绝对极值与相对极值（变分学）

                     

贡献者： 零穹; addis

　　 本节将对曲线 $\gamma$ 的函数 $J[\gamma ]$ 的极值进行分类，本节内容将有助于引出下一节 “变分” 的概念。

1. 绝对极值

　　 定义在某可取曲线族中的曲线函数 $J[\gamma ]$ 的绝对极小值由此族中曲线 ${\gamma }_0$ 实现，如果对于这族中任一曲线 $\gamma$ 有

同样，可定义绝对极大值。

2. 相对极值

　　 先用一个直观的例子来理解相对极值的概念。如图，从 $A$ 点到 $B$ 点，有几条路可走，水平线上方和下方各有两条路，上方的最短路线 $S_0$ 小于下方的最短路线 $D_0$。那么，上方路线 $S_0$ 就是连接 $A,B$ 两点的绝对极小值。下方最短路线 $D_0$ 虽然不是绝对极小值，然而它却比连接这两点下方的其它路线都短。

　　 为严格定义相对极值，需介绍几个必备概念。

曲线间的距离

　　 由曲线间距的定义知，两条曲线间的距离恒为 0 的充要条件是这两曲线重合。

　　 已知曲线序列：

这些曲线到曲线 $y=y(x)$ 间的距离趋于 0。就说这一函数系列一致收敛于 $y(x)$。

　　 在曲线函数

中，被积函数不仅依赖于函数值，而且依赖于它的微商。因此，对于两个距离很小的曲线，泛函式 4 之值是可以很不同的。

　　 因此距离的概念需加于推广

　　 对研究泛函

时，一级距离起着特别重要的作用，因为被积函数仅是 $x,y,y^{\prime }$ 的函数，所以当 $y=y(x),y=y_1(x)$ 间的一级距离充分的小时，这些函数的泛函的差的绝对值也可以任意小。所以，一般情形下，我们总假设曲线之间的距离是一级的。

邻区

　　 所有与曲线

的 $n$ 级距离小于 $ϵ$ 的曲线的全体，称为曲线 $y=y(x)$ 的 $n$ 级 $ϵ-$ 邻区。 也就是说，曲线 $y=y(x)$ 的零级 $ϵ-$ 邻区，就是由所有位于 $y=y(x)$ 上下宽为 $2ϵ$ 的带区内的曲线组成。

强的与弱的极值

　　 我们说泛函

在曲线 ${\gamma }_0$ 上达到强的相对极大，若对于在 ${\gamma }_0$ 的零级 $ϵ-$ 邻区内的所有可取曲线 $\gamma$ 都有 类似的，可定义相对强的相对极小。

　　 我们说泛函 $J$ 在曲线 ${\gamma }_0$ 上达到弱的相对极大，若对于所有在曲线 ${\gamma }_0$ 的一级 $ϵ-$ 邻区内的可取曲线 $\gamma$，都有