出现以上那些诡异的现象，因为如果只看 $D_{0}$ ，将不可能看到任何干涉条纹。由式 24 （本应为式 9，但编译器自动生成为式 24）可以发现，不论后面对纠缠光子进行什么操作， $A$ 光子的概率分布中都没有干涉项。如果后面选择对光子的路径信息进行擦除，也就是将 $B S_{a}$ 和 $B S_{b}$ 去掉，就可以在 $1$ 类分布图与 $2$ 类分布图中分别看到干涉条纹。但是，这种方法仅能对 $1$ 类路径和 $2$ 类路径分别进行擦除，所以总分布仍然没有干涉条纹。至此，所有的矛盾都能顺利得到解释了。

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