绝对极值与相对极值（变分学）

                     

贡献者： 零穹; addis

预备知识　可取曲线（变分学）

　　 本节将对曲线 $\gamma$ 的函数 $J[\gamma]$ 的极值进行分类，本节内容将有助于引出下一节 “变分” 的概念。

1. 绝对极值

　　 定义在某可取曲线族中的曲线函数 $J[\gamma]$ 的绝对极小值由此族中曲线 $\gamma_0$ 实现，如果对于这族中任一曲线 $\gamma$ 有

\begin{equation} J[\gamma]\geq J[\gamma_0]~. \end{equation}
同样，可定义绝对极大值。

2. 相对极值

图
图 1：相对极值示意图

　　 先用一个直观的例子来理解相对极值的概念。如图，从 $A$ 点到 $B$ 点，有几条路可走，水平线上方和下方各有两条路，上方的最短路线 $S_0$ 小于下方的最短路线 $D_0$。那么，上方路线 $S_0$ 就是连接 $A,B$ 两点的绝对极小值。下方最短路线 $D_0$ 虽然不是绝对极小值，然而它却比连接这两点下方的其它路线都短。

　　 为严格定义相对极值，需介绍几个必备概念。

曲线间的距离

定义 1　曲线间距

　　 若在区间 $(a,b)$ 中定义有两曲线：

\begin{equation} \begin{aligned} y&=y(x)~,\\ y&=y_1(x)\quad(a\leq x\leq b)~. \end{aligned} \end{equation}
这两曲线间的距离是一非负数 $r$，它等于 $ \left\lvert y_1(x)-y(x) \right\rvert $ 在区间 $(a,b)$ 上的最大值，记为 $r=r[y_1(x),y_2(x)]$。

　　 由曲线间距的定义知，两条曲线间的距离恒为 0 的充要条件是这两曲线重合。

　　 已知曲线序列：

\begin{equation} y=y_1(x),y=y_2(x),\cdots,y=y_n(x),\cdots~ \end{equation}
这些曲线到曲线 $y=y(x)$ 间的距离趋于 0。就说这一函数系列一致收敛于 $y(x)$。

　　 在曲线函数

\begin{equation} J(y)=\int F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} ~ \end{equation}
中，被积函数不仅依赖于函数值，而且依赖于它的微商。因此，对于两个距离很小的曲线，泛函式 4 之值是可以很不同的。

例 1　

　　 泛函 $\int_0\pi y'^2 \,\mathrm{d}{x} $ 对于曲线

\begin{equation} \begin{aligned} y&=\frac{1}{n}\sin nx\quad (0\leq x\leq \pi)~,\\ y&=0 \end{aligned} \end{equation}
的值分别为 $\pi/2$ 和 0，但当 $n\rightarrow 0$ 时，也就是说它们的距离趋于 0 时，其差也不变。

　　 因此距离的概念需加于推广

定义 2　曲线间的 $n$ 级距离

　　 具有 $n$ 级连续微商的两曲线，$y(x)$ 与 $y_1(x)$，其定义域为 $[a,b]$, 它们的 $n$ 级距离，是下列各式

\begin{equation} \begin{aligned} & \left\lvert y_1(x)-y(x) \right\rvert ~,\\ & \left\lvert y_1'(x)-y'(x) \right\rvert ~,\\ &\vdots\\ & \left\lvert y_1^{(n)}(x)-y^{(n)}(x) \right\rvert \\ \end{aligned} \end{equation}
在区间 $[a,b]$ 上的最大值中的最大值。

　　 对研究泛函

\begin{equation} \int F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} ~ \end{equation}
时，一级距离起着特别重要的作用，因为被积函数仅是 $x,y,y'$ 的函数，所以当 $y=y(x),y=y_1(x)$ 间的一级距离充分的小时，这些函数的泛函的差的绝对值也可以任意小。所以，一般情形下，我们总假设曲线之间的距离是一级的。

邻区

　　 所有与曲线

\begin{equation} y=y(x)\quad (a\leq x\leq b)~ \end{equation}
的 $n$ 级距离小于 $\epsilon$ 的曲线的全体，称为曲线 $y=y(x)$ 的 $n$ 级 $\epsilon -$ 邻区。 也就是说，曲线 $y=y(x)$ 的零级 $\epsilon-$ 邻区，就是由所有位于 $y=y(x)$ 上下宽为 $2\epsilon$ 的带区内的曲线组成。

强的与弱的极值

　　 我们说泛函

\begin{equation} J=\int_a^b F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} ~ \end{equation}
在曲线 $\gamma_0$ 上达到强的相对极大，若对于在 $\gamma_0$ 的零级 $\epsilon-$ 邻区内的所有可取曲线 $\gamma$ 都有
\begin{equation} J(\gamma)\leq J(\gamma_0)~. \end{equation}
类似的，可定义相对强的相对极小。

　　 我们说泛函 $J$ 在曲线 $\gamma_0$ 上达到弱的相对极大，若对于所有在曲线 $\gamma_0$ 的一级 $\epsilon-$ 邻区内的可取曲线 $\gamma$，都有

\begin{equation} J(\gamma)\leq J(\gamma_0)~. \end{equation}

习题 1　

　　 试证明：每一个绝对极值，同时是一个强与弱的相对极值；每一个强的相对极值同时也是弱的相对极值。


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