代数学基本定理

             

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预备知识 复变函数,多项式环

1. 代数学基本定理的表述

定义 1 代数学基本定理

   设 $f(z)=\sum\limits_{i=0}^n a_iz^i$ 为复数域上的多项式,那么必存在 $z_0\in\mathbb{C}$,使得 $f(z_0)=0$.

   由多项式的性质知,如果 $f(z_0)=0$,那么必然存在一个 $n-1$ 阶多项式 $g(z)$,使得 $f(z)=g(z)\cdot(z-z_0)$.对 $g(z)$ 重复此步骤,再对接下来得到的每一个次数大于 $1$ 的多项式都重复此步骤,最终结果是存在一系列 $z_i\in\mathbb{C}$,使得 $f(z)=\prod\limits_{i=0}^{n}(z-z_i)$.

2. 代数学基本定理的证明

   本小节将用不同思路证明代数学基本定理.

代数拓扑方法

预备知识 基本群

   考虑 $\mathbb{C}$ 的度量拓扑,其中度量 $d(z_1, z_2)= \left\lvert z_1-z_2 \right\rvert $;换句话说,把 $\mathbb{C}$ 看成二维欧氏空间.假设存在多项式 $f(z)$ 使得任意复数 $z$ 都满足 $f(z)\not=0$,那么 $ \left\lvert f(z) \right\rvert \not=0$,于是可以引入映射 $p:\mathbb{C}\rightarrow S^1$,其中 $p(z)=f(z)/ \left\lvert f(z) \right\rvert $;换句话说,$p$ 将每个 $z\in\mathbb{C}$ 先映射到 $f(z)$,再保持辐角不变并移动到单位圆上.

   由于 $f(z)$ 是连续映射,且 $f(z)/ \left\lvert f(z) \right\rvert $ 没有奇点,于是 $p(z)=f(z)/ \left\lvert f(z) \right\rvert $ 也是连续映射.

   在 $\mathbb{C}$ 上选择任意一点 $z_0$ 作为基点来构造基本群.设任意回路 $r:S^1\rightarrow\mathbb{C}$,以及零回路 $n:S^1\rightarrow\mathbb{C}$,其中 $n(t)=z_0$ 对所有 $t$ 成立.由于 $\mathbb{C}$ 是可缩空间,因此必有 $r\cong n$.由定理 3 ,$p\circ r\cong p\circ n$,因此单位圆上的回路也彼此同伦.

   然而我们知道 $S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}$,意味着并非所有回路都彼此同伦,因此出现了矛盾.

   矛盾意味着假设错误,也就是说 $f(z)$ 必然有零点.

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