广义胡克定律（弹性力学本构关系）

贡献者： ACertainUser

本文处于草稿阶段。

预备知识　杨氏模量、泊松比、剪切模量、广义胡克定律的基本形式

　　 小学二年级的我们就已经知道"力使物体变形"。之前我们分别探讨了应力与应变，现在我们要找到二者间的关系。这就是材料的本构关系。

　　以下是各向同性的线弹性材料的本构关系，本构关系一共包括 $6$ 个独立的方程以联系 $6$ 个独立的应力-应变分量。为了运用本构关系，需要知道材料的两个力学属性，例如杨氏模量 $E$ 与泊松比 $ν$ . 举个例子，铁的杨氏模量约为 $E = 200 GPa = 2 \times 10^{11} Pa$ ²，泊松比约为 $ν = 0.3$ （这也是常见金属的泊松比）。

　　 复读一遍，广义胡克定律对 “单个微元” 成立，其使用的应力、应变都是单个微元的应力、应变。

1. 应力-应变本构关系

\begin{matrix} (1) & σ_{i j} = \frac{E}{1 + ν} ε_{i j} + δ_{i j} \frac{ν E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} \sum_{k} ε_{k k}, i, j = 1, 2, 3, \end{matrix}

或

\begin{matrix} (2) & ε_{i j} = \frac{1 + ν}{E} σ_{i j} - δ_{i j} \frac{ν}{E} \sum_{k} σ_{k k}, i, j = 1, 2, 3, \end{matrix}

　　其中 $δ_{i j} = {\begin{aligned} 1 & i = j \\ 0 & i \neq j \end{aligned} .$

2. Lame 常数

　　若定义 Lame 常数

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} G & = \frac{E}{2 (1 + ν)} \\ λ & = \frac{ν E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} \end{aligned} . \end{matrix}

则式 1 , 式 2 分别化为

\begin{matrix} (4) & σ_{i j} = 2 G ε_{i j} + δ_{i j} λ \sum_{k} ε_{k k}, i, j = 1, 2, 3, \end{matrix}

与

\begin{matrix} (5) & ε_{i j} = \frac{1}{2 G} σ_{i j} - δ_{i j} \frac{ν}{E} \sum_{k} σ_{k k}, i, j = 1, 2, 3 . \end{matrix}

3. 应力-位移本构关系

　　如果往本构关系式 1 中代入位移几何方程，那么本构关系化为

\begin{matrix} (6) & σ_{i j} = \frac{E}{1 + ν} (\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}) + δ_{i j} \frac{ν E}{(1 + ν) (1 - 2 ν)} \sum_{k} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}, i, j = 1, 2, 3 . \end{matrix}

4. 简单的推导

　　以 $ε_{11}$ 为例，先根据单向拉伸的广义胡克定律 $ε_{11} = \frac{σ_{11}}{E} .$

　　再考虑其余方向的拉伸在该方向上产生的压缩现象，即泊松现象 $\begin{aligned} ε_{11} & = \frac{σ_{11}}{E} - ν ε_{22} - ν ε_{33} \\ = \frac{σ_{11}}{E} - ν \frac{σ_{22}}{E} - ν \frac{σ_{33}}{E} \\ = \frac{(1 + ν) σ_{11}}{E} - ν \frac{σ_{11}}{E} - ν \frac{σ_{22}}{E} - ν \frac{σ_{33}}{E} 仅仅是数学上“加一项再减一项” \\ = \frac{(1 + ν) σ_{11}}{E} - \frac{ν}{E} \sum_{k} σ_{k k} . \end{aligned}$ 此即为 $i = j$ 情况下的式 2

　　而 $ε_{12}$ 的情况遵循单向剪切的广义胡克定律 $\begin{aligned} ε_{12} & = \frac{σ_{12}}{2 G} \\ = \frac{(1 + ν) σ_{12}}{E} . \end{aligned}$ 此即为 $i = 1, j = 2$ 情况下的式 2

　　同理，可推导其余的本构关系式。

1. ^ 本文参考了冯西桥的《弹性力学》。
2. ^ 防杠声明：铁的模量具体数值和成分、加工工艺、工作条件甚至是加工批次都有关，因此不能一概而论；此外，实际的材料往往是各向异性的。

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