范德蒙矩阵、范德蒙行列式

                     

贡献者: ditto; addis

预备知识 秩,行列式的性质

  1范德蒙矩阵(Vandermonde matrix)是一种特殊的行列式和多项式相关。

定义 1 

   范德蒙矩阵是一个 $n\times m$ 的矩阵,定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{V}} = \begin{pmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{m-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-1}\\ 1 & x_3 & x_3^2 & \dots & x_3^{m-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{m-1}\end{pmatrix} ~. \end{equation}
若 $ \boldsymbol{\mathbf{ \boldsymbol{\mathbf{V}} }} $ 是方阵($m = n$),其行列式称为范德蒙行列式(Vandermonde determinant)

   一些文献中也把式 1 中的各列左右翻转,即按照幂从大到小排列。

   可应用于多项式最小二乘法拟合(子节 3 )以及多项式插值。

1. 性质

   当 $m \le n$ 时,矩阵的秩为 $m$ 当且仅当所有的 $x_i$ 各不相等。

   当 $m \ge n$ 时,矩阵的秩为 $n$ 当且仅当至少 $n$ 个 $x_i$ 各不相等。

证明

   先证明 $m = n$ 时范德蒙矩阵满秩,即行列式不为零。

   大小为 $n \times n$ 的范德蒙矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} _n $ 的行列式:

\begin{equation} \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{m-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-1}\\ 1 & x_3 & x_3^2 & \dots & x_3^{m-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{m-1}\end{vmatrix} ~. \end{equation}
将 $ \boldsymbol{\mathbf{V}} _n$ 的每一列记成 $V_j $。

   根据行列式的性质,从第 $n$ 列开始,对每一列依次进行列变换 $V_{j}\rightarrow \ V_{j}-x_1V_{j-1} $:

\begin{equation} \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & x_1-x_1 & x_1^2-x_1^2 & \dots & x_1^{m-1}-x_1^{m-1}\\ 1 & x_2-x_1 & x_2^2-x_1x_2 & \dots & x_2^{m-1}-x_1x_2^{m-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n-x_1 & x_n^2-x_1x_n & \dots & x_n^{m-1}-x_1x_n^{m-2}\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & \dots & 0\\ 1 & x_2-x_1 & x_2(x_2-x_1) & \dots & x_2^{m-2}(x_2-x_1)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n-x_1 & x_n(x_n-x_1) & \dots & x_n^{m-2}(x_n-x_1)\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V^\prime}} _{n-1}\end{vmatrix} \prod_\limits{j=2}^n (x_j-x_1) ~. \end{equation}
其中,
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{V}} ^\prime_{n-1} = \begin{pmatrix} 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{m-2}\\ 1 & x_3 & x_3^2 & \dots & x_3^{m-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{m-2} \end{pmatrix} ~. \end{equation}
也是一个范德蒙矩阵,只不过 $ x$ 的下标是从 $2$ 到 $n$。

   由于 $x_i \neq x_j(i \neq j)$,我们知道只要 $ \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} ^\prime_{n-1}\end{vmatrix} \neq 0$,就有 $ \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} \neq 0$。因此,要证明 $ \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} \neq 0$,只需要证明 $ \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} ^\prime_2\end{vmatrix} \neq 0$。 而

\begin{equation} \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} ^\prime_2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & x_{n-1} \\ 1 & x_n \end{vmatrix} = x_n - x_{n-1} \neq 0 ~. \end{equation}
因此,我们证明了 $ \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} \neq 0$,甚至得到了其表达式:
\begin{equation} \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{V}} _n\end{vmatrix} =\prod_\limits{1\le i < j \le n }(x_j-x_i)~. \end{equation}

   当 $m \neq n$ 时,容易知道,矩阵的秩 $= \min \{m,n\}$。因此原命题得证。


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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