绝对极值与相对极值(变分学)

                     

贡献者: 零穹

预备知识 可取曲线(变分学)

   本节将对曲线 $\gamma$ 的函数 $J[\gamma]$ 的极值进行分类,本节内容将有助于引出下一节 “变分” 的概念.

1. 绝对极值

   定义在某可取曲线族中的曲线函数 $J[\gamma]$ 的绝对极小值由此族中曲线 $\gamma_0$ 实现,如果对于这族中任一曲线 $\gamma$ 有

\begin{equation} J[\gamma]\geq J[\gamma_0] \end{equation}
同样,可定义绝对极大值.

2. 相对极值

图
图 1:相对极值示意图

   先用一个直观的例子来理解相对极值的概念.如图,从 $A$ 点到 $B$ 点,有几条路可走,水平线上方和下方各有两条路,上方的最短路线 $S_0$ 小于下方的最短路线 $D_0$.那么,上方路线 $S_0$ 就是连接 $A,B$ 两点的绝对极小值.下方最短路线 $D_0$ 虽然不是绝对极小值,然而它却比连接这两点下方的其它路线都短.

   为严格定义相对极值,需介绍几个必备概念.

曲线间的距离

定义 1 曲线间距

   若在区间 $(a,b)$ 中定义有两曲线:

\begin{equation} \begin{aligned} y&=y(x)\\ y&=y_1(x)\quad(a\leq x\leq b) \end{aligned} \end{equation}
这两曲线间的距离是一非负数 $r$,它等于 $ \left\lvert y_1(x)-y(x) \right\rvert $ 在区间 $(a,b)$ 上的最大值,记为 $r=r[y_1(x),y_2(x)]$.

   由曲线间距的定义知,两条曲线间的距离恒为 0 的充要条件是这两曲线重合.

   已知曲线序列:

\begin{equation} y=y_1(x),y=y_2(x),\cdots,y=y_n(x),\cdots \end{equation}
这些曲线到曲线 $y=y(x)$ 间的距离趋于 0.就说这一函数系列一致收敛于 $y(x)$.

   在曲线函数

\begin{equation} J(y)=\int F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
中,被积函数不仅依赖于函数值,而且依赖于它的微商.因此,对于两个距离很小的曲线,泛函式 4 之值是可以很不同的.

例 1 

   泛函 $\int_0\pi y'^2 \,\mathrm{d}{x} $ 对于曲线

\begin{equation} \begin{aligned} y&=\frac{1}{n}\sin nx\quad (0\leq x\leq \pi)\\ y&=0 \end{aligned} \end{equation}
的值分别为 $\pi/2$ 和 0,但当 $n\rightarrow 0$ 时,也就是说它们的距离趋于 0 时,其差也不变.

   因此距离的概念需加于推广

定义 2 曲线间的 $n$ 级距离

   具有 $n$ 级连续微商的两曲线,$y(x)$ 与 $y_1(x)$,其定义域为 $[a,b]$, 它们的 $n$ 级距离,是下列各式

\begin{equation} \begin{aligned} & \left\lvert y_1(x)-y(x) \right\rvert \\ & \left\lvert y_1'(x)-y'(x) \right\rvert \\ &\vdots\\ & \left\lvert y_1^{(n)}(x)-y^{(n)}(x) \right\rvert \\ \end{aligned} \end{equation}
在区间 $[a,b]$ 上的最大值中的最大值.

   对研究泛函

\begin{equation} \int F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
时,一级距离起着特别重要的作用,因为被积函数仅是 $x,y,y'$ 的函数,所以当 $y=y(x),y=y_1(x)$ 间的一级距离充分的小时,这些函数的泛函的差的绝对值也可以任意小.所以,一般情形下,我们总假设曲线之间的距离是一级的.

邻区

   所有与曲线

\begin{equation} y=y(x)\quad (a\leq x\leq b) \end{equation}
的 $n$ 级距离小于 $\epsilon$ 的曲线的全体,称为曲线 $y=y(x)$ 的 $n$ 级 $\epsilon -$ 邻区. 也就是说,曲线 $y=y(x)$ 的零级 $\epsilon-$ 邻区,就是由所有位于 $y=y(x)$ 上下宽为 $2\epsilon$ 的带区内的曲线组成.

强的与弱的极值

   我们说泛函

\begin{equation} J=\int_a^b F(x,y,y') \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
在曲线 $\gamma_0$ 上达到强的相对极大,若对于在 $\gamma_0$ 的零级 $\epsilon-$ 邻区内的所有可取曲线 $\gamma$ 都有
\begin{equation} J(\gamma)\leq J(\gamma_0) \end{equation}
类似的,可定义相对强的相对极小.

   我们说泛函 $J$ 在曲线 $\gamma_0$ 上达到弱的相对极大,若对于所有在曲线 $\gamma_0$ 的一级 $\epsilon-$ 邻区内的可取曲线 $\gamma$,都有

\begin{equation} J(\gamma)\leq J(\gamma_0) \end{equation}

习题 1 

   试证明:每一个绝对极值,同时是一个强与弱的相对极值;每一个强的相对极值同时也是弱的相对极值.


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