代数学基本定理

                     

贡献者: JierPeter; addis

  • 本文存在未完成的内容。
预备知识 1 复变函数,一元多项式

1. 代数学基本定理的表述

定义 1 代数学基本定理

   设 f(z)=i=0naizi 为复数域上的多项式,那么必存在 z0C,使得 f(z0)=0

   由推论 2 ,如果 f(z0)=0,那么必然存在一个 n1 阶多项式 g(z),使得 f(z)=g(z)(zz0)。对 g(z) 重复此步骤,再对接下来得到的每一个次数大于 1 的多项式都重复此步骤,最终结果是存在一系列 ziC,使得 f(z)=i=0n(zzi)

2. 代数学基本定理的证明

   本小节将用不同思路证明代数学基本定理。

代数拓扑方法

预备知识 2 基本群

   考虑 C 的度量拓扑,其中度量 d(z1,z2)=|z1z2|;换句话说,把 C 看成二维欧氏空间。假设存在多项式 f(z) 使得任意复数 z 都满足 f(z)0,那么 |f(z)|0,于是可以引入映射 p:CS1,其中 p(z)=f(z)/|f(z)|;换句话说,p 将每个 zC 先映射到 f(z),再保持辐角不变并移动到单位圆上。

   由于 f(z) 是连续映射,且 f(z)/|f(z)| 没有奇点,于是 p(z)=f(z)/|f(z)| 也是连续映射。

   在 C 上选择任意一点 z0 作为基点来构造基本群。设任意回路 r:S1C,以及零回路 n:S1C,其中 n(t)=z0 对所有 t 成立。由于 C 是可缩空间,因此必有 rn。由定理 3 prpn,因此单位圆上的回路也彼此同伦。

   然而我们知道 S1 的基本群是 Z,意味着并非所有回路都彼此同伦,因此出现了矛盾。

   矛盾意味着假设错误,也就是说 f(z) 必然有零点。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利