范德蒙矩阵、范德蒙行列式

                     

贡献者: addis

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预备知识 秩

  1范德蒙矩阵(Vandermonde matrix)是一种特殊的行列式和多项式相关.

定义 1 

   范德蒙矩阵是一个 $n\times m$ 的矩阵,定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{V}} = \begin{pmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{m-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-1}\\ 1 & x_3 & x_3^2 & \dots & x_3^{m-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{m-1}\end{pmatrix} \end{equation}
若 $ \boldsymbol{\mathbf{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }} $ 是方阵($m = n$),其行列式称为范德蒙行列式(Vandermonde determinant)

   一些文献中也把式 1 中的各列左右翻转,即按照幂从大到小排列.

   可应用于多项式最小二乘法拟合(子节 3 )以及多项式插值.

1. 性质

   当 $m \le n$ 时,矩阵的秩为 $m$ 当且仅当所有的 $x_i$ 各不相等.

   当 $m \ge n$ 时,矩阵的秩为 $n$ 当且仅当至少 $n$ 个 $x_i$ 各不相等.

未完成:证明


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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