广义胡克定律（弹性力学本构关系）

贡献者： ACertainUser

本文处于草稿阶段。

预备知识　杨氏模量、泊松比、剪切模量、广义胡克定律的基本形式

　　 小学二年级的我们就已经知道"力使物体变形"。之前我们分别探讨了应力与应变，现在我们要找到二者间的关系。这就是材料的本构关系。

　　以下是各向同性的线弹性材料的本构关系，本构关系一共包括 $6$ 个独立的方程以联系 $6$ 个独立的应力-应变分量。为了运用本构关系，需要知道材料的两个力学属性，例如杨氏模量 $E$ 与泊松比 $\nu$. 举个例子，铁的杨氏模量约为 $E = 200 \,\mathrm{GPa} = 2 \times 10^{11} \,\mathrm{Pa} $²，泊松比约为 $\nu=0.3$（这也是常见金属的泊松比）。

　　 复读一遍，广义胡克定律对 “单个微元” 成立，其使用的应力、应变都是单个微元的应力、应变。

1. 应力-应变本构关系

\begin{equation} \sigma_{ij}=\frac{E}{1+\nu}\varepsilon_{ij}+\delta_{ij}\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\sum_k\varepsilon_{kk}~,\qquad i,j=1,2,3~, \end{equation}

或

\begin{equation} \varepsilon_{ij}=\frac{1+\nu}{E}\sigma_{ij}-\delta_{ij}\frac{\nu}{E}\sum_k\sigma_{kk}~, \qquad i,j=1,2,3~, \end{equation}

　　其中 $\delta_{ij} = \left \{ \begin{aligned} 1 &\qquad i = j\\ 0 &\qquad i \ne j\\ \end{aligned}~. \right. $

2. Lame 常数

　　若定义 Lame 常数

\begin{equation} \begin{aligned} G&=\frac{E}{2(1+\nu)}\\ \lambda &= \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\\ \end{aligned}~. \end{equation}

则式 1 , 式 2 分别化为

\begin{equation} \sigma_{ij}=2G\varepsilon_{ij}+\delta_{ij}\lambda\sum_k\varepsilon_{kk}~,\qquad i,j=1,2,3~, \end{equation}

与

\begin{equation} \varepsilon_{ij}=\frac{1}{2G}\sigma_{ij}-\delta_{ij}\frac{\nu}{E}\sum_k\sigma_{kk}~, \qquad i,j=1,2,3~. \end{equation}

3. 应力-位移本构关系

　　如果往本构关系式 1 中代入位移几何方程，那么本构关系化为

\begin{equation} \sigma_{ij}=\frac{E}{1+\nu}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) +\delta_{ij}\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\sum_k \frac{\partial u_k}{\partial x_k} ~,\qquad i,j=1,2,3~. \end{equation}

4. 简单的推导

　　以 $\varepsilon_{11}$ 为例，先根据单向拉伸的广义胡克定律 $$\varepsilon_{11} = \frac{\sigma_{11}}{E}~.$$

　　再考虑其余方向的拉伸在该方向上产生的压缩现象，即泊松现象 $$ \begin{aligned} \varepsilon_{11} &= \frac{\sigma_{11}}{E} - \nu \varepsilon_{22} - \nu \varepsilon_{33}\\ &=\frac{\sigma_{11}}{E} - \nu\frac{\sigma_{22}}{E} - \nu\frac{\sigma_{33}}{E}\\ &=\frac{(1+\nu)\sigma_{11}}{E} - \nu\frac{\sigma_{11}}{E} - \nu\frac{\sigma_{22}}{E} - \nu\frac{\sigma_{33}}{E} \quad \text{仅仅是数学上“加一项再减一项”}\\ &=\frac{(1+\nu)\sigma_{11}}{E} - \frac{\nu}{E}\sum_k \sigma_{kk} ~.\\ \end{aligned} $$ 此即为 $i=j$ 情况下的式 2

　　而 $\varepsilon_{12}$ 的情况遵循单向剪切的广义胡克定律 $$ \begin{aligned} \varepsilon_{12} &= \frac{\sigma_{12}}{2G}\\ &=\frac{(1+\nu)\sigma_{12}}{E}~. \end{aligned} $$ 此即为 $i=1, j=2$ 情况下的式 2

　　同理，可推导其余的本构关系式。

1. ^ 本文参考了冯西桥的《弹性力学》。
2. ^ 防杠声明：铁的模量具体数值和成分、加工工艺、工作条件甚至是加工批次都有关，因此不能一概而论；此外，实际的材料往往是各向异性的。

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