欧拉角

                     

贡献者: addis

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预备知识 三维旋转矩阵

1. zyz 欧拉角与旋转矩阵

   为了书写方便,把 $\sin x, \cos x$ 记为 $C_x, S_x$.则 $z$-$y$-$z$ 欧拉角 $\psi,\theta,\phi$ 对应的旋转矩阵就是

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{R}} (\psi,\theta,\phi) &= \boldsymbol{\mathbf{R}} _z(\phi) \boldsymbol{\mathbf{R}} _y(\theta) \boldsymbol{\mathbf{R}} _z(\psi)\\ &= \begin{pmatrix} C_\phi & - S_\phi & 0\\ S_\phi &C_\phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_\theta & 0 & S_\theta\\ 0 & 1 & 0\\ -S_\theta & 0 & C_\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_\psi & - S_\psi & 0\\ S_\psi &C_\psi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} C_\phi C_\theta C_\psi-S_\phi S_\psi & -C_\phi C_\theta S_\psi - S_\phi C_\psi & C_\phi S_\theta\\ S_\phi C_\theta C_\psi + C_\phi S_\psi & -S_\phi C_\theta S_\psi + C_\phi C_\psi & S_\phi S_\theta\\ -S_\theta C_\psi & S_\theta S_\psi & C_\theta\end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}
其中 $\theta,\phi$ 就是球坐标系中的两个角.

2. 角速度和时间导数

预备知识 刚体的瞬时转轴、角速度的矢量相加

   由于角速度可以矢量叠加,角速度矢量为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \dot\psi \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + \dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} + \dot\phi \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = (\dot\psi + \dot\phi\cos\theta) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \dot\phi\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + \dot\theta \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}
\begin{equation} \dot\psi = \omega_r + \omega_\theta \cot\theta,\qquad \dot\theta = \omega_\phi,\qquad \dot\phi = -\frac{\omega_\theta}{\sin\theta} \end{equation}


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