代数学基本定理
贡献者: JierPeter; addis
1. 代数学基本定理的表述
定义 1 代数学基本定理
设 为复数域上的多项式,那么必存在 ,使得 。
由推论 2 ,如果 ,那么必然存在一个 阶多项式 ,使得 。对 重复此步骤,再对接下来得到的每一个次数大于 的多项式都重复此步骤,最终结果是存在一系列 ,使得 。
2. 代数学基本定理的证明
本小节将用不同思路证明代数学基本定理。
代数拓扑方法
考虑 的度量拓扑,其中度量 ;换句话说,把 看成二维欧氏空间。假设存在多项式 使得任意复数 都满足 ,那么 ,于是可以引入映射 ,其中 ;换句话说, 将每个 先映射到 ,再保持辐角不变并移动到单位圆上。
由于 是连续映射,且 没有奇点,于是 也是连续映射。
在 上选择任意一点 作为基点来构造基本群。设任意回路 ,以及零回路 ,其中 对所有 成立。由于 是可缩空间,因此必有 。由定理 3 ,,因此单位圆上的回路也彼此同伦。
然而我们知道 的基本群是 ,意味着并非所有回路都彼此同伦,因此出现了矛盾。
矛盾意味着假设错误,也就是说 必然有零点。
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