范德蒙矩阵、范德蒙行列式

贡献者： ditto; addis

　　¹范德蒙矩阵（Vandermonde matrix）是一种特殊的行列式和多项式相关。

　　 可应用于多项式最小二乘法拟合（子节 3 ）以及多项式插值。

1. 性质

　　 当 $m\le n$ 时，矩阵的秩为 $m$ 当且仅当所有的 $x_i$ 各不相等。

　　 当 $m\ge n$ 时，矩阵的秩为 $n$ 当且仅当至少 $n$ 个 $x_i$ 各不相等。

证明

　　 先证明 $m=n$ 时范德蒙矩阵满秩，即行列式不为零。

　　 大小为 $n\times n$ 的范德蒙矩阵 ${\mathbf{V}}_n$ 的行列式：

　　 根据行列式的性质，从第 $n$ 列开始，对每一列依次进行列变换 $V_j\to V_j-x_1{V}_{j-1}$：

　　 由于 $x_i\ne x_j(i\ne j)$，我们知道只要 $\left|\begin{array}{c}{\mathbf{V}}_{n-1}^{\prime }\end{array}\right|\ne 0$，就有 $\left|\begin{array}{c}{\mathbf{V}}_n\end{array}\right|\ne 0$。因此，要证明 $\left|\begin{array}{c}{\mathbf{V}}_n\end{array}\right|\ne 0$，只需要证明 $\left|\begin{array}{c}{\mathbf{V}}_2^{\prime }\end{array}\right|\ne 0$。 而

　　 当 $m\ne n$ 时，容易知道，矩阵的秩 $=min\{m,n\}$。因此原命题得证。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。