贡献者： ditto; addis
1范德蒙矩阵（Vandermonde matrix）是一种特殊的行列式和多项式相关。
定义 1
范德蒙矩阵是一个 $n\times m$ 的矩阵，定义为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{V}} =
\begin{pmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{m-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-1}\\
1 & x_3 & x_3^2 & \dots & x_3^{m-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{m-1}\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
若 $ \boldsymbol{\mathbf{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }} $ 是方阵（$m = n$），其
行列式称为
范德蒙行列式（Vandermonde determinant）。
一些文献中也把式 1 中的各列左右翻转，即按照幂从大到小排列。
可应用于多项式最小二乘法拟合（子节 3 ）以及多项式插值。
1. 性质
当 $m \le n$ 时，矩阵的秩为 $m$ 当且仅当所有的 $x_i$ 各不相等。
当 $m \ge n$ 时，矩阵的秩为 $n$ 当且仅当至少 $n$ 个 $x_i$ 各不相等。
证明
先证明 $m = n$ 时范德蒙矩阵满秩，即行列式不为零。
大小为 $n \times n$ 的范德蒙矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} _n $ 的行列式：
\begin{equation}
\begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{m-1}\\
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-1}\\
1 & x_3 & x_3^2 & \dots & x_3^{m-1}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{m-1}\end{vmatrix} ~.
\end{equation}
将 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} _n$ 的每一列记成 $V_j $。
根据行列式的性质，从第 $n$ 列开始，对每一列依次进行列变换 $V_{j}\rightarrow \ V_{j}-x_1V_{j-1} $：
\begin{equation}
\begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}1 & x_1-x_1 & x_1^2-x_1^2 & \dots & x_1^{m-1}-x_1^{m-1}\\
1 & x_2-x_1 & x_2^2-x_1x_2 & \dots & x_2^{m-1}-x_1x_2^{m-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n-x_1 & x_n^2-x_1x_n & \dots & x_n^{m-1}-x_1x_n^{m-2}\end{vmatrix}
=
\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & \dots & 0\\
1 & x_2-x_1 & x_2(x_2-x_1) & \dots & x_2^{m-2}(x_2-x_1)\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n-x_1 & x_n(x_n-x_1) & \dots & x_n^{m-2}(x_n-x_1)\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V^\prime}} _{n-1}\end{vmatrix} \prod_\limits{j=2}^n (x_j-x_1) ~.
\end{equation}
其中，
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{V}} ^\prime_{n-1} =
\begin{pmatrix}
1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-2}\\
1 & x_3 & x_3^2 & \dots & x_3^{m-2}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{m-2}
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
也是一个范德蒙矩阵，只不过 $ x$ 的下标是从 $2$ 到 $n$。
由于 $x_i \neq x_j(i \neq j)$，我们知道只要 $ \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} ^\prime_{n-1}\end{vmatrix} \neq 0$，就有 $ \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} \neq 0$。因此，要证明 $ \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} \neq 0$，只需要证明 $ \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} ^\prime_2\end{vmatrix} \neq 0$。
而
\begin{equation}
\begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} ^\prime_2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & x_{n-1} \\
1 & x_n
\end{vmatrix} = x_n - x_{n-1} \neq 0 ~.
\end{equation}
因此，我们证明了 $ \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} \neq 0$，甚至得到了其表达式：
\begin{equation}
\begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} =\prod_\limits{1\le i < j \le n }(x_j-x_i)~.
\end{equation}
当 $m \neq n$ 时，容易知道，矩阵的秩 $= \min \{m,n\}$。因此原命题得证。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
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